广东省中山市五校2022-2023学年高二下学期期中数学试题(学生版+解析)

这是一份广东省中山市五校2022-2023学年高二下学期期中数学试题(学生版+解析)，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题学校：东莞市第二高级中学 命题人：邓振江 审题人：黄胜怀
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数在处的导数是( )
A. 1B. C. eD.
2. 从5名学生中选出正，副班长各一名，不同的选法种数是( )
A. 9B. 10C. 20D. 25
3. 二项式的展开式中含有项的系数为( )
A. 60B. 50C. 40D. 30
4. 已知随机变量，且，则=( )
A. 1B. 2C. D.
5. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. (-1，1)B. C. (-1，+∞)D. (-1，0)
6. 甲乙两位游客慕名来到东莞旅游，准备分别从东城黄旗山、虎门威远炮台、道滘粤晖园和长安莲花山4个景点中随机选择其中一个，记事件A：甲和乙选择的景点不同，事件B：甲和乙恰好一人选择虎门威远炮台，则条件概率=( )
A. B. C. D.
7. 若函数的图象在点处的切线方程为，则( )
A B. C. D.
8. 正态分布是由德国数学家高斯率先将其应用于天文学研究，这项工作对后世的影响极大，故正态分布又叫高斯分布，已知高斯分布函数在处取得最大值为，则( )
附：
A. 0.6827B. 0.84135C. 0.97725D. 0.9545
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若，则正整数x的值是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
10. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如下表.下列关于函数的结论正确的是( )
A. 函数在和上单调递减
B. 函数在的最小值为1
C. 函数的极大值点的个数为2
D. 若方程有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是
11. 已知函数的定义域为，其导函数满足，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
12. 已知m，n均为正数，随机变量X的分布列如下表；则下列结论一定成立的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分，把答案填在答题卡中的横线上，
13. 若的二项展开式共有8项，则n=___________.
14. 函数在区间上的最大值是___________.
15. 对正在横行全球“新冠病毒”，某科研团队研发了一款新药用于治疗，为检验药效，该团队从“新冠”感染者中随机抽取100名，检测发现其中感染了“普通型毒株”，“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为．对他们进行治疗后，统计出该药对“普通型毒株”、“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为82%、60%、75%，那么你预估这款新药对 “新冠病毒”的总体有效率是________．
16. 函数的定义域为___________；若在[，a+1]上存在极值点，则a的取值范围是___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知展开式中前两项的二项式系数和为7.
(1)求n的值；
(2)求展开式中的常数项.
18. 一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，白球有3个，从中任意取出3个球.
(1)求取出3个球恰有一个红球的概率；
(2)若随机变量X表示取得红球的个数，求随机变量X的分布列.
19. 已知函数
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数的极值.
20 已知函数
(1)若函数的极值点，求a的值；
(2)若，求证：当时，，其中e为自然对数的底数.
21. 高考改革新方案中语文、数学、外语为必考的3个学科，然后在历史、物理2个学科中自主选择1个科目，在政治、地理、化学、生物4个学科中自主选择2个科目参加考试，称为“”模式，为了解学生选科情况，东莞某中学随机调查了该校的300名高三学生，调查结果为选历史的100人.
(1)从该中学高三学生中随机抽取1人，求此人是选考历史的概率；
(2)以这300名高三学生选历史的频率作为全校高三学生选历史的概率.现从该中学高三学生中随机抽取3人，记抽取的3人中选考历史的人数为X，求X的分布列与数学期望.
22. 已知函数，函数．
(1)求单调区间；
(2)当时，若与的图象在区间上有两个不同的交点，求k的取值范围．
x
-1
0
2
4
5
f(x)
1
3
1
3
2
X
0
1
2
P
m
n
m
中山市2022—2023学年第二学期五校联考
高二数学试卷
命题学校：东莞市第二高级中学 命题人：邓振江 审题人：黄胜怀
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数在处的导数是( )
A. 1B. C. eD.
【答案】B
【解析】
【分析】对函数求导，根据导函数求处的导数.
【详解】由题意，，故.
故选：B
2. 从5名学生中选出正，副班长各一名，不同的选法种数是( )
A 9B. 10C. 20D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】利用排列、排列数的定义直接列式计算作答.
【详解】从5名学生中选出正，副班长各一名，不同的选法种数是.
故选：C
3. 二项式的展开式中含有项的系数为( )
A. 60B. 50C. 40D. 30
【答案】A
【解析】
【分析】根据二项式展开式通项确定项的系数.
【详解】由展开式通项为，
所以项的系数为.
故选：A
4. 已知随机变量，且，则=( )
A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由期望的性质有，结合二项分布期望公式求参数，再由其方差公式求.
【详解】由题设，，则，
所以.
故选：D
5. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. (-1，1)B. C. (-1，+∞)D. (-1，0)
【答案】B
【解析】
【分析】问题转化为在上恒成立，求出，从而求出实数a的取值范围.
【详解】，由题意得：，
即在上恒成立，
因为，所以恒成立，故实数a的取值范围是.
故选：B
6. 甲乙两位游客慕名来到东莞旅游，准备分别从东城黄旗山、虎门威远炮台、道滘粤晖园和长安莲花山4个景点中随机选择其中一个，记事件A：甲和乙选择的景点不同，事件B：甲和乙恰好一人选择虎门威远炮台，则条件概率=( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用古典概型的概率求法求、，再由条件概率公式求.
【详解】由题设，，，
所以.
故选：D
7. 若函数的图象在点处的切线方程为，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出，利用导数几何意义可得出的值，再利用点为曲线与直线的公共点可求得实数的值.
【详解】因为，则，则，即切线方程为，
所以，，解得.
故选：A.
8. 正态分布是由德国数学家高斯率先将其应用于天文学研究，这项工作对后世的影响极大，故正态分布又叫高斯分布，已知高斯分布函数在处取得最大值为，则( )
附：
A. 0.6827B. 0.84135C. 0.97725D. 0.9545
【答案】B
【解析】
【分析】由题设有，根据正态分布的对称性及特殊区间的概率求.
【详解】由题意知：，
所以.
故选：B
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 若，则正整数x的值是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】AB
【解析】
【分析】由组合数的性质可以列出方程，求出正整数x的值
【详解】由题意得：或，
解得：或，经过检验，均符合题意.
故选：AB
10. 定义在上函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如下表.下列关于函数的结论正确的是( )
A. 函数在和上单调递减
B. 函数在的最小值为1
C. 函数的极大值点的个数为2
D. 若方程有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用导函数图象得到原函数的增减性，极值与最值情况，从而作出判断.
【详解】根据导函数图象可以看出在和上，所以在和上单调递减，A正确；
在和上，所以在和上单调递增，结合，可知在的最小值为1，B正确；
函数的极大值点为0与4，即极大值点的个数为2，C正确；
若方程有3个不同的实数根，及与有三个不同的交点，则实数a的取值范围是，D错误.
故选：ABC
11. 已知函数的定义域为，其导函数满足，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】构造函数，利用函数的导数，判断函数的单调性，然后通过函数值判断选项的正误即可．
【详解】解：函数的定义域为，
设，则，
因为，所以，函数减函数，
，，
所以，可得，所以不正确，B正确；
，所以，故C正确．
当，单调递减，所以，即，即，
因为在上单调递增，所以，即，所以D正确．
故选：BCD．
12. 已知m，n均为正数，随机变量X的分布列如下表；则下列结论一定成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由分布列的性质有，结合基本不等式、期望公式、方差性质及与期望的关系判断各选项的正误.
【详解】由题意，且，
而，大小不确定，A错误；
，B正确；
，则，当且仅当时等号成立，C正确；
由，
所以，不一定小于1，D错误；
故选：BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分，把答案填在答题卡中的横线上，
13. 若的二项展开式共有8项，则n=___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式的性质计算可得；
【详解】解：二项式展开式中一共有项，所以，解得；
故答案为：
14. 函数在区间上的最大值是___________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据导函数得到函数单调性，从而得到在端点处取得最大值，求出，比较得到最大值.
【详解】，当时，，
当时，，所以在或处取得最大值，
又，，
综上：在区间上的最大值为2
故答案为：2
15. 对正在横行全球的“新冠病毒”，某科研团队研发了一款新药用于治疗，为检验药效，该团队从“新冠”感染者中随机抽取100名，检测发现其中感染了“普通型毒株”，“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为．对他们进行治疗后，统计出该药对“普通型毒株”、“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为82%、60%、75%，那么你预估这款新药对 “新冠病毒”的总体有效率是________．
【答案】74%
【解析】
【分析】根据题意，结合概率的计算公式，准确计算，即可求解.
【详解】由题意，感染了“普通型毒株”，“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为且该药对“普通型毒株”、“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为82%、60%、75%，
所以这款新药对 “新冠病毒”的总体有效率为.
故答案为：.
16. 函数的定义域为___________；若在[，a+1]上存在极值点，则a的取值范围是___________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由对数函数的性质确定定义域，并求出其导函数，讨论区间单调性，进而确定极值点，根据已知求参数范围即可.
【详解】由解析式知：定义域为，且，
所以在上，即递减；在上，即递增；
故的极小值点为，则，可得.
故答案为：，.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知展开式中前两项的二项式系数和为7.
(1)求n的值；
(2)求展开式中的常数项.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)依题意可得，解得；
(2)写出二项式展开式的通项，再令，求出，最后代入计算可得；
【小问1详解】
解：展开式前两项的二项式系数的和为，
，解得；
【小问2详解】
解：展开式的通项，
令，解得，
展开式中的常数项为第项，即．
18. 一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，白球有3个，从中任意取出3个球.
(1)求取出的3个球恰有一个红球的概率；
(2)若随机变量X表示取得红球的个数，求随机变量X的分布列.
【答案】(1)
(2)分布列见解析.
【解析】
【分析】设出事件，利用超几何分布求概率公式进行求解；(2)写出随机变量X可能取值及相应的概率，求出分布列.
【小问1详解】
设取出的3个球恰有一个红球为事件A，
则
【小问2详解】
随机变量X可能取值为0,1,2,
，，，
故X的分布列为：
19. 已知函数
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数的极值.
【答案】(1)
(2)的极小值为，无极大值.
【解析】
【分析】(1)求导，由导函数小于0求出单调递减区间；(2)求出函数的递增区间，结合第一问求出极小值，无极大值.
【小问1详解】
，令，解得：，
故函数的单调递减区间是
【小问2详解】
令得：
故在单调递减，在单调递增，
所以在处取得极小值，，
所以的极小值为，无极大值.
20. 已知函数
(1)若函数的极值点，求a的值；
(2)若，求证：当时，，其中e为自然对数的底数.
【答案】(1)1 (2)证明过程见解析.
【解析】
【分析】(1)根据极值点列出方程，求出a的值，检验得到结论；(2)求导后，构造，证明出在恒成立，从而得到当时，.
【小问1详解】
定义域为，
因为函数的极值点，所以，
即，解得：，
检验，当时，是函数的极小值点，满足要求，
所以
【小问2详解】
，
令，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
故在恒成立，
所以在恒成立.
21. 高考改革新方案中语文、数学、外语为必考的3个学科，然后在历史、物理2个学科中自主选择1个科目，在政治、地理、化学、生物4个学科中自主选择2个科目参加考试，称为“”模式，为了解学生选科情况，东莞某中学随机调查了该校的300名高三学生，调查结果为选历史的100人.
(1)从该中学高三学生中随机抽取1人，求此人是选考历史的概率；
(2)以这300名高三学生选历史的频率作为全校高三学生选历史的概率.现从该中学高三学生中随机抽取3人，记抽取的3人中选考历史的人数为X，求X的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为1
【解析】
【分析】(1)根据古典概率求概率公式求解概率；
(2)求出，从而求出分布列和数学期望.
【小问1详解】
设该中学高三学生中随机抽取1人，此人是选考历史为事件A，
则，
所以该中学高三学生中随机抽取1人，此人是选考历史的概率为
【小问2详解】
由题意得：全校高三学生选历史的概率为，
则，
则，，
，，
所以X的分布列为：
数学期望为
22. 已知函数，函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，若与的图象在区间上有两个不同的交点，求k的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【解析】
【分析】(1)求解导函数，然后分类讨论求单调区间；(2)利用参变分离法，将题目条件转化为在上有两个不同的实根，构造函数，求导判断单调性并求解最值，从而得k的取值范围.
【小问1详解】
由题意可得的定义域为，且．
①当时，由，得；由，得．
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
②当时，由，得；由，得．
故函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
综上，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
【小问2详解】
当时，令，得，即，
则与的图象在上有两个不同的交点，等价于在上有两个不同的实根．
设，则．
由，得；由，得．
函数在上单调递增，在上单调递减，故．
因为，，且，
所以要使在上有两个不同的实根，则，
即k的取值范围为．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
x
-1
0
2
4
5
f(x)
1
3
1
3
2
X
0
1
2
P
m
n
m
X
0
1
2
P
X
0
1
2
3
P