河北省唐山市2022-2023学年高一上学期学业水平调研数学试题(学生版+解析)

这是一份河北省唐山市2022-2023学年高一上学期学业水平调研数学试题(学生版+解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2. ( )
A. B. C. D.
3. 命题“，”的否定为( )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
4. 若幂函数的图象经过第三象限，则a的值可以是( )
A. B. 2C. D.
5. 方程的解一定位于区间( )
A. B. C. D.
6. 已知函数满足，则( )
A. B. 1C. D.
7. 已知，则“”是“”成立的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 下列结论正确的是( )
A. B.
C. 若，则D. 若，则
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 将函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变；再向右平移个单位长度，然后再向下平移2个单位长度，得到函数的图象，则( )
A. B. 函数为奇函数
C. 的图象关于点对称D. 的图象关于直线对称
10. 已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C
D. 关于x的不等式的解集为
11. 定义域为R的函数满足，，当时，，已知，则( )
A. 的最大值是1B.
C. D. 与的图像有4个交点
12. 对任意的锐角，，下列不等关系中正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. ______．
14 已知，，则______．
15. 已知正数满足，则的最小值为_______．
16. 已知函数
①当时，不等式的解集为______；
②若是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知全集，集合，．
(1)当时，求，；
(2)若，求实数a的取值范围．
18. 已知函数，．
(1)求的单调递增区间；
(2)求在区间内的最小值及此时对应的x值．
19. 已知函数．
(1)判断在定义域内的单调性，并给出证明；
(2)求在区间内的值域．
20. 某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为2000万元，每生产百台，需另投入生产成本万元．当年产量不足46百台时，；当年产量不小于46百台时，．若每台设备售价5万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完．
(1)求该企业投资生产这批新型机器年利润所(万元)关于年产量x(百台)的函数关系式(利润＝销售额－成本)；
(2)这批新型机器年产量为多少百台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润．
21. 已知定义域为的偶函数，当时，．
(1)求实数a值及的解析式；
(2)解关于t不等式．
22. 如图，长方形ABCD，，，的直角顶点P为AD中点，点M、N分别在边AB，CD上，令．
(1)当时，求梯形BCNM的面积S；
(2)求的周长l的最小值，并求此时角的值．
唐山市2022~2023学年度高一年级第一学期学业水平调研考试
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性求出集合，再根据交集的定义即可得解.
【详解】，
所以.
故选：B.
2. ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由诱导公式一求解即可.
【详解】
故选：A
3. 命题“，”的否定为( )
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可判断出答案.
【详解】由题意知命题“，”为存在量词命题，
其否定为全程量词命题，即，，
故选：C
4. 若幂函数的图象经过第三象限，则a的值可以是( )
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂函数的图象和性质，一一判断各选项，即得答案.
【详解】当时，为偶函数，图象在第一和第二象限，
不经过第三象限，A不合题意；
当时，为偶函数，图象过原点分布在第一和第二象限，
图象不经过第三象限，B不合题意；
当时，，图象过原点分布在第一象限，不经过第三象限，C不合题意；
当时，为奇函数，图象经过原点和第一、三象限，D符合题意，
故选：D
5. 方程的解一定位于区间( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，再根据零点的存在性定理即可得出答案.
【详解】令，定义域为，
因为函数在都是增函数，
所以函数在是增函数，
又因，则，
所以函数在区间上，
即方程的解一定位于区间上.
故选：C.
6. 已知函数满足，则( )
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别令，，然后解方程组可得.
【详解】分别令，，则，解得.
故选：A
7. 已知，则“”是“”成立的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先解不等式，然后根据集合的包含关系可得.
【详解】不等式，解得
记，
因为，所以“”是“”成立充分不必要条件.
故选：A
8. 下列结论正确的是( )
A. B.
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性即可判断A；根据指数函数与对数函数的单调性结合中间量法即可判断B；根据不等式的性质即可判断CD.
【详解】对于A，因为，所以，
即，故A错误；
对于B，因为，所以，故B错误；
对于C，当时，，
此时，故C错误；
对于D，若，则，所以，故D正确.
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 将函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变；再向右平移个单位长度，然后再向下平移2个单位长度，得到函数的图象，则( )
A. B. 函数为奇函数
C. 的图象关于点对称D. 的图象关于直线对称
【答案】BD
【解析】
【分析】根据周期变换和平移变换的原则求出函数的解析式，再根据正余弦函数的性质逐一判断即可.
【详解】函数图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，
可得，
再向右平移个单位长度，
可得，
然后再向下平移2个单位长度，可得，故A错误；
，
因为，
所以函数为奇函数，故B正确；
因为，所以点不是函数的对称中心，故C错误；
因为，所以的图象关于直线对称，故D正确.
故选：BD.
10. 已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D. 关于x的不等式的解集为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系，即可由根与系数的关系得，进而结合选项即可求解.
【详解】由不等式的解集为，所以和1是方程的两个根，由根与系数的关系可得 ，解得
，
故A错误，B正确，，故C正确，
不等式变为，解得，故D错误，
故选：BC
11. 定义域为R的函数满足，，当时，，已知，则( )
A. 的最大值是1B.
C. D. 与的图像有4个交点
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据的对称性以及周期性即可判断ABC,根据画图，即可根据
函数图象的交点个数求解.
【详解】对于A，由于在单调递增,故此时，由可知关于对称，故的最大值也为1,又知是周期为2的周期函数，因此在定义域内，，故A正确，
对于B,，所以，故B错误，
对于C, ，故C正确，
对于D，在同一直角坐标系中，画出的图象如下图，即可根据图象得两个函数图象有4个交点，故D正确.
故选：ACD
12. 对任意的锐角，，下列不等关系中正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据和角公式结合正弦余弦函数的性质判断AB；取判断C；由结合余弦函数的单调性判断D.
【详解】因为，是锐角，所以，，故A正确，B错误；
当时，，，(其中)，，故C错误；
因，是锐角，则，而函数在上单调递减，于是得，又，有，D正确.
故选：AD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. ______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用对数的换底公式求解即可.
【详解】
.
故答案为：.
14. 已知，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据诱导公式以及同角关系可得，由正切的二倍角公式即可代入求解.
【详解】由得，由可得，故 ，
由二倍角公式得，
故答案：
15. 已知正数满足，则的最小值为_______．
【答案】9
【解析】
【分析】利用基本不等式，结合解一元二次不等式，即可求得答案.
【详解】对于正数,有,当且仅当时取得等号，
故由得，即，
所以，故或(舍去),
故，即的最小值为9，当且仅当时取最小值，
故答案为：9
16. 已知函数
①当时，不等式的解集为______；
②若是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】①分类讨论解分段函数不等式；②分段函数单调递增等价于各分段单调递增以及分段处单调递增，分别根据二次函数性质、幂函数性质列式求解即可.
【详解】①时，，由得x无解，或.
故所求解集为；
②是定义在R上的增函数等价于单调递增，单调递增，且，
则有，故实数m的取值范围为.
故答案为：；.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知全集，集合，．
(1)当时，求，；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】(1)先解不等式得集合A，然后根据集合运算可得；
(2)利用数轴分析可解.
【小问1详解】
解不等式，得
当时，，所以
因为，所以
【小问2详解】
因为，所以
所以，即实数a的取值范围为
18. 已知函数，．
(1)求的单调递增区间；
(2)求在区间内的最小值及此时对应的x值．
【答案】(1)
(2)时，
【解析】
【分析】(1)先根据降幂公式和辅助角公式化简，然后由正弦函数的单调性可得；
(2)根据x的范围求得的范围，然后由正弦函数的性质可解.
【小问1详解】
由，得，
∴的单调递增区间为
【小问2详解】
因，所以
故当，即时，
19. 已知函数．
(1)判断在定义域内的单调性，并给出证明；
(2)求在区间内的值域．
【答案】(1)单调递减，证明见解析
(2)
【解析】
【分析】(1)利用复合函数的单调性性质，结合对数函数与反比例函数的单调性，可得答案，利用单调性的定义证明即可；
(2)根据(1)所得的函数单调性，可得其最值，可得答案.
【小问1详解】
由函数，则函数在其定义域上单调递减.
证明如下：
由函数，则，，，解得，即函数的定义域为，
取任意，设，
，
由，则，即，故，
所以，则函数在其定义域上单调递减.
【小问2详解】
由(1)可知函数在其定义域上单调递减，则函数在上，，
所以函数在上的值域为.
20. 某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为2000万元，每生产百台，需另投入生产成本万元．当年产量不足46百台时，；当年产量不小于46百台时，．若每台设备售价5万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完．
(1)求该企业投资生产这批新型机器的年利润所(万元)关于年产量x(百台)的函数关系式(利润＝销售额－成本)；
(2)这批新型机器年产量为多少百台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1)
(2)年产量为40百台时，该企业所获利润最大,最大利润是2800万元.
【解析】
【分析】(1)分和两种情况分别求出年利润所(万元)关于年产量x(百台)的函数关系式，即得答案；
(2)根据(1)的结论，分段求出函数的最大值，比较大小，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意可得∶当时，，
当时
所以年利润y(万元)关于年产量x(百台)的函数关系式为：
.
【小问2详解】
由(1)得时，，
此时(百台)时，(万元)，
当时， ，
当且仅当，即时等号成立，(万元)，
而，故(百台)时，利润最大，
综上所述：年产量为40百台时，该企业所获利润最大,最大利润是2800万元.
21. 已知定义域为的偶函数，当时，．
(1)求实数a的值及的解析式；
(2)解关于t的不等式．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】(1)根据偶函数定义域关于原点对称即可求出，令，则，根据函数为偶函数即可求得时，函数的解析式，即可得解；
(2)先判断函数在上的单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可，注意函数的定义域.
【小问1详解】
因为定义域为的偶函数，
所以，解得，
则函数的定义域为，
又当时，即当时，，
令，则，
，
所以；
【小问2详解】
当时，，
因为函数在上都是减函数，
所以函数在上是减函数，
又函数函数是定义在上的偶函数，
所以关于t的不等式，
即为，解得，
所以关于t的不等式的解集为.
22. 如图，长方形ABCD，，，的直角顶点P为AD中点，点M、N分别在边AB，CD上，令．
(1)当时，求梯形BCNM的面积S；
(2)求的周长l的最小值，并求此时角的值．
【答案】(1)
(2)当时，.
【解析】
【分析】(1)在中，由直角三角形的边角关系得出，进而得出梯形BCNM的面积S；
(2)由直角三角形的边角关系以及勾股定理得出，再由换元法结合正弦函数的性质求解即可.
【小问1详解】
，，
【小问2详解】
由(1)可知，
，，
令，则，即
当，即时，.