北京市门头沟区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题

这是一份北京市门头沟区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列的垃圾分类标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．芝麻是世界上最古老的油料作物之一，如果一粒芝麻质量约为千克，将用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
6．下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有10cm，15cm，20cm和25cm四种规格，小朦同学已经取了10cm和15cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取（ ）

A．10cmB．15cmC．20cmD．25cm
8．设是实数，定义一种新运算，下面有四个推断：
① ②
③ ④，其中所有正确推断的序号是（ ）
A．①②③④B．①③④C．①②D．①③
二、填空题
9．如果分式的值为0，那么的值为是 ．
10．分解因式： ．
11．计算：= ．
12．如图，，点在上，添加一个条件使，该条件是 ．
13．当时，代数式的值为 ．
14．等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为 ．
15．在平面直角坐标系中，，，点是轴上的一个动点，当最小时，点的坐标是 ．
16．如图，在中，，的平分线与外角的平分线相交于点M，作的延长线得到射线，作射线，有下面四个结论：
①；
②；
③射线是的角平分线；
④．
所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD，求证：AE=FC.
19．计算：．
20．解分式方程：．
21．已知，求代数式的值．
22．如图，AD是的高，CE是的角平分线．若，，求的度数．
23．阅读材料，并回答问题：
小亮在学习分式运算过程中，计算解答过程如下：
解：
①
②
③
④
问题：（1）上述计算过程中，从 步开始出现错误（填序号）；
（2）发生错误的原因是： ；
（3）在下面的空白处，写出正确解答过程：
24．下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在中，，
求作：点，使点在边上，且到和的距离相等．
作法：
如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点；
分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；
画射线，交于点．
所以点即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程：
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：过点作于点，连接，，
在与中，
∵，，，
∴(______)，
∴____________，
∵，
∴，
又∵，
∴(______)．
25．列方程或方程组解应用题：
小马自驾私家车从地到地，驾驶原来的燃油汽车所需油费108元，驾驶新购买的纯电动车所需电费27元，已知每行驶1千米，原来的燃油汽车所需的油费比新购买的纯电动汽车所需的电费多元，求新购买的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费.
26．如图，在平面直角坐标系中，，，连接．
(1)画线段，使得线段与线段关于轴对称，写出、的坐标： ， ；
(2)写出一个点的坐标，使成为等腰三角形， ， ；
(3)已知点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有 个．
27．如图，为等边三角形，在内作射线，点B关于射线的对称点为点D，连接，作射线交于点E，连接．

(1)依题意补全图形；
(2)设，求的大小（用含的代数式表示）；
(3)用等式表示，，之间的数量关系，并证明．
28．对于平面直角坐标系中的线段及点，给出如下定义：
如果点满足，那么点就是线段的“关联点”．其中，当时，称为线段的“远关联点”；当时，称为线段的“近关联点”．
(1)如图1，当点坐标分别为和时，在，，，中，线段的“近关联点”有_______．
(2)如图2，点的坐标为，点在轴正半轴上，．
①如果点在轴上，且为线段的“关联点”，那么点的坐标为_______；
②如果点为线段的“远关联点”，那么点的纵坐标的取值范围是_______．
参考答案：
1．A
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【详解】解：B，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：A．
2．B
【分析】绝对值小于1的利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定．
【详解】解：，
故选：B．
3．C
【分析】分式有意义时，分母不等于零．
【详解】解：依题意得：，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零．
4．C
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、分式的乘方、合并同类项分别进行判断即可．此题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、分式的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项正确，符合题意；
D．与不是同类项，不能进行合并和计算，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
5．B
【分析】根据n边形内角和公式可直接求出多边形的边数．
【详解】设这个多边形的边数为n，
则，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查多边形内角和，注意公式的准确记忆．
6．A
【分析】根据分式的基本性质逐个判断即可．
【详解】解：．，故本选项正确，符合题意；
．，故本选项错误，不符合题意；
．，故本选项错误，不符合题意；
．，例如，，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是能熟记分式的基本性质，注意：分式的基本型性质是：分式的分子和分母都乘或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变．
7．D
【分析】根据三角形三边关系确定第三边取值范围即可求解．
【详解】设三角形第三边长为，即
∴
∴选项A，B，C，不符合题意，D符合题意．
故答案选D
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟记三角形三边关系建立不等式是解题的关键．
8．D
【分析】本题考查了完全平方公式，根据新运算规则结合完全平方公式，对选项逐个进行判断求解即可．
【详解】解：，，故①正确；
，，故②错误；
，，故③正确；
，，故④错误；
故选：D．
9．2
【分析】本题考查了分式为条件，分式的分子为，分母不为是解题的关键．
根据分式的分子为0，分母不为0，可得答案．
【详解】解：分式的值为0，
，且，
，
故答案为：2．
10．
【分析】此题考查了因式分解，先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
【详解】
．
故答案为：．
11．5x+4/4+5x
【分析】利用多项式除以单项式的运算法则计算即可．
【详解】解：
=5x+4．
故答案为：5x+4．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式，掌握多项式除以单项式的运算法则是解题关键．
12．（答案不唯一）
【分析】根据已知条件和全等三角形的判定方法，添加合适的条件即可，此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：由图可知，，，
当时，，
当时，，
故答案为：（答案不唯一）
13．9
【分析】本题主要是考查了完全平方公式以及多项式乘多项式、整体代入法求解代数式的值，熟练利用完全平方公式以及多项式乘多项式，把整式进行化简，这是解决该题的关键．先把变形为，然后利用完全平方公式以及多项式乘多项式，将式子去括号展开，并合并同类项，然后将整体代入化简的式子中求值即可．
【详解】解：由可得：，
原式，
故答案为：9．
14．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
【详解】解：当4为腰时，
∵，
∴不能够构成三角形，
当9为腰时，周长为，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
过点A关于x轴的对称点D，连接交x轴于点C，首先得到当点B，C，D三点共线时，最小，然后求出所在直线的表达式为，然后当时求出，即可求出点C的坐标．
【详解】如图所示，过点A关于x轴的对称点D，连接交x轴于点C，
∴
∴当点B，C，D三点共线时，最小．
∵
∴
∴设所在直线的表达式为
∴，解得
∴
∴当时，
解得
∴点的坐标是．
故答案为：．
16．①③④
【分析】由角平分线的定义可知．再根据三角形外角的性质得出，即可确定，故①正确；过点M作于点F，于点G，于点H，由角平分线的性质定理可得出．即易证，得出，即说明射线是的角平分线，故③正确；利用反证法，假设，易证，即得出．由，可知，即说明不成立，故②错误；由，即得出．再根据角平分线的定义即得出，最后结合三角形内角和定理即可求出结论，可判断④正确．
【详解】解：∵为的平分线，
∴．
∵，
∴，
∴，故①正确；
如图，过点M作于点F，于点G，于点H，
∵为的平分线，为的平分线，
∴．
又∵，
∴，
∴，即射线是的角平分线，故③正确；
假设，
∴．
∵为的平分线，是的角平分线，
∴，，
∴，即，
∴，即．
∵，
∴，
∴假设不成立，故②错误；
∵，
∴．
∵，
∴，
∴
，
∴④正确．
综上可知所有正确结论的序号是①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查角平分线的定义，角平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质及三角形内角和的应用等知识．正确作出辅助线构造全等三角形，并利用数形结合的思想是解题关键．
17．
【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，先计算绝对值，零指数幂和负整数指数幂，再计算加减法即可．
【详解】解：原式
．
18．证明见解析.
【分析】由已知条件BE∥DF，可得出∠ABE=∠D，再利用ASA证明△ABE≌△FDC即可．
【详解】证明：∵BE∥DF，
∴∠ABE=∠D，
在△ABE和△FDC中，
∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F
∴△ABE≌△FDC（ASA），
∴AE=FC．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质求证△ABC和△FDC全等．
19．
【分析】根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、同底数幂的除法法则依次计算后将结果相加即可．
【详解】解：a3⋅a+(−3a3)2÷a2
=a4+9a6÷a2
=a4+9a4
=10a4
【点睛】此题考查整式的计算，正确掌握整式乘法中的同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则，以及整式的同底数幂的除法法则、合并同类项法则是解题的关键．
20．
【分析】此题只需按照求分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，最后进行检验即可．
【详解】解：
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并得，
系数化为1，得：
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解是：
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21．
【分析】先利用分式的减法计算括号内的减法运算，再计算分式的乘法即可得到化简结果，再求出，整体代入化简结果即可得到答案，此题考查了分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式
22．
【分析】AD是的高，有；由知；CE是的角平分线可得；，；在中，．
【详解】解：∵AD是的高
∴
∵
∴
∵CE是的角平分线
∴
∵
∴
∴在中，．
【点睛】本题考查了角平分线．解题的关键在于正确表示各角度之间的数量关系．
23．（1）③；（2）分式加法法则运用错误；（3）见解析
【分析】观察整个运算过程，根据分式的加法运算法则，找出错误的步骤并正确求解即可．
【详解】（1）③；
（2）同分母分式相加时，分母不变，分子相加，不能去掉分母；
（3）原式，
，
，
．
【点睛】本题考查了分式的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
24．(1)补图见解析；
(2)，，，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
【分析】（）根据题意补全图形，即可；
（）证明，可得，再根据角平分线的性质定理即可求证；
本题考查了尺规作图——作已知角的平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出图形是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为补全的图形；
（2）证明：过点作于点，连接，，
在与中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴(角平分线上的点到角的两边的距离相等)，
故答案为：，，，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
25．纯电动车行驶一千米所需电费为0.18元
【详解】试题分析：此题的等量关系是：A地到B地的路程是不变的，
即：
试题解析：设新购买的纯电动汽车每行驶一千米所需电费为x元.
由题意得：
解得：x=0.18
经检验0.18为原方程的解
答:纯电动车行驶一千米所需电费为0.18元.
考点：分式方程的应用
26．(1)见解析，；；
(2)；
(3)7
【分析】（1）依据线段A1B1与线段AB关于y轴对称，即可得到线段A1B1，并得到A1、B1的坐标；
（2）利用等腰三角形的定义，并结合轴对称的性质，找到一点C即可；
（3）依据点C在坐标轴上，且△ABC是等腰△ABC，即可得出所有符合条件的C点．
【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求，、；
故答案为：；；
（2）解：如图所示，使成为等腰三角形，点；
故答案为：；
（3）解：如图所示，分别以点A、B为圆心，AB长为半径作圆，与坐标轴相交，得到5个交点，过两圆交点画直线与坐标轴相交，得到2个交点，则点C在坐标轴上，且满足ΔABC是等腰三角形的C点有7个．
【点睛】本题考查了作图轴对称变换，几何图形都可看作是由点组成，解题的关键是我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
27．(1)见详解
(2)
(3)，证明见详解
【分析】（1）依题意补全图形；
（2）先得出，，再得出，，进而得出，，得出，即可得出结论；
（3）如图2，在上取一点F，使，先判断出是等边三角形，得出，，再判断出，得出，即可得出结论
【详解】（1）解：依题意，补全图形如图1所示

（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵点B关于射线的对称点为点D，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
（3）证明：，过程如下：
如图2，在上取一点F，使，

由（2）知，，
∵，
∴，
∴，
由折叠知，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
即
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了对称性，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解（3）的关键．
28．(1)，
(2)①；②或
【分析】（1）首先得到A、B关于y轴对称，，得到P点在y轴上，然后根据“近关联点”的定义求解即可；
（2）①首先求出，然后利用勾股定理得到，，设点P的坐标为，得到，，根据题意得到，然后代入求解即可；
②过点A作x轴的对称点C，过点C作的对称点D，得到线段的“关联点”在的垂直平分线，证明出，是等边三角形，然后求出点C和点D的纵坐标，然后根据“远关联点”的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴A、B关于y轴对称，，
∵，
∴P点在y轴上，
∴线段的“关联点”是，，，
当时，，
∴，
∴，
∴是线段的“近关联点”，
当时，，
∴，
∴，
∴是线段的“近关联点”，
当时，，
∴，
∴，
∴点是线段AB的“远关联点”，
故答案为：，；
（2）∵，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
①设点P的坐标为，
∴，，
∵点在轴上，且为线段的“关联点”，
∴
∴
∴，
∴
∴点的坐标为．
故答案为：；
②如图所示，过点A作x轴的对称点C，过点C作的对称点D，
∴
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∴点C和点D在的垂直平分线上
∴，
∴线段的“关联点”在的垂直平分线
∴由图象可得，当点的纵坐标时，点为线段的“远关联点”；
∵和关于对称
∴是等边三角形
∴，
∴
∴
∴点D的纵坐标为6
∴由图象可得，当点的纵坐标时，点为线段的“远关联点”；
综上所述，点的纵坐标或时，点为线段的“远关联点”．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了新定义，勾股定理，含角的直角三角形，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握新定义，勾股定理解直角三角形，含角的直角三角形性质，等边三角形性质，等腰三角形性质是解题的关键．