北京市昌平区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份北京市昌平区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．计算：等于（ ）
A．3B．-3C．±3D．81
2．昌平，取“昌盛平安”之意，自西汉设县以来距今已有2000多年.期间辖区内修建了众多的古今建筑.下列是昌平区的四个建筑图片，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．以下列长度的三条线段为边，能组成一个等腰三角形的是（ ）
A．2，4，7B．5，6，6C．1，1，2D．3，4，5
4．下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．李叔叔以家庭主申请人的身份申请北京市小客车指标，在提交申请后的第一次“摇号”就中签
B．直角三角形两锐角互余
C．第一小组的10名同学中，包含了3名女生，若从这组选出4名同学完成任务，则至少有1名男生
D．掷一枚标准的骰子，面朝上的点数等于8
5．下列选项中，最接近的整数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．甲做360个零件与乙做480个零件所出的时间相同，已知两人每天共做140个零件，若设甲每天做个零件，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，把沿折叠后，点的对应点为，且点落在四边形内部，则，，之间满足的数量关系是（ ）
A．B．C．D．
8．阅读下面材料：
已知：，，，点是中点，给出下面四个结论：
①；
②；
③；
④点是上的一个动点，当取最小值时，．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④B．②③C．③④D．②③④
二、填空题
9．若分式的值为0，则的值为 .
10．如图，．请你添加一个条件，使．你添加的条件是 （要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
11．如图所示，为了在数轴上找到表示无理数的点，小王同学制作了一个以为圆心，为半径的圆，并在此圆上标记一个点，将点与原点重合.若让此圆在数轴上向右滚动一周后，点就是数轴上表示无理数的点，则 .
12．已知命题“两个三角形全等，则它们的面积相等”为真命题，则这个命题的逆命题为 命题（用“真”，“假”填空）
13．如图，货架上水平摆放着九个外包装完全一样的盲盒，每个盲盒内装有一件商品，装甲商品的盲盒有5个，装乙商品的盲盒有4个，随机抽取一个盲盒，则抽到 种商品的可能性大．（用“甲”，“乙”填空）

14．若实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则 .
15．如图，点在直线上，点在直线外.若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有 个.
16．某学校计划租用客车接送251名学生和5名教师去博物馆，每辆车至少有1名教师，现有甲、乙、丙三种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
请写出一个满足乘坐需求的租车方案 ，若需要租车总费用最少，则租车方案为 .
三、解答题
17．计算：.
18．计算：.
19．已知：如图，，是线段上两点，，，．求证：．
20．计算：.
21．解方程：.
22．先化简，再从0，1，2三个数中，选择一个合适的数作为的值代入求值.
23．已知：如图，.
求作：线段，使得.
作法：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点和点；
②作直线，交于点；
③连接.
所以线段即为所求作的线段.
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形.（保留作图痕迹）
(2)完成下列证明：
证明：是线段的垂直平分线，
（____________）.（填写推理依据）
___________°.
，
.
.
24．第31届世界大学生夏季运动会，于2023年7月28日至8月8日在成都举办.上海的学生小李一家想在此次运动会期间前往成都观赛，可供选择的交通工具有我国自主知识产权的高铁和C919大型民航客机．已知民航客机的平均速度是高铁的3倍，当路程均为1620千米时，搭乘民航客机会比高铁节省4小时，求民航客机和高铁的平均速度．
25．已知：中，，为中点，过点作，交于点，在的延长线上有一点，连接，满足．
(1)求证：．
(2)若，试判断的形状，并证明．
26．阅读材料：
和为整数，；
和为整数，；
和为整数，；
……
小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有，
并给出了证明：根据题意，得
．
等式两边同时___________，得
____________．
整理得
．
请根据以上材料，解决以下问题：
(1)请补全小明的证明过程.
(2)若和为两个相邻整数，则____________.
(3)若和为相差4的两个整数，求的值．
27．已知：如图，线段、点是线段上方一动点，且，线段和线段关于直线对称，过点作，与线段的延长线交于点，点和点关于直线对称，作射线交于点，交于点.
(1)当，时，求的长.
(2)请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明.
(3)当线段的长取最大值时，的值为__________.
28．给出如下定义：两条线段相交于一点（交点不与端点重合），连接不同线段的两个端点，再连接另两个端点所得图形称为“8字形”．如图，线段与交于点，连接和，所得图即为“8字形”．
(1)下列四个图形中，含有“8字形”的有：____________．
(2)如图1，与交于点，连接和，和的延长线交于点，满足，．
①当时，判断与的数量关系，并证明；
②如图2，当时，求证：．
甲客车
乙客车
丙客车
载客量（单位：人/辆）
43
49
55
租金（单位：元/辆）
1350
1500
1600
参考答案：
1．A
【分析】=3，9的算术平方根等于3，需注意的是算术平方根必为非负数，即可得出结果．
【详解】=3
故选：A
【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义，一个正数只有一个算术平方根，0的算术平方根是0．
2．C
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解．
【详解】解：A：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C：是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C
3．B
【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，根据组成三角形的条件：任意两边之和大于第三边，以及等腰三角形的两边相等，逐一判断即可得出答案．
【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意；
B、有两条边相等们可以组成等腰三角形，符合题意；
C、，不能组成三角形，不符合题意；
D、三条边都不相等，不能组成等腰三角形，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了事件的分类，熟记“必然事件是指一定会发生的事件；不可能事件是指不可能发生的事件；随机事件是指可能发生也可能不发生的事件”．根据定义，对每个选项逐一判断．
【详解】解：A、属于随机事件，符合题意；
B、属于必然事件，不符合题意；
C、属于必然事件，不符合题意；
D、属于不可能事件，不符合题意；
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了无理数的大小估算，确定在 哪两个完全平方数之间是解题关键．
【详解】解：∵，
∴
∵
∴更接近
故选：C
6．A
【分析】本题考查了列分式方程，找准等量关系是解题关键．先求出乙每天做个零件，再根据甲做360个零件与乙做480个零件所出的时间相同列出方程即可得．
【详解】解：由题意可知，乙每天做个零件，
则可列方程为，
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了折叠问题和三角形外角的性质，据此得到角之间的关系，即可得到结果，解题的关键是根据三角形外角的性质得到角度之间的关系．
【详解】解：连接，如图所示：
∵沿折叠后，点的对应点为，
∴，，，
在中，，
在中，，
∴，
即，
故选：B．
8．D
【分析】根据题意可推出，，即可判断①、②；由，，即可判断③；作点关于的对称点，连接交于点，可得的最小值为，证得即可判断④．
【详解】解：∵，，
∴
∴，
∵点是中点，
∴
∴
∴是等边三角形
∴，
∴，故①错误；
∵，
∴，
故②正确；
∴是等边三角形，
∵，，
∴，故③正确；
作点关于的对称点，连接交于点，如图所示：
则有：
∴
∴的最小值为
∵，，
∴
∴
∴当取最小值时，
故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形三边关系、含的直角三角形的特征、全等三角形综合以及线段和的最值问题，熟记相关定理结论是解题关键．
9．0
【分析】本题考查了分式值为0的条件，根据分子为0，分母不为0求解即可．
【详解】解：若分式的值为0，
则，，
，
即的值为0，
故答案为：0．
10．（答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的五种判定方法是解题关键．由题意可知，，，根据全等三角形的判定定理添加条件即可．
【详解】解：由题意可知，，，
若，则，
若，则，
若，则，
故答案为：（或，或）．
11．/0.5
【分析】根据题意，得知圆的周长等于，列方程求解即可；
本题主要考查在数轴上表示无理数，熟练掌握数形结合的方法是解题的关键．
【详解】解：根据题意，此圆在数轴上向右滚动一周，点就是数轴上表示无理数的点
数轴上所表示的正是圆的周长
为半径
故答案为：
12．假
【分析】本题考查了命题及其逆命题，全等三角形的性质，正确写出逆命题是解题关键．
【详解】解：命题“两个三角形全等，则它们的面积相等”的逆命题为“两个三角形面积相等，则这两个三角形全等”，
两个三角形面积相等，这两个三角形不一定全等，
这个命题的逆命题为假命题，
故答案为：假．
13．甲
【分析】此题主要考查了概率公式，解题的关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：∵装甲商品的盲盒有5个，装乙商品的盲盒有4个，
∴随机抽取一个盲盒，抽到甲种商品的概率为，抽到乙种商品的概率为，
∵
∴抽到甲种商品的可能性大．
故答案为：甲．
14．
【分析】本题考查了根据数轴判断有理数的大小，二次根式的性质，绝对值的意义，先根据数轴判断出来的大小，然后化简二次根式即可，判断出来的正负是解题的关键．
【详解】解：由数轴可得，
，
根据的取值可得：，
故答案为：．
15．4
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，根据题意，分三种情况求解，即可得到答案，利用分类讨论的思想解决问题是关键．
【详解】解：如图，
①以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点、，
此时，和为等腰三角形，
②以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点，
此时，为等腰三角形，
③作的垂直平分线，与与直线交于点，
此时，为等腰三角形，
即满足条件的点位置有4个，
故答案为：4．
16． 5辆丙客车（答案不唯一） 3辆丙客车，1辆乙客车，1辆甲客车，
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题关键．由题意可知，最多租5辆客车，从而写出满足乘坐需求的租车方案即可；按租丙客车的数量讨论，设甲客车租辆，分别列不等式求解，再计算满足需求的租车方案的总费用，即可得到答案．
【详解】解：每辆车至少有1名教师，
最多租5辆客车，
总人数为（人），
若全租丙客车，，符合题意，
则满足乘坐需求的租车方案为5辆丙客车；
故答案为：5辆丙客车（答案不唯一）；
①若租丙客车5辆，则甲、乙客车没有租，
此时乘坐人数为，满足题意，
租车总费用为：元；
②若租丙客车4辆，设甲客车租辆，则乙客车租辆，其中，
此时，
解得：，
的取值为或，
当时，即租丙客车4辆，甲客车1辆，租车总费用为：元；
当时，即租丙客车4辆，乙客车1辆，租车总费用为：元；
③若租丙客车3辆，设甲客车租辆，则乙客车租辆，其中，
此时，
解得：，
的取值为或，
当时，即租丙客车3辆，甲客车1辆，乙客车1辆，租车总费用为：元；
当时，即租丙客车3辆，乙客车2辆，租车总费用为元；
租丙客车少于3辆时，均不满足需求，
则租车总费用最少的租车方案为3辆丙客车，1辆乙客车，1辆甲客车，
故答案为：3辆丙客车，1辆乙客车，1辆甲客车，
17．3
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算．
【详解】解：
．
18．
【分析】本题考查了分式的加法，掌握异分母加法的运算法则是解题关键．先通分，变为同分母分式，再加减即可．
【详解】解：
．
19．见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的五种判定方法是解题关键．利用“”证明即可．
【详解】证明：，
，
.
在和中，
，
．
20．
【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式在二次根式中的运用，掌握公式的形式是解题关键．
【详解】解：原式
21．x＝.
【分析】根据分式方程的解法求解即可.
【详解】去分母得：2x﹣6+x2＝x2﹣3x，
解得：x＝，
检验x＝是原方程的解．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法，注意根的验证.
22．，当时，原式=1.（或原式=）
【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后确定a的值，把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：
；
∵，
∴，
将代入，得：.（或将代入，得：.）
23．(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，三角形内角和定理，对于（1），根据步骤作出图形即可；
对于（2），根据题意补充条件即可．
【详解】（1）作图：
（2）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，45．
∵是线段的垂直平分线，
∴（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，45．
24．高铁平均速度为270千米/时，民航平均速度为810千米/时
【分析】本题考查了分式方程的应用，设高铁的平均速度为千米/时，则民航客机的平均速度为千米/时，根据题意列分式方程求解检验，即可得到答案．
【详解】解：设高铁的平均速度为千米/时，则民航客机的平均速度为千米/时，
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合实际问题的意义，
当时，，
答：高铁平均速度为270千米/时，民航平均速度为810千米/时．
25．(1)见详解
(2)判断：为直角三角形，证明见详解
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理；
（1）根据三线合一可得平分，则，根据平行线的性质可得，等量代换可得，根据等角对等边即可得证；
（2）根据三线合一可得，勾股定理得出，进而证明是等边三角形，得出则，即可得出结论．
【详解】（1）证明：中，，点为中点，
平分．
．
，
．
．
．
（2）判断：为直角三角形．
证明：中，，点为中点，
，．
点为中点，，
．
，，，
，即．
，
．
．
．
是等边三角形．
．
．
在中，．
为直角三角形．
26．(1)平方，
(2)25
(3)
【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
（1）根据证明过程补全即可；
（2）根据已知结论，得出，求出的值即可；
（3）根据题意，得，将等式两边同时平方，整理后求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，
等式两边同时平方，得，
整理得，
故答案为：平方，；
（2）解：由题意可知，，
，
即，
故答案为：25．
（3）解：根据题意，得，
等式两边同时平方，得，
整理得：，
，
，
．
27．(1)
(2)，证明见详解
(3)
【分析】本题主要考查了轴对称的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）根据轴对称的性质可得，由平行线的性质可得，从而得到，由等角对等边可得，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理计算出，即可得解；
（2）由轴对称的性质可得是线段的垂直平分线，从而得到，证明，得出，即可得证；
（3）当时，的值最大，即的值最大，由可得此时的长达到最大值，设，则，证明为等腰直角三角形，结合勾股定理得出，从而得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：线段，关于直线对称，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，即，
；
（2）解：，
证明：点关于直线的对称点为，
是线段的垂直平分线，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：点关于直线的对称点为，
是线段的垂直平分线，
，
，
，
如图，作于，
线段，关于直线对称，
，
，，
，
当时，的值最大，即的值最大，由可得此时的长达到最大值，
如图，当时，
，
是等腰直角三角形，
，
设，则，
线段，关于直线对称，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
由（2）可得，
，
，
故答案为：．
28．(1)①④
(2)①，证明见详解 ②见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
（1）根据“8字形”的定义逐一判断即可；
（2）①利用“”证明，即可得到答案；
②方法一：在上截取，易证，再根据等角对等边的性质，即可证明结论；
方法二：在上取一点，使得，易证，再根据等角对等边的性质，即可证明结论；
方法三：在的延长线上取一点，使得，易证，即可证明结论．
【详解】（1）解：由“8字形”的定义可知，含有“8字形”的图形有①④，
故答案为：①④．
（2）解：①，证明如下：
，
，，，
，
，
在和中，
，
，
；
②方法一：
证明：如图，在上截取，
在和中，
，
，
，，
，
，
；
方法二：
证明：如图，在上取一点，使得，
在和中
.
，
，
，
，
；
方法三：
证明：如图，在的延长线上取一点，使得，
，
，，
在和中，
，
，
．