精品解析：上海市长宁区2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份精品解析：上海市长宁区2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，集合｛是6的正因数｝，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】先化简集合，再求两集合的并集.
【详解】因为｛是6的正因数｝，
所以.
故答案：.
2. 如果，那么”是__________命题.（填“真”或“假”）
【答案】真
【解析】
【分析】直接根据不等式的性质即可得出结论.
【详解】解：因为，则，
所以，
所以如果，那么”是真命题.
故答案：真.
3. 函数的定义域是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用对数式中真数为正得到，再将分式不等式化为一元二次不等式进行求解.
【详解】要使有意义，须，
即，解得或，
即函数的定义域是.
故答案为：.
4. 已知幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称，写出一个满足条件的__________.
【答案】1（答案不唯一）
【解析】
【分析】可取，判断函数的奇偶性和单调性即可.
【详解】解：可取，则函数为，
函数在区间上是严格增函数，且为奇函数，即图象关于原点成中心对称，
所以可取.
故答案为：1.（答案不唯一）
5. 当时，化简__________.
【答案】
【解析】
【分析】直接根据根式及绝对值的意义进行化简求值
【详解】因为，所以
故答案为：
6. 若要用反证法证明“对于三个实数，，，若，则或”，应假设___________.
【答案】且
【解析】
【分析】假设结论的反面成立，即可得到答案；
【详解】假设结论的反面成立，即且成立；
故答案为：且
7. 已知，，用，表示__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用换底公式结合对数的运算，化简代入可求结果
【详解】，
故答案为：
8. 已知等式恒成立，其中，，为常数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】本题首先可将等式转化为，然后根据等式恒成立即可得出结果.
【详解】因为等式恒成立，
所以恒成立，
则.
故答案为：
9. 已知一元二次方程有两个正实根，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意知，一元二次方程有两个正实根，须同时满足四个条件，，，两根之积和两根之和都大于零，即可得到答案.
【详解】设两个正实数根分别为，.
故答案为：.
10. 已知函数，的最小值为1，则实数的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】分类讨论对称轴的位置即可根据最小值为，求出的值.【详解】解：二次函数开口向下，对称轴为，
①当时，区间上单调递减，
，解得，舍去；
②当时，区间上单调递增，
，满足题意，故；
③当时，区间上单调递增，上单调递减，，即，舍去；
④当时，区间上单调递增，上单调递减，，即，舍去；
故答案为：
11. 若对恒成立，则实数的取值范围是__________.
【答案】，
【解析】
【分析】若对恒成立，求出函数的最小值，即可求的取值范围．
【详解】由得，
因为，当且仅当取等号，
所以当时，取得最小值5，又当时，取得最小值0，
所以当时，取得最小值5，
故，取的取值范围为，．
故答案为：，
12. 已知函数；若存在相异的实数，使得成立，则实数的取值范围是__________.【答案】
【解析】
【分析】去掉绝对值得到分段函数，分别讨论、，结合函数的导数研究单调性，再通过存在性进行求解.
【详解】
①当，时，，，
则在单调递减，不满足题意（舍）；
②当，时，，
当时，，在单调递减，
且,；
当时，由，得，
当，即时，，则恒成立，
则，不满足题意（舍）；
当，即时，，则在单调递增，
在单调递减，且对于任意，，
则满足存在相异的实数，使得成立，
所以
故答案为：.二、选择题（每小题3分，共12分）
13. 如图，点，分别为的边，上的两点，若：，：，则是的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出结论.
【详解】解：因为，所以，
所以，所以，
所以是的充分条件，
由，可得，所以，
所以，
所以是的必要条件，
所以是的充要条件.
故选：C.
14. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与对数函数（且）的图象关系可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数函数的图象以及直线方程与图象关系分别进行讨论即可．
【详解】．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，
．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，
．由对数图象知，此时直线的纵截距，保持一致，
．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，
故选：．
15. 如图所示是某地池塘中的浮萍蔓延的面积（单位：）与时间（单住：月）的关系，以下结论错误的是（ ）
A.
B. 第5个月时，浮萍的面积会超过
C. 浮萍的面积从到需要经过大约1.6个月
D. 浮萍每个月面积的增长率是
【答案】D
【解析】
【分析】根据图像增长趋势得到函数模型，根据函数上的点来求底数，根据函数的单调性来估计以后的变化．
【详解】根据指数函数的增长趋势可得面积（单位：）与时间（单住：月）的函数关系符合指数函数类型，设为，
点，，在函数图象上，所以，故A正确；
函数在上是增函数，且当时，，故B正确，
函数值2对应的，经过1.6月后面积是，
即与6比较大小，
即，又，所以，所以6，故C正确；
又每个月面积的增长率是，故D不正确．
故选：．
16. 下列命题中：
①当时，函数的图象是一条直线；
②函数和为同一函数；
③若函数是奇函数，则；
④函数在区间上的图象是一段连续曲线，如果，则函数在上没有零点.
真命题的个数为（ ）
A. 0个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】根据幂函数的定义域判断①，根据同一函数的定义判断②，根据奇函数的定义判断③，根据零点存在性定理判断④.
【详解】解：对于①当时，函数的定义域为，其图象是一条直线去除点，故错误；
对于②，函数的定义域为，的定义域为，不为同一函数，故错误；对于③，若函数是奇函数，且在处有意义，则，故错误；
对于④，函数在区间上的图象是一段连续曲线，如果，则函数在上可能有零点，故错误.
所以正确的命题个数为0.
故选：A
三、解答题（共52分）
17. 已知集合，集合，求集合.
【答案】
【解析】
【分析】由交集的定义运算即可得解.
【详解】由联立有，从而可得或，
所以.
18. 如图，在矩形地基的中心位置上建造一个面积为的一个矩形仓库，仓库四周铺设人行道；要求南北两侧的人行道宽，东西两侧的人行道宽，如何设计仓库的边长，才能使人行道的占地面积最小（结果精确到）？
【答案】仓库的长为米，宽为16.7米时，人行道的占地面积最小为414.7平方米．
【解析】
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．
【详解】设仓库的长度为，宽为，人行道的占地面积，
则，
当且仅当，即时，等号成立，故仓库的长为米，宽为167米时，人行道的占地面积最小为414.7平方米．
19. 科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级度量可定义为；
（1）若，求相应的震级；（结果精确到0.1级）
（2）中国地震台网测定：2021年11月17日13时54分在江苏省盐城市大丰区海域发生5.0地震，地震造成江苏盐城、南通等地震感强烈，上海亦有震感；请问汶川8.0级地震的相对能量是大丰区海域5.0级地震相对能量的多少倍？（结果精确到个位）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由里氏震级度量公式计算即可；
（2）由公式解出，再代入数值计算即可.
【小问1详解】
当时，
则有.
所以相应的震级为级.
【小问2详解】
由，可得，
所以.
所以汶川8.0级地震的相对能量是大丰区海域5.0级地震相对能量的倍.
20. 已知函数（为常数）.
（1）若，请研究函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，并做出大概图象；
（2）是否存在，使得该函数在区间上是严格增函数，并且函数值不恒为正，若存在，求出符合条件的的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）答案见解析；
（2）不存在，理由见解析；
【解析】
【分析】（1）利用分子分离法将函数转化成，再根据解析式，即可得到答案；
（2）由题意得：方程组无解，即可得到答案；
【小问1详解】
，
当，即定义域为，值域为；
图象不关于原点，也不关于轴对称，函数既不是奇函数，也不是偶函数；
由图象易得函数在，单调递增；
【小问2详解】
，
由题意得：方程组无解，
不存在的值满足题意.
21. 设函数.
（1）若对任意实数，有成立，且当时，；
①判断函数的增减性，并证明；
②解不等式：；（2）证明：“图象关于直线对称”的充要条件是“任意给定的，”.
【答案】（1）①函数为R上增函数，证明见解析；②
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）①利用赋值法和单调性的定义进行证明，②先利用赋值法得到，再利用单调性和进行变形求解；
（2）结合函数的性质，从充分性、必要性两方面进行证明.
小问1详解】
解：①函数为R上增函数，证明如下：
由，
得，
对于，且，则，
则，
所以当时，有，
所以函数为R上增函数.
②由①得：可化为，
取，得，解得，
又因为函数为R上增函数，
所以，解得
即的解集为.
【小问2详解】
证明：因为图象关于直线对称，
所以，令，则，，
所以，即成立；
若，令，则，
即，即成立，
即图象关于直线对称；
所以“图象关于直线对称”的充要条件
是“任意给定的，”.