北京市西城区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
展开一、单选题
1.火纹是一种常见的装饰图案,多用于建筑、家具设计等.下列火纹图案中,可以看成轴对称图形的是( )
A.B.C.D.
2.下列运算中,正确的是( )
A.B.C.D.
3.在平面直角坐标系中,点关于x轴对称的点的坐标是( )
A.B.C.D.
4.下列各式从左到右变形一定正确的是( )
A.B.C.D.
5.如图,在中,,,是的角平分线.若点D到的距离为3,则的长为( )
A.12B.7.5C.9D.6
6.如果,那么代数式的值为( )
A.B.C.6D.13
7.如图,在平面直角坐标系中,已知点,(),且,则点C的横坐标为( )
A.B.C.D.
8.如图,在中,,,点D,E是边上的两个定点,点M,N分别是边,上的两个动点.当四边形的周长最小时,的大小是( ).
A.45°B.90°C.75°D.135°
二、填空题
9.计算:(1) ;(2) .
10.若分式有意义,则x的取值范围是 .
11.计算: .
12.如图,为等腰三角形,,,连接,.只需添加一个条件即可证明,这个条件可以是 (写出一个即可).
13.如图,有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片,用1张甲种纸片、4张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成(无重叠、无缝隙)一个大正方形,则拼成的大正方形的边长为 (用含a,b的式子表示).
14.甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书,甲清点完这批图书的,乙加入清点剩余的图书,两人合作清点完剩余的图书.如果乙单独清点这批图书需要几小时?若设乙单独清点这批图书需要h,则根据题意可列方程为 .
15.在正三角形纸片上按如图方式画一个正五边形,其中点F、G在边上,点E、H分别在边、上,则的大小是 .
16.如图,动点与线段构成,其边长满足,,.点在的平分线上,且,则的取值范围是 ,的面积的最大值为 .
三、解答题
17.分解因式:
(1);
(2).
18.(1)计算:;
(2)先化简,再求值:,其中.
19.如图,点C、D在上,,,,、相交于点G.
(1)求证:;
(2)求证:.
20.解方程:.
21.已知:如图,.
求作:射线,使,且点C在直线的下方.
作法:①在射线上取一点P,过点P作射线的垂线,与射线相交于点M;
②在的延长线上取一点N,使;
③以点O为圆心,长为半径画弧,
再以点M为圆心,长为半径画弧,两弧在直线下方相交于点C;
④作射线.
所以射线即为所求作的射线.
(1)使用直尺和圆规,依作法补全图形(保留作图痕迹);
(2)完成下面的证明.
证明:连接,.
∵,,
∴.( )(填推理的依据)
∴ .
∵,
∴.
在和中,
∴.( )(填推理的依据)
∴ .
∴,
即.
22.阅读材料:
如果整数,满足,,其中,,,都是整数,那么一定存在整数,,使得.例如,,,或,……
根据上述材料,解决下列问题:
(1)已知,,或,……若,则 ;
(2)已知,(,为整数),.若,求(用含,的式子表示);
(3)一般地,上述材料中的,可以用含,,,的式子表示,请直接写出一组满足条件的,(用含,,,的式子表示).
23.在中,,点D在的内部,,.
(1)如图1,线段的延长线交于点E,且.
①求的度数;
②用等式表示线段,,之间的数量关系,直接写出结果;
(2)如图2,点F在线段的延长线上,连接交射线于点M,且M为的中点.求证:.
24.在平面直角坐标系中,已知点,直线l经过点T且与x轴垂直.对于图形M和图形N,给出如下定义:将图形M关于y轴对称的图形记为,图形关于直线l对称的图形记为,若图形与图形N有公共点,则称图形M是图形N的“双称图形”.
例如,如图1,当时,对于点和第三象限角平分线,点P关于y轴的对称点是,点关于直线l的对称点在射线上,则点P是射线的“双称图形”.
已知点,,图形N是以线段为一边在直线上方所作的正方形.
(1)当时,直线l和正方形如图2所示.
①在,,这三个点中,点 是图形N的“双称图形”;
②点,,,是图形N的“双称图形”,求m的取值范围;
(2)若图形N是它自身的“双称图形”,直接写出t的取值范围.
25.如图,是等边三角形.点是延长线上的一个动点,连接,点在的垂直平分线上,且平分,连接,,过点作于点.
(1)当时,的值为 ;
(2)给出下面四个结论:
①点一定在的垂直平分线上;
②点一定是线段的中点;
③当时,;
④点运动过程中,的大小始终不变.
上述结论中,所有正确结论的序号是 .
26.在平面直角坐标系中,对于任意两点,,给出如下定义将点与的“变倍距离”记为,
若,则;
若,则.
例如,点与的“变倍距离”.
已知点.
(1)若点,,则 , ;
(2)点D在y轴负半轴上,且,求点D的坐标;
(3)点P,Q是第一、三象限角平分线上的两个动点(P与Q不重合),若,直接写出t的取值范围.
参考答案:
1.B
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别,理解轴对称图形的定义是解题关键.如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.根据轴对称图形的定义逐项分析判断即可.
【详解】解:A. 不是轴对称图形,不符合题意;
B. 是轴对称图形,符合题意;
C. 不是轴对称图形,不符合题意;
D. 不是轴对称图形,不符合题意.
故选:B.
2.C
【分析】本题考查了同底数幂除法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项,根据相关运算法则逐一计算,即可判断答案.
【详解】解:A、,原计算错误,不符合题意;
B、,原计算错误,不符合题意;
C、,原计算正确,符合题意;
D、和不是同类项,不能合并,原计算错误,不符合题意;
故选:C.
3.A
【分析】此题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征,根据关于轴对称点的规律,横坐标相同,纵坐标互为相反数,解答即可.
【详解】解:点关于x轴对称的点的坐标是,
故选:A.
4.B
【分析】本题考查了分式的基本性质,平方差公式,解题关键是掌握分式的分子和分母乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变.根据分式的基本性质以及赋值法注意判断,即可得到答案.
【详解】解:A、若,,则,,即,原变形错误,不符合题意;
B、,原变形正确,符合题意;
C、若,,,则,,即,原变形错误,不符合题意;
D、,原变形错误,不符合题意;
故选:B.
5.C
【分析】本题考查了角平分线的性质,点到直线的距离,含30度角的直角三角形,掌握角平分线上的点到角两边的距离相等.过点作于点,根据角平分线的性质,得到,再由30度角所对的直角边等于斜边一半,得到,即可求出的长.
【详解】解:如图,过点作于点,
是的角平分线,,
,
点D到的距离为3,
,
在中,,
,
,
故选:C.
6.D
【分析】本题考查了整式的化简求值,完全平方公式,单项式乘以多项式,利用整体代入的思想解决问题是关键..由已知可知,再将代数式变形为,即可计算求值.
【详解】解:,
,
,
故选:D.
7.D
【分析】本题主要考查坐标与图形,全等三角形的判定和性质,掌握“一线三等角”模型证明三角形全等是解题的关键.
根据题意,分别作轴,轴,根据“一线三等角”模型证明,由此即可求解.
【详解】解:如图所示,过点作轴于点,过点作轴于点,
∵,,
∴,,,
∴,
∵,
∴,
∴,
在,中,
,
∴,
∴,,
∴,
∵点在轴的负半轴上,
∴点的横坐标为,
故选:.
8.B
【分析】本题主要考查轴对称—最短路径的运用,掌握最短路径的的计算方法,等腰三角形的性质,三角形的内角和、外角和的综合运用.
根据题意,分别作点的对称点,根据两点之间线段最短可确定点的位置为点,此时四边形的周长最小,根据对称的性质可得,,根据三角形的外角的性质可得,根据直角三角形中两锐角互余可得出,,运用等量待会即可求解.
【详解】解:如图所示,作点关于的对称点,作点关于的对称点,连接交于点,
∴根据两点之间线段最短可得,的值最小,
∴四边形的周长最小值为:,
∵在中,,,即是等腰直角三角形,
∴,
在中,
∵,
∴,
根据对顶角的性质可得,,,
根据对称的性质可得,,,,,
∴,,
在,中,
∵,,
∴
,
∴当四边形的周长最小时,的大小是,
故选:.
9. 1
【分析】本题考查了零指数幂和负整数指数幂,根据相关运算法则计算即可.
【详解】解:(1),
故答案为:1;
(2),
故答案为:.
10.
【分析】根据分式有意义的条件:分母不等于0进行求解即可.
【详解】解:由题意得:,
解得:,
故答案为:.
【点睛】本题考查了分式有意义的条件,解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于0.
11./
【分析】本题考查了单项式乘以单项式,同底数幂相乘,利用同底数幂乘法法则,即可计算求值.
【详解】解:,
故答案为:.
12.(答案不唯一)
【分析】本题考查了全等三角形判定定理,根据已知一角一边相等,可添加相等角的另一边相等,求解即可.
【详解】添加条件为:;
∵,
∴,即,
∵,,
∴,
故答案为:.
13./
【分析】本题考查了完全平方公式的应用,正确理解题意,根据完全平方公式解答即可.
【详解】解:由题意可知,拼成的大正方形面积为,
,
拼成的大正方形的边长为,
故答案为:.
14.
【分析】本题考查分式方程的应用,分析题意,找到合适的等量关系是解决问题的关键,注意分式方程一定要检验.设乙同学单独清点这批图书需要小时,根据两人合作清点完另一半图书,列出方程即可.
【详解】由题意可得:甲的工作效率为,
∴,
故答案为:.
15./度
【分析】本题考查了等边三角形的性质,多边形内角和,三角形外角的性质,掌握多边形内角和公式是解题关键.由边三角形的性质得到,由多边形内角和得出,再利用三角形外角的性质,即可求出的大小.
【详解】解:是正三角形,
,
正五边形的内角和为,
,
是的外角,
,
,
故答案为:.
16.
【分析】在中,由三角形三边关系“在一个三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”可知,代入数值即可确定的取值范围;延长交于点,首先利用“”证明,由全等三角形的性质可得,,进而可求得,结合三角形中线的性质易知,确定面积的最大值,即可获得答案.
【详解】解:∵在中,,
∴,
解得;
如下图,延长交于点,
∵为的平分线,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∵,
∴,
当时,的面积取最大值,
即,
∴.
故答案为:,.
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、解一元一次不等式、角平分线、全等三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识,熟练掌握相关知识,正确作出辅助线是解题关键.
17.(1);
(2).
【分析】()先提公因式,再利用平方差公式因式分解即可求解;
()先提公因式,再利用完全平方公式因式分解即可求解;
本题考查了因式分解,掌握提公因式法和公式法是解题的关键.
【详解】(1)解:
,
;
(2)解:
,
.
18.(1);(2),原式
【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法,分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解答本题的关键.
(1)根据多项式与多项式的乘法法则计算即可;
(2)先根据分式的运算法则把所给代数式化简,再把代入计算.
【详解】解:(1)
.
(2)
=.
当时,原式.
19.(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质.
(1)证明,即可得出结论;
(2)由全等三角形的性质,得出,,再由等角对等边的性质,得到,即可得出结论.
【详解】(1)证明:∵,
∴,
即.
在和中,
∴.
∴.
(2)证明:∵,
∴,,
∴.
∴,
即.
20.
【分析】本题考查的是解分式方程,方程两边同乘以变形为整式方程,解整式方程并检验,即可确定原方程的解.
【详解】解:,
方程两边同乘,得,
解得:,
检验:当时,,
所以,原分式方程的解为.
21.(1)见解析
(2)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;;;;;
【分析】本题考查了垂直平分线的判定和性质,全等三角形的判定和性质,作辅助线构造全等三角形是解题关键.
(1)根据已知作法作图即可;
(2)由题意可知,垂直平分,得到,证明,得到,即可证明结论.
【详解】(1)解:补全图形如图所示;
(2)解:如图,连接、,
∵,,
∴.(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等)
∴.
∵,
∴.
在和中,
,
∴,
∴.
∴,
即,
故答案为:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;;;;;.
22.(1)9
(2)或
(3),
【分析】本题主要考查了实数运算、整式运算、完全平方公式等知识,熟练掌握相关运算法则是解题关键.
(1)结合,,求解即可;
(2)将,代入,整理可得,即可获得答案;
(3)根据题意,可得,结合,可令,,即可获得答案.
【详解】(1)解:∵,
∴,
∴,
∵,
∴.
故答案为:9;
(2)解:根据题意,,,,
∴,
∴
∴,
∴或;
(3)解:∵,,
∴,
又∵,
令,,
此时可有一组解,,
即,.
23.(1)①45度;②
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,三角形内角和为180度,
(1)①通过证明可得,再由等边对等角及三角形内角和为180度即可求解;②根据可得,再由线段的转换即可求解;
(2)延长到点N,使,在上截取,通过证明,可得,再证明,可得,由等边对等角及角的转换可得,即可求解;
熟练掌握知识点,并添加适当的辅助线是解题的关键.
【详解】(1)①∵,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴;
②,理由如下:
∵,
∴,
∵,
∴;
(2)延长到点N,使,在上截取,
∵M为的中点,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
24.(1)①,;②或
(2)
【分析】本题考查了轴对称,坐标与图形,不等式组的应用;
(1)①根据题意在坐标系中描出两次对称的点,根据新定义,即可求解;
②根据题意求得两次对称的点的坐标,结合新定义,列出不等式组,解不等式组,即可求解;
(2)根据新定义,求得点关于两次对称后的点的坐标,列出不等式组,解不等式组,即可求解.
【详解】(1)解:①如图所示,
∴,;是图形N的“双称图形”;
②设点关于轴的对称点为,则,设点关于直线的对称点为,
则,即
∴
同理可得,关于轴和直线两侧对称后的对称点分别为,
∵是图形N的“双称图形”,
∴与正方形有交点,
∴或,
解得:或
(2)解:∵已知点,,
∴关于轴的对称点为,关于轴对称的点的为
设点关于的对称点为,
则,即
∴,
设点关于的对称点为,
则,即
∴,
∵图形N是它自身的“双称图形”,
∴①或②
解不等式组①得
解不等式组②得
综上所述,
25.(1)2
(2)②④
【分析】(1)当时,首先证明为等腰直角三角形,易得,再结合等边三角形的性质即角平分线的定义可得,然后根据“直角三角形中,30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得,即可求得的值;
(2)给定条件无法确定,故无法确定点一定在的垂直平分线上,结论①不正确;连接,由垂直平分线的性质可得,再证明,由全等三角形的性质可得,进而可得,然后根据等腰三角形“三线合一”的性质可证明点是线段的中点,故结论②正确;当时,可确定,故此时不成立,结论③不正确;证明,而,易得,即点运动过程中,的大小始终不变,故结论④正确.
【详解】(1)解:如下图,
当时,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵为等边三角形,
∴,,
又∵平分,
∴,
∴在中,,
∴.
故答案为:2;
(2)若点一定在的垂直平分线上,
则有,而题目条件无法确定,故结论①不正确;
连接,如下图,
∵点在的垂直平分线上,
∴,
∵平分,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,即点是线段的中点,故结论②正确;
当时,
∵,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴,
故此时不成立,结论③不正确;
如下图,
∵,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
即点运动过程中,的大小始终不变,故结论④正确.
故答案为:②④.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、角平分线、三角形外角的定义和性质等知识,综合性较强,综合运用相关知识是解题关键.
26.(1)18,17
(2)点D的坐标为或
(3)
【分析】本题主要考查了绝对值的意义、坐标与图形、整式的运算等知识点,掌握分类讨论思想是解题的关键.
(1)直接运用“变倍距离”的定义求解即可;
(2)分和两种情况根据“变倍距离”的定义求解即可;
(3)设,以P为例,分别求出和,然后分别根据a、b的取值范围求出t的取值范围,最后选择最大范围即可.
【详解】(1)解:∵,
∴;
∵,
∴;
故答案为:18,17.
(2)解:设D的坐标为,
当,即,则时,,
解得或(不合题意舍去),则点D的坐标为;
当,即,则时,,
解得或(不合题意舍去),则点D的坐标为;
综上,点D的坐标为或.
(3)解:设,以P为例:,
当时,,则,
∵,
∴此时,,则,
当时,
①当时,,则;
②当时,,则;
∴,
当时,
①当时,,则,
②当时,,则
∴.
综上,t的取值范围为.
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