23，四川省成都市锦江区成都市七中育才学校2023-2024年九年级上学期1月月考数学试题

这是一份23，四川省成都市锦江区成都市七中育才学校2023-2024年九年级上学期1月月考数学试题，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据俯视图定义直接判断即可得到答案．
【详解】解：从上面看该几何体，所看到的图形是长方形，中间有一条实线，
故选：C．
【点睛】本题考查几何体俯视图，解题的关键是掌握俯视图定义及熟练掌握三视图中直接看到的是实线，遮挡的是虚线．
2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据或进行逐项分析，作答即可
【详解】解：A、是关于y是的反比例函数，故该选项是错误的；
B、，y是x的反比例函数，故该选项是正确的；您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高C、是正比例函数，故该选项是正确的；
D、是关于y是的反比例函数，故该选项是错误的；
故选：B
3. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一根为（ ）
A. B. C. 7D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义．设另一根为a，利用根与系数的关系得到关于a的方程，即可求出a的值．
【详解】解：设另一根为a，
则，
解得：，
故选D．
4. 若四边形四边形，且，已知，则BC的长是（ ）
A. 25B. 9C. 20D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例．
由相似多边形的性质推出，代入有关数据，即可求出的值．
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，
∵，，
∴．
故选：B．
5. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A、B的坐标分别为、，则点D的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平面直角坐标系内点的特点，根据题意求出菱形的边长是解题的关键．
根据点A、B的坐标，求出的长度，根据菱形的性质，得出，根据轴，即可得出点D的坐标．
【详解】解：∵点A、B的坐标分别为、，
∴，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，即轴，
∴点D的坐标为：，
故选：A．
6. 在一个不透明的盒子中装有n个球，这些球除颜色外无其他差别，这n个球中只有3个红球，其余为白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则白球的个数为（ ）
A. 12B. 15C. 18D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查利用频率估计概率，正确列出方程是本题关键．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
经检验：是方程的解，
则白球个数为：个，
故选：A．
7. 视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“ ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）

A. ①和②B. ②和③C. ①和④D. ②和④
【答案】B
【解析】
【分析】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得．
【详解】解：A、①和②是位似图形，则此项不符合题意；
B、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意；
C、①和④是位似图形，则此项不符合题意；
D、②和④是位似图形，则此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了位似图形，熟记定义是解题关键．
8. 如图，点O是矩形的对角线AC的中点，交于点M，若，，则的长为（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角形相似的性质可得，由勾股定理可得，由直角三角形的性质可得的长．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，且点O是矩形对角线的中点，，
∴，
在中，，
∵在中，点O是斜边上的中点，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，求出的长度是本题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 已知，则________．
【答案】
【解析】
【分析】设a=3k，b=5k，代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴设a=3k，b=5k，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答此题的关键．
10. 若关于x的一元二次方程x2+3x﹣2a＝0有实数根，则a的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用判别式的意义得到△=≥0，然后利用不等式的性质解关于a的不等式即可．
【详解】解：根据题意得△=≥0，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
11. 已知点与点都在反比例函数的图象上，且，那么______（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键．由可知反比例函数的图象在第二、四象限，由可知点与点所在的象限，由此即可判断结果．
【详解】，
，
反比例函数的图象在第二、四象限，
，
点在第四象限，点在第二象限，
，，
，
故答案为：．
12. 如图，乐器上的一根弦的长度为20cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是弦靠近点B的黄金分割点，则线段的长度为______cm．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算是解题的关键．直接由黄金比值列式计算即可．
【详解】解：∵点C是弦靠近点B的黄金分割点，的长度为20cm，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在矩形中，，．①以点为圆心，以不大于长为半径作弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线交于点，则长为______．
【答案】
【解析】
【分析】由作图步骤可知AG是的角平分线，MN是CQ的垂直平分线，则BQ=AB=1，利用勾股定理可得AQ=QG=，因为AD∥BQ，所以，则，即，解得OQ=，所以OG=OQ+QG=．
【详解】由题意可知：AG是的角平分线，MN是CQ的垂直平分线，
=45°，
BQ=AB=1，
在中，，
AD∥BQ，

，即，解得OQ=，
OG=OQ+QG=．
【点睛】本题主要考查了角平分线、垂直平分线的作图方法，相似三角形判定，勾股定理，解题的关键是掌握角平分线、垂直平分线的作图方法以及找准相似三角形进行线段计算．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. （1）计算：
（2）解方程：．
【答案】（1），（2）．
【解析】
【分析】本题考查了二次根式化简、有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂以及经解一元二次方程，解答时根据相关运算法则和解题方法运算即可．
（1）分别计算有理数的乘方、负整数指数幂、化简二次根式、计算零指数幂，再进行合并即可；
（2）用因式分解法解方程即可．
【详解】解：（1）
；
（2）原方程可化为：
，
或，
∴．
15. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 人；
（2）在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【答案】（1）200 （2）81°
（3）
【解析】
【分析】（1）用银行卡的人数除以其百分比即可得到总人数；
（2）先求出微信支付的人数，得到支付宝支付的人数，再利用公式计算；
（3）将微信记为A，支付宝记为B，银行卡记为C，列表利用公式求概率．
【小问1详解】
解：这次活动共调查了（人），
故答案为：200；
【小问2详解】
解：微信支付的人数为（人），
支付宝支付的人数为200-60-30-50-15=45（人），
表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为，
故答案为：81°；
【小问3详解】
解：将微信记为A，支付宝记为B，银行卡记为C，列表格如下：
共有9种等可能性的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的结果有3种，
则P（两人恰好选择同一种支付方式）＝．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
16. 小红和小亮经常去学校图书馆里阅读各种书籍，两位同学想利用刚学过的测量知识来测量该图书馆的高度．某天，他们带着测量工具来图书馆前，但由于校园整体规划的原因，他们无法到达图书馆底部．于是小亮在地面上的点处放置了一个平面镜，小红从处出发沿着方向移动，当移动到点处时，刚好在平面镜内看到图书馆的顶端的像，此时，测得米，小红眼睛到地面的距离为1.6米；然后，小亮沿方向移动到点，用测量器测得图书馆顶端的仰角为45°，此时，测得，测量器的高度米．已知点、、、在同一水平直线上，且、、均垂直于，求该图书馆的高度．
【答案】米
【解析】
【分析】作关于地面的镜像点，连接，根据镜像的原理得到点在一条直线上，通过，证得，得到，再根据四边形是平行四边形得到，再根据得到，从而得到，再根据建立关于的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：如下图所示，作关于地面的镜像点，连接，作交于点
∵在点刚好可以看到点，故点在一条直线上，
∵，
∴，
∵,
∴
∴，
∴，
∵点是点的镜像点，
∴
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得米．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是将测量得到的数据与相似三角形的知识相结合建立方程．
17. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，．

（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若的面积等于2，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）1
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得，，结合可得，即可证明四边形是平行四边形；
（2）根据等底等高的三角形面积相等可得，再根据平行四边形的性质可得．
【小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
又，
四边形平行四边形．
【小问2详解】
解：，，
，
四边形是平行四边形，
．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．
18. 如图，已知反比例函数与一次函数交于，N两点．

（1）求M，N两点的坐标；
（2）求的面积？
（3）若反比例函数在第一象限上存在一点P，使得是以为腰的等腰三角形，求P点坐标？
【答案】（1），
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，解方程组求得点的坐标，勾股定理，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，正确的求得点的坐标是解题的关键．
（1）将点的坐标代入得到点，将点的坐标代入得到一次函数的表达式为，解方程组即可得到结论；
（2）求得，根据即可得到结论；
（3）根据勾股定理得到，设 )，①当 时, ②时，解方程即可得到结论．
【小问1详解】
将点的坐标代入得，
解得，
即点，
将点的坐标代入得，
解得，
∴一次函数的表达式为，
解方程组，
解得 (舍去)或
，
故点；
；
【小问2详解】
令得
解得 ，
∴直线与轴的交点的坐标为，


；
【小问3详解】
解：，设，
①当时，
解得或
(舍去负值)或(舍去) ，
∴；
时，，
化简得 ，
解得 或，
∴P的坐标为或 ，
综上所述，或或 ．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 若方程的两个实数根为，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】题考查的是一元二次方程根与系数的关系，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
将代入方程可得，然后将原始变形并结合一元二次方程根与系数的关系分析计算．
【详解】解：∵为方程的实数根，
∴，即，
∴
∵方程的两个实数根为，，
∴，
∴．
故答案为：．
20. 有四张正面分别标有数字﹣3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数学记为a，则使关于x的分式方程有正整数解得概率为___________
【答案】
【解析】
【详解】解分式方程得：x=，
能使该分式方程有正整数解的只有0（a=1时得到的方程的根为增根），
∴使关于x的分式方程有正整数解的概率为．
故答案为．
21. 如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则这个六棱柱的一个侧面面积是______．（单位：m）
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了正六棱柱的三视图，注意题目中的隐含条件及左视图的特点，得出正六边形的边长是解题关键．
由正六棱柱的主视图和左视图，可得到正六棱柱的边长为2 m，高为3m，进而求出侧面积．
【详解】解：如图，
由正六棱柱的主视图和左视图，可得到正六边形的最长的对角线长是4，
设O为正多边形中心，
则，，，
则为等边三角形，
则边长，
由左视图可知，正六棱柱的高为3，
一个侧面的面积为，
故答案为：6．
22. 新定义：在平面内，如果三角形的一边等于另一边的2倍，则称该三角形为“鲲鹏三角形”，其中较长的边称为“鲲鹏边”，两条边所夹的角称为“鲲鹏角”，如图所示，在平面直角坐标系中，为“鲲鹏三角形”，为“鲲鹏边”，则为“鲲鹏角”，其中A，B两点在反比例函数图像上，，且A点横坐标为，点C坐标为，当为直角三角形时，______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了求反比例函数解析式、相似三角形的性质和判定等知识，解得时注意进行分类讨论．
分别讨论当或时，设，分别向y轴作垂线，构造相似三角形，表示点A和点B坐标，再根据反比例函数图象上点的特性构造方程，求k即可．
【详解】解：如图，当时，
分别过A，B作轴于点D，于点E，
设，
∴，
，
∴，
∴，
由题意，，
∴，
∵A点横坐标为－1，点C坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
（负舍），则，
∴
如图，当时，
分别过A，B作轴于点D，于点F，
设，
由题意，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∵A点横坐标为－1，点C坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴
故答案为：或．
23. 在平行四边形中，，，对角线，点在上运动，连接，，将，绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为，，连接，，，当为直角三角形时，______．
【答案】或
【解析】
【分析】当为直角三角形时，有三种可能①，②，③，分类求．
【详解】解：延长交于点．
将，绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为，
，
，
，
，
，
．
，
，
，
．
当为直角三角形时，
①当，
，
，
，，在同一直线上．
，
，
，
．
②当．
作于，延长交''于，
，，，
，
中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
中，
，
，
．
设，
，
，
．
解得，．
③不合题意，舍去．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，图形的旋转，等腰三角形直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程，关键是添加正确的辅助线．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24. 中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每支笔和每个圆规的进价之和为10元，且购买笔的数量是圆规的2倍.
（1）求商家购买笔和圆规的进价；
（2）商家在销售过程中发现，当笔的售价为每支8元，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出50支笔，30个圆规，据统计，圆规的售价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10%.商家在保证笔的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使笔和圆规平均每天的总获利为400元，则每个圆规的售价为多少元？
【答案】（1）商家购买笔和圆规的进价分别是4元和6元；
（2）每个圆规的售价为11元
【解析】
【分析】（1）设商家购买笔和圆规的进价分别是x和（10-x）元，列出分式方程，即可求解；
（2）设每个圆规的售价为m元，根据笔和圆规平均每天的总获利为400元，列出一元二次方程，进而即可求解．
【小问1详解】
解：设商家购买笔和圆规的进价分别是x和（10-x）元，
由题意得：，
解得：x=4，
经检验：x=4是方程的解，
∴10-x=6，
答：商家购买笔和圆规的进价分别是4元和6元．
【小问2详解】
设每个圆规的售价为m元，
由题意得：(8-4)×50+（m-6）×（）=400，
解得：m=10或m=11，
∵降价幅度不超过10%，
∴m=11，
答：每个圆规的售价为11元．
【点睛】本题主要考查分式方程和一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．
25. 如图1，反比例函数与一次函数交于，B两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）如图2，若点E是反比例函数第四象限上一点，当面积最小时，在直线上存在两点，且，求四边形周长的最小值？
（3）如图3，在（2）问条件下，连接，分别交y轴，x轴于C点，D点，连接交x轴于点H，在反比例函数上是否存在一点P，使？若存在，请求出点P的横坐标的范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）当面积最小时，经过点平行于直线的直线与 有且只有一个公共点，利用一元二次方程根与系数关系可得直线的解析式为，进而可得，作点关于直线的对称点， 过点作轴交直线于，连接 ，将点沿直线向左上平移个单位得到点，连接交直线于点, 将点沿直线向右下平移个单位得到点，则此时四边形的周长最小，利用两点间距离公式即可求得答案；
（3）当点P在第四象限时，如图，过点作于点，延长至, 使，过点作轴于，可得 ，从而求得点，得出直线的解析式为，联立方程求得点L的横坐标，可得；当点在第二象限时，如图，过点作于，延长至，使，过点作轴于，同理可得
【小问1详解】
把代入 得，
，
把 代入 得 ，
解得： ，
；
【小问2详解】
由 ，得 ，
∴，
当面积最小时，经过点平行于直线的直线与有且只有一个公共点，
设过点平行于直线的直线解析式为，
则 ，即 ，
，
∴或(舍去)，
∵直线的解析式为，
由 ，
解得:，
∴，
作点关于直线的对称点，过点作轴交直线于, 连接，
则 ，由对称性可得，将点沿直线向左上平移个单位得到点，连接交直线于点，将点沿直线向右下平移个单位得到点，则此时四边形的周长最小，如图，
，则为平行四边形，则，四边形的周长为最小，
∵将点E沿直线向左上平移个单位，相当于向左平移个单位，向上平移个单位 即，
，
，
∴四边形的周长最小值；
【小问3详解】
在反比例函数上是否存在一点，使，且或 理由如下：
，
∴直线的解析式为 直线的解析式为，
，
，
当点P在第四象限时，当时，始终有；
当点在第二象限时，如图，过点作于，延长至，使 , 过点作轴于，
则 ，
，
，即
，
，
同理可得： ，
，
，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得：或(舍去)，
或；
综上所述，在反比例函数上存在一点，使 则或或
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和反比例函数的图象和性质，轴对称一最小值问题，相似三角形的判定和性质等，正确添加辅助线是解题关键．
26. 如图1，菱形边长为3，延长至点C，使得．连接，．点E，F分别在线段和上，且满足，连接，交于点O，过点B作，交延长线于点M，连接．
图1 图2
（1）求与之间的数量关系；
（2）当时，求的长度；
（3）如图2，过点M作交于N，求的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）可证明，从而，进而得出，进而得出结果；
（2）作，交的延长线于点，作于点，根据得出，，从而，依次求得，，，，进而求得，，，进而求得，进一步得出结果；
（3）以为边在下方作等边三角形，可求得，从而点在等边三角形的外接圆上运动，连接，，，交于，则，，可证得，从而，进而求得，从而点在以为圆心，3为半径的圆上运动，故当与相切时，最大，从而得出最大，延长，交于点，根据得出设，则，从而得出，求得的值，进一步得出结果．
【小问1详解】
四边形菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
如图1，
作，交的延长线于点，作于点，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
【小问3详解】
如图1，
以为边在下方作等边三角形，
由上知：，
，
点在等边三角形的外接圆上运动，
连接，，，交于，则，，
，，
，，
，
，
，
，
，
点在以为圆心，3为半径的圆上运动，
当与相切时，最大，
，
最大，
延长，交于点，
，，
，
设，则，
，，
，
，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，解直角三角形等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）