江苏省盐城市建湖高级中学2023-2024学年高一下学期学情检测（2月）数学试卷（普通班）(含答案)

这是一份江苏省盐城市建湖高级中学2023-2024学年高一下学期学情检测（2月）数学试卷（普通班）(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,且,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
2．已知,则“”是“”的_________条件( )
A.充分不必要B.必要不充分
C.充要D.既不充分也不必要
3．函数的零点所在的区间为( )
A.B.C.D.
4．已知点在幂函数的图象上,设,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
5．为了得到函数的图象,可以将函数的图象( )
A.向右平移个单位B.向右平移个单位
C.向左平移个单位D.向左平移个单位
6．牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为,则经过一定时间t（单位：分钟）后的温度满足,其中是环境温度,h为常数,现有一杯80℃的热水用来泡茶,研究表明,此茶的最佳饮用口感会出现在55℃.经测量室温为25℃,茶水降至75℃大约用时一分钟,那么为了获得最佳饮用口感,从泡茶开始大约需要等待（参考数据：,,,.）( )
A.4分钟B.5分钟C.6分钟D.7分钟
7．已知向量与是非零向量,且满足在上的投影向量为,,则与的夹角为( )
A.B.C.D.
8．已知函数的定义域为R,且,为偶函数,若,则( )
A.116B.115C.114D.113
二、多项选择题
9．下列命题中错误的有( )
A.的充要条件是且B.若,,则
C.若,则存在实数,使得D.
10．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用（图1）,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）.一半径为2米的筒车水轮如图3所示,水轮圆心O距离水面1米,已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈,如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时,则( )
A.点P再次进入水中时用时30秒
B.当水轮转动50秒时,点P处于最低点
C.当水轮转动150秒时,点P距离水面2米
D.点P第二次到达距水面米时用时25秒
11．已知函数则下列结论正确的有( )
A.,
B.函数有且仅有2个零点
C.方程有唯一解
D.直线与的图象有3个交点
三、填空题
12．函数的定义域为________________.
13．已知,是非零向量,,,则____________.
14．已知函数,若方程在内有两个不同的解,则实数m的取值范围为_______________.
四、解答题
15．已知.
(1)化简函数;
(2)若,求.
16．已知向量,满足,,.
(1)求与夹角的余弦值;
(2)求;
(3)在平行四边形ABCD中,若,,求平行四边形ABCD的面积.
17．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式;
(2)求在上的最大值和最小值;
(3)若在区间上恰有两个零点、,求.
18．已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求实数a的值并用定义证明函数在R上单调递增;
(2)若方程在内有解,求实数b的取值范围.
19．对于函数.
(1)若,且为奇函数,求a的值;
(2)若方程恰有一个实根,求实数a的取值范围;
(3)设,若对任意,当时,满足,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：集合,,
由于,则实数a的取值范围是
故选：B.
2．答案：A
解析：充分性：若,又,则,故充分性成立;
必要性：若,,则,故必要性不成立;
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．答案：B
解析：函数,是单调递增函数,
当时,,
,,,
故,
故函数的零点所在的区间为,
故选：B.
4．答案：D
解析：点在幂函数的图象上,
,,
,在上单调递减,
,,,
,
,即
故选：D.
5．答案：A
解析：,
设,,
令,把函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.
故选：A.
6．答案：C
解析：根据题意可知,,,
因为茶水降至75℃大约用时一分钟,即,,
所以,解得,则,
所以要使得该茶降至,即,则有,
得,
故,
所以大约需要等待6分钟.
故选：C.
7．答案：A
解析：设与的夹角为,
在上的投影向量为
所以,
所以,,
所以为钝角,且.
故选：A
8．答案：C
解析：由,得,
即,
所以,
所以函数的周期为4,
又为偶函数,
则,
所以,
所以函数也为偶函数,
又,
所以,,
所以,
又,即,所以,
又,,
,
所以
故选：C.
9．答案：ABC
解析：对于A：的充要条件是且方向相同,故A错误;
对于B：当时,则不一定平行,故B错误;
对于C：当,时,不存在实数,使得,故C错误;
对于D：根据向量加、减法的三角形法则,可知成立,故D正确.
故选：ABC.
10．答案：BCD
解析：由题意,角速度弧度/秒,
又由水轮的半径为2米,且圆心O距离水面1米,
可知半径与水面所成角为,点P再次进入水中用时为秒,故A错误;
当水轮转动50秒时,半径转动了弧度,而,点P正好处于最低点,故B正确;
以O为原点,以与水平面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系,
设点P距离水面的高度,
由,所以,
又角速度弧度/秒,时,,所以,,
所以点P距离水面的高度,当水轮转动150秒时,
将代入,得,点P距离水面2米,故C正确;
将代入中,
得,或,
即,或.
所以点P第二次到达距水面米时用时25秒,故D正确.
故选：BCD.
11．答案：ABD
解析：由题意,
A项,在中,作出函数图象如下图所示,

由上图可知,,故正确;
B项,在中,当时,,
即与的交点,
作出函数图象如下,
可知函数有且仅有2个零点,B正确;
C项,在中,
作出两函数的图象如下图所示,
两函数有4个交点,方程有4解,
方程不止有唯一解,故C错误;
D项,
由图可知,直线与的图象有3个交点,D正确;
故选：ABD.
12．答案：
解析：因为,
所以,解得且,
所以函数的定义域为.
故答案为：.
13．答案：
解析：因为,是非零向量,,,
所以,即,
所以,
故答案为：.
14．答案：
解析：当时,的图象如图所示,
则,令,则方程为,即,,
又,当时,若方程在内有两个不同的解,只需只有一解,即函数与,只有一个交点,
又函数在上单调递减,所以,
即;
当时,,方程的解为和,
当时,,当时,无解,显然方程只有一解,不合题意;
当时,,方程的解为和,
当时,,当时,无解,显然方程只有一解,不合题意;
当时,若方程在内有两个不同的解,
只需有两个不同的解,
即函数与,有两个不同的个交点,
又函数在上单调递增,在上单调递减,
所以,所以;
综上所述,实数m的取值范围为.
故答案为：
15．答案：(1)
(2)1
解析：（1）;
（2）因为,所以,
所以.
16．答案：(1)
(2)
(3)12
解析：（1）因为,所以,
又,,所以
所以.
（2）由（1）知,
所以,
所以.
（3）由（1）知,,
所以,
所以平行四边形ABCD的面积为.
17．答案：(1)
(2)最大值为2,最小值为-1
(3)
解析：（1）由图象可知,函数的最小正周期T满足,
则,,
所以,,则,可得,
因为,则,所以,,解得,
因此,.
（2）因为,则,
所以,,即,
所以的最大值为2,最小值为-1.
（3）因为,当时,,
令,所以,
因为在区间上恰有两个零点、,
函数图象在区间内的对称轴为直线,
由正弦型函数的对称性可知,点、关于直线对称,则,
所以,
由得,,
所以,
所以.
18．答案：(1),证明见解析
(2)
解析：（1）因为函数是R上的奇函数,则,
于是得,解得,所以,
满足,
函数在R上单调递增,证明如下：,,,,
因为函数在R上单调递增,又,则,于是得,
即,所以在R上单调递增.
（2）由是R上的奇函数,可化为,
由在R上单调递增可得,即,
,则,令,
当,即时,,又,
所以当时,,所以实数b的取值范围是.
19．答案：(1);
(2);
(3).
解析：（1）,
,又为奇函数,
,
,对定义域内任意x恒成立,
,解得,
此时,定义域为符合奇函数的条件,
所以;
（2）方程,
所以,
由①可得,,即,
当时,方程有唯一解,满足②,
所以符合条件;
当时,方程有两相等解,满足②,
所以符合条件;
当且时,方程有两不等解,
若满足②,则,
若满足②,则,
所以当时方程恰有一个实根;
综上,实数a的取值范围为;
（3）令,则在上为减函数,在上为增函数,
函数在上为减函数,
当,时,满足,
则,
,即对任意的恒成立,
设,又,所以函数在单调递增,
所以,
.