江苏省苏州市2022-2023学年高一上学期期末学业质量阳光指标调研数学试题(学生版+解析)

这是一份江苏省苏州市2022-2023学年高一上学期期末学业质量阳光指标调研数学试题(学生版+解析)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知角，那么的终边在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 命题“”的否定为( )
A. “”B. “”
C “”D. “”
3. 已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为( )
A. B. C. 2D.
4. 已知，，则“”是“”成立的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
6. 已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 三个数， 之间的大小关系为( )
A. B.
C. D.
8. 已知函数，若函数有两个零点，则实数a取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设集合，集合，则下列对应关系中是从集合A到集合B的一个函数的有( )
A. B. C. D.
10. 已知函数，则下列结论中正确的有( )
A. B. 的定义域为
C. 在区间上单调递增D. 若，则的最小值为
11. 若a，b均为正数，且满足，则( )
A. 的最大值为2B. 的最小值为4
C. 的最小值是6D. 的最小值为
12. 已知指数函数(，且)与对数函数(，且)互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程与的解分别为，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 求值：__________．
14. 已知幂函数满足：①是偶函数；②在区间上单调递减，请写出一个这样的函数__________．
15. 已知，则__________．
16. 我们知道，设函数的定义域为I，如果对任意，都有，且，那么函数的图象关于点成中心对称图形．若函数的图象关于点成中心对称图形，则实数c的值为__________；若，则实数t的取值范围是__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设集合．
(1)若，；
(2)若，．
18. 已知．
(1)若角的终边过点，求；
(2)若，分别求和的值．
19. 某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y(单位：万元)是销售利润x(单位：万元)的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择：
A．；B．；C．．
(1)请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；
(2)根据你在(1)中选择的函数模型，解决如下问题：
①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？
②总奖金能否超过销售利润的五分之一？
20. 已知函数图象经过点．
(1)求在区间上的最大值和最小值；
(2)记关于x的方程在区间上的解从小到大依次为，试确定正整数n的值，并求的值．
21. 已知为奇函数．
(1)判断函数在区间上单调性，并证明你的判断；
(2)若关于x的方程有8个不同的解，求实数m的取值范围．
22. 已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且．
(1)求和的解析式；
(2)若函数在上值域为，求正实数a的值；
(3)证明：对任意实数k，曲线与曲线总存在公共点．
苏州市2022~2023学年第一学期学业质量阳光指标调研卷
高一数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知角，那么终边在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】利用角终边相同公式得到的终边与的终边相同，从而得到的终边所在象限．
【详解】因为，又，所以的终边在第三象限．
故选：C．
2. 命题“”的否定为( )
A. “”B. “”
C. “”D. “”
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定形式可直接得到结果.
【详解】由全称命题的否定可知: 的否定为
故选：D
3. 已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为( )
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形面积和弧长公式求得正确答案.
【详解】设扇形的半径为，圆心角为，
则，解得.
故选：B
4. 已知，，则“”是“”成立的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.
【详解】若“”，则“”必成立；
但是“”，未必有“”，例如.
所以“”是“”成立的充分不必要条件.
故选：A.
5. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的周期性、单调性确定正确选项.
【详解】的最小正周期是，不符合题意.
在区间上单调递增，不符合题意.
对于，，
所以在区间上单调递增，不符合题意.
对于，画出图象如下图所示，由图可知的最小正周期为，
且在区间上单调递减，B选项正确.
故选：B
6. 已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据二次不等式求出集合A，再分类讨论集合B，根据集合间包含关系即可求解.
【详解】的定义域为A，
所以，
所以或，
①当时，,
满足，
所以符合题意；
②当时，
，
所以若，
则有或，
所以或(舍)
③当时，
，
所以若，
则有或(舍)，
，
综上所述，，
故选：B.
7. 三个数， 之间的大小关系为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合指数函数、对数函数的单调性，以及临界值，求解即可.
【详解】由题意，即，
，即，
，
综上：
故选：A
8. 已知函数，若函数有两个零点，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画出、和的图象，结合图象以及函数有两个零点求得的取值范围.
【详解】函数有两个零点，
即有两个不相等的实数根，
即与的图象有两个交点.
画出、和的图象如下图所示，
由解得，设.
由解得，设.
对于函数，
要使与的图象有两个交点，结合图象可知，.
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设集合，集合，则下列对应关系中是从集合A到集合B的一个函数的有( )
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数的定义一一判断求解.
【详解】对于A，任意，，
即任意，都有唯一的与之对应，所以A正确；
对于B，存在，，所以B错误；
对于C，任意，，
即任意，都有唯一的与之对应，所以C正确；
对于D，任意，，
即任意，都有唯一的与之对应，所以D正确；
故选:ACD.
10. 已知函数，则下列结论中正确的有( )
A. B. 的定义域为
C. 在区间上单调递增D. 若，则的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据正切函数的性质周期,定义域,函数值和单调性等选项逐个判断即可.
【详解】已知函数,函数的定义域为,
即函数的定义域为,故选项正确;
则,故选项错误;
当,则在区间上单调递增, 故选项正确;
因为的周期,
所以若，则的最小值为,故选项错误;
故选: .
11. 若a，b均为正数，且满足，则( )
A. 的最大值为2B. 的最小值为4
C. 的最小值是6D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据基本不等式、二次函数的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，
当且仅当时等号成立，A选项正确.
B选项，
，但由解得，不满足，
所以等号不成立，所以B选项错误.
C选项，，
当且仅当时等号成立，所以C选项错误.
D选项，，
所以当，时，
取得最小值，D选项正确.
故选：AD
12. 已知指数函数(，且)与对数函数(，且)互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程与的解分别为，，则( )
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由题意可得，直线与两函数和的交点横坐标分别为、，结合图像即可判断各选项.
【详解】由方程和可化为和，
即直线与两函数和的交点横坐标分别为、，
由于和互为反函数，则它们的图像关于直线对称，
如图所示，点、关于点对称，，且，
所以，故A正确；
因为，所以，
又，所以，故B正确；
由和它们的图像关于直线对称，所以，，
所以，故C正确；
对于D，由，则，即，与矛盾，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 求值：__________．
【答案】1
【解析】
【分析】利用指数对数的运算性质化简即可得到结果.
【详解】
故答案为：1
14. 已知幂函数满足：①是偶函数；②在区间上单调递减，请写出一个这样的函数__________．
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】根据幂函数的性质即得.
【详解】因为幂函数为偶函数，且在区间上单调递减，
所以函数满足题意.
故答案为：.
15. 已知，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用同角三角函数平方关系可构造方程求得,再求,进而运算求得结果.
【详解】由得：
，
解得：；
由得：
又因为,且,所以即
所以
则
故答案为：.
16. 我们知道，设函数的定义域为I，如果对任意，都有，且，那么函数的图象关于点成中心对称图形．若函数的图象关于点成中心对称图形，则实数c的值为__________；若，则实数t的取值范围是__________．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】(1)根据题意可得即可求出c的值；(2)根据解析式判断函数的单调性，并根据不等式得，利用函数的对称性和单调性即可求解不等式.
【详解】因为函数的图象关于点成中心对称图形，
所以，
即，
即，所以，
所以在定义域上单调递减，
令，
因为函数的图象关于点成中心对称，
所以的图象关于对称，
且单调递减，
因为，即，
即，也即，
所以则解得或，
故实数t的取值范围是.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设集合．
(1)若，；
(2)若，．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)解不等式求得集合，由此求得.
(2)根据并集、补集、交集的知识求得正确答案.
【小问1详解】
，所以，所以.
，解得，所以.
若，则，所以.
【小问2详解】
或，
若，则，
所以.
18. 已知．
(1)若角的终边过点，求；
(2)若，分别求和值．
【答案】(1)
(2)，
【解析】
【分析】(1)利用诱导公式化简，根据三角函数的定义求得.
(2)根据齐次式的知识求得正确答案.
【小问1详解】
，
若角的终边过点，则，
所以.
【小问2详解】
若，
所以；
.
19. 某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y(单位：万元)是销售利润x(单位：万元)的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择：
A．；B．；C．．
(1)请你帮助该公司从中选择一个最合适函数模型，并说明理由；
(2)根据你在(1)中选择的函数模型，解决如下问题：
①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？
②总奖金能否超过销售利润的五分之一？
【答案】(1)模型C,理由见解析
(2)①210万元; ②不会.
【解析】
【分析】(1)根据函数的图象性质即可选择模型；
(2)①令解对数不等式求解，②即，结合函数图象的增长速度解释.
【小问1详解】
模型A．，因为，所以匀速增长，
模型B．，因为，先慢后快增长，
模型C．，因为，先快后慢增长，
所以模型C最符合题意.
【小问2详解】
因为销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元，
所以，即，
又因为销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元，
所以，即，
由解得，所以，
①如果总奖金不少于9万元，即，
即，即，解得，
所以至少应完成销售利润210万元.
②设，即，
因为与有交点，
且增长速度比慢，
所以当时，恒在的下方，
所以无解，
所以总奖金不会超过销售利润的五分之一.
20. 已知函数的图象经过点．
(1)求在区间上的最大值和最小值；
(2)记关于x的方程在区间上的解从小到大依次为，试确定正整数n的值，并求的值．
【答案】(1)最大值为，最小值为；
(2)，.
【解析】
【分析】(1)将代入，求出函数的解析式，根据求出的范围，即可求出函数的最大值和最小值；
(2)由方程可得，利用余弦函数的性质，可求得n的值和的值.
【小问1详解】
将代入，
得，即，
解得，，因为，所以，
所以，
当时，，
所以，所以，
所以在区间上的最大值为，最小值为；
【小问2详解】
因为，所以，
即，，
由余弦函数性质可知，在上有4个解，
所以，即，，，
累加可得，.
21. 已知为奇函数．
(1)判断函数在区间上的单调性，并证明你的判断；
(2)若关于x的方程有8个不同的解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)在单调递增，在上单调递减；证明见解析.
(2)
【解析】
【分析】(1)根据奇函数的性质可求得的值，用单调性的定义即可证明函数的单调性.
(2)将已知方程因式分解得，，作出的图像，数形结合即可得到的取值范围.
【小问1详解】
因为函数为奇函数，且定义域为，则，解得，所以，
当时，，，所以函数为奇函数.
则在单调递增，在上单调递减.
证明如下：
，且
，
当时，，，，所以，即，所以函数在上单调递增；
当时，，，，所以，即，所以函数在上单调递减.
【小问2详解】
因为，则，即，
解得或，因为有4个解，
要使关于x的方程有8个不同的解，则有4个不同的解，如图所示，
根据第一问函数单调性可知，当时，，所以的取值范围是且，综上，的取值范围是.
22. 已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且．
(1)求和的解析式；
(2)若函数在上的值域为，求正实数a的值；
(3)证明：对任意实数k，曲线与曲线总存在公共点．
【答案】(1)，
(2)
(3)证明见详解
【解析】
【分析】(1)利用解方程组法即可求得解析式.
(2)构造函数通过换元法利用二次函数的最值即可求得的值.
(3)分类讨论利用零点存在性定理即可证明.
【小问1详解】
，分别为定义在上奇函数和偶函数
所以，又因为①，
所以②，
有①②可知， ，.
【小问2详解】
令，由(1)知，，
又因为，令，所以
所以，
函数在上的值域为，
所以，故,
当时，得，又因为，所以
【小问3详解】
由(1)知，所以
与曲线总存在公共点，
即在有实数根，令，
当时，易知为函数的零点，
当时，易知函数在单调递减，
又因为，，由零点存在性定理可知:
,使得成立.
当时，，
又因为，，所以.
由零点存在性定理可知:,使得成立.
故对任意实数函数在有零点.
即对任意实数曲线与曲线总存在公共点.