精品解析：上海市控江中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版）

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【答案】
【解析】
【分析】根据对数式与指数式的关系即可得解.
【详解】解：因为，
所以.
故答案为：.
2. 不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】不等式可化为：，然后用对数函数的单调性求解.
【详解】由，有，根据对数函数的单调性有：，
所以不等式的解集为
故答案为：.
3. 已知，，且，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据并集的运算结果列出不等式，即可得解.
【详解】解：因为，
所以.
故答案为：.
4. 已知正实数满足，则的最大值为____．【答案】；
【解析】
【详解】由均值不等式的结论有： ，解得： ，
当且仅当 时等号成立，即的最大值为.
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
5. 已知方程的两个根为、，则______.
【答案】##3.25
【解析】
【分析】利用韦达定理求得，再根据即可得解.
【详解】解：因为方程的两个根为、，
所以，
所以.
故答案为：.
6. 已知函数是奇函数，且当时，有，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数为奇函数可得，求出即可得解.
【详解】解：因为函数是奇函数，且当时，有，
所以.
故答案为：.
7. 若幂函数是严格增函数，则实数______.
【答案】
【解析】【分析】根据幂函数的定义及函数的单调性求解即可.
【详解】因为是幂函数，
所以，
解得，
又因为是严格增函数
所以，
故答案为：
8. 函数定义域为R，则实数k取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数定义域为R，可得在R上恒成立，则，从而可得出答案.
【详解】解：因为函数定义域为R，
所以在R上恒成立，
所以，解得.
故答案为：.
9. 函数的严格减区间为______.
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的定义域，利用复合函数的单调性即可得出答案.
【详解】解：，得或，
故函数的定义域为，
令，
则函数在上递增，在上递减，
又函数为减函数，所以函数的严格减区间为.
故答案为：.
10. 已知函数若关于x的方程恰有3个实数解，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】由已知可求得当时，有2个实数解，将问题转化为，当时，有唯一实数解，进而求解.
【详解】当时，，
令，解得或
当时，
由关于x的方程恰有3个实数解，所以当时，有唯一实数解，
所以，解得或
所以实数a取值范围为
故答案为：
11. 已知数列的前n项和为，且，则的通项公式______.
【答案】
【解析】
【分析】根据与的关系求通项公式即可.
【详解】，即，
当时，，
，
整理得，
，
将以上各式左右两边分别相乘得，
又，
所以，
当时，符合，
故数列的通项公式.
故答案：.
12. 对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列，现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，，，，…，5.记第n次得到的数列的各项之和为，则的通项公式______.
【答案】
【解析】
【分析】依据题意构造数列，分析规律，结合等比数列前项和公式即可求解.
【详解】由题意得，
，
，，
，，
，
由等比数列的前项和公式可得，，
所以通项公式.
故答案为：.
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. “且”是“”（ ）条件
A. 充分非必要B. 必要非充分
C. 充要D. 既非充分又非必要
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析即可得出答案.
【详解】解：若且，则，
若，当也符合，故不能推出且，
所以“且”是“” 充分非必要条件.
故选：A.
14. 用数学归纳法证明等式“”，当时，等式左边应在的基础上加上（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C【解析】
【分析】由数学归纳法可知时，左端为，到时，左端，从而可得答案．
【详解】解：用数学归纳法证明等式时，
当左边所得的项是；
假设时，命题成立，左端为；
则当时，左端为，
当时，等式左边应在的基础上加上．
故选：C.
15. 设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解绝对值不等式得到集合，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.
【详解】集合，
或
又，所以或
即或，即
所以的取值范围为
故选：D
16. 已知函数和满足：对任意，，都有，命题p：若是偶函数，则也是偶函数；命题q：若是单调函数，则也是单调函数.则下列判断正确的是（ ）
A. p和q都是真命题B. p和q都是假命题
C. p是真命题，q是假命题D. p假真命题，q是真命题【答案】C
【解析】
【分析】对于命题，令，再根据偶函数的定义即可判断命题的真假；对于命题，设，设函数是R上的增函数，则，判断的大小关系，即可判断命题的真假.
【详解】解：对于命题，因为对任意，恒成立，
令，则恒成立，
因为是偶函数，所以，
即，所以，
即，所以也偶函数，
故命题为真命题，
对于命题，设，若函数是R上的增函数，则，
所以，
因为，
所以，
无法判断的大小关系，
所以命题为假命题.
故选：C.
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤
17. 已知数列满足，.
（1）若是等差数列，求数列的通项公式；
（2）若是等比数列，且数列满足，求证：是等比数列.
【答案】（1）
（2）证明见解析【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式，求出公差，进而可得结果；
（2）设出公比为，利用，结合等比数列定义可得结论.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，，
，；
【小问2详解】
设等比数列的公比为，
因为，
，，
两式相减，
即也适合，
，
是以为首项，以为公比的等比数列.
18. 已知函数，其中m是非零实数.
（1）根据m的不同取值，写出在上的单调区间及相应的单调性，无需证明；
（2）解关于x的不等式.
【答案】（1）答案见解析.
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】(1)讨论m的不同的值，结合对勾函数的增减性，可得单调区间;
(2)先化简不等式，讨论，两种情况，然后分别解分式不等式可得答案.
【小问1详解】
当是增函数，是增函数，在上单调递增，
时，由对勾函数性质可知，
在上单调递减，在上单调递减
当时，
在上单调递增，
当时，
在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时在上单调递增，当时，在上单调递减，在上单调递增，.
【小问2详解】
当时，，解得;
当时，
①解得；
②解得；;
所以当时，；
综上，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.
19. 某辆汽车以公里/小时速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求)时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为升.
(1)欲使每小时的油耗不超过升,求的取值范围;
(2)求该汽车行驶公里的油耗关于汽车行驶速度的函数,并求的最小值.【答案】（1）;（2）=,(其中); 最小值为升.
【解析】
【分析】
(1)令,求出解集,结合题意得出的取值范围;
(2)写出关于的函数,求出函数的最小值即可.
【详解】（1）由题意,令,
化简得,解得;
又因为,
所以欲使每小时的油耗不超过升,的取值范围是;
（2）设该汽车行驶公里的油耗为;
则=,(其中);
由,知,
所以=时,汽车行驶公里的油耗取得最小值为升.
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法以及二次函数的最值，属于基础题.
20. 设，数列满足，数列的通项公式为.
（1）已知，求k的值；
（2）若，设，求数列最大项及相应的序数；
（3）若，设，求数列的前n项和.
【答案】（1）
（2）最大项为，相应的序数为57或58. （3）
【解析】
【分析】（1）由已知代入即可求解；
（2）由题，计算，分类讨论n的取值，判断与的大小即可得解；
（3）分类讨论n为奇数和n为偶数，利用分组求和结合等差数列求和及等比数列求和公式可得解.
【小问1详解】
因为数列满足，
，解得
【小问2详解】
由题知
显然，令，得
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
，且
所以数列的最大项为，相应的序数为57或58.
【小问3详解】
由已知，即
当n为偶数时，
当n为奇数时，
所以
【点睛】方法点睛：求数列和常用的方法：
（1）等差等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法；
（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；
（4）等差等比数列：错位相减法.
21. 设，函数.
（1）若，求证：函数是奇函数；
（2）若，判断并证明函数的单调性；
（3）设，，若存在实数m，n（），使得函数在区间[m，n]上的取值范围是，求的取值范围.
【答案】（1）证明见详解；
（2）定义域上单调递增，证明见详解；
（3）
【解析】
【分析】（1）代入解析式，根据函数式知定义域为且，即为奇函数；
（2）利用单调性定义令，判断的符号，即可知大小关系，从而可得结论.
（3）因为，分a＞0，a＜0两种情况讨论函数在区间[m，n]（m＜n）上的取值范围是[k∈R），进而得出结论．
【小问1详解】
时，有且定义域为，
∴，
综上有：的定义域关于原点对称且，即为奇函数；
【小问2详解】
时，有，即定义域为R，结论为：在R上单调递增.
设对任意两个实数：，则
，而，，
∴，即得证.
【小问3详解】
∵，所以或，
∴当时，由（2）知在R上单调递增，结合题意有，
，得，即是的两个不同的实根，
∴令，则在上有两个不同实根，
故，可得，
当时，在上都递减，若，有，则与矛盾，舍去；
若，有，即有
，即，所以，
两式相减得，又，故，
从而，，
综上所述，的取值范围.