25，河南省南阳市宛城区第三中学2023-2024学年八年级上学期第二次月考数学试题

这是一份25，河南省南阳市宛城区第三中学2023-2024学年八年级上学期第二次月考数学试题，共26页。试卷主要包含了 下列各数3，30303030…等内容，欢迎下载使用。

1. 下列各数3.14，0，，，，，，，，3.93，0.30303030…（相邻两个3之间有一个0）中，无理数的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数的分类，逐个判断即可．
【详解】解：，，
根据无理数的分类可得，无理数有，，，0.30303030…（相邻两个3之间有一个0）
个数为4，
故选：C
【点睛】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）等．
2. 如果一个正数两个不同平方根是和，则这个正数的值为（ ）
A. 9B. 25C. 81D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方根的定义得到，求出x的值，继而求解即可．
【详解】由题意得，，
解得，
，
故选：C．
【点睛】本题考查平方根性质，一元一次方程，掌握正数有两个平方根，它们是互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根是解题关键．
3. 如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果，，那么阴影部分的面积是（ ）您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高
A. 10B. 20C. 30D. 40
【答案】C
【解析】
【分析】由图可得五边形面积为正方形的面积加上梯形的面积，根据阴影部分面积为五边形面积减去空白部分两个三角形面积列式计算即可．
【详解】解：由图可知，五边形的面积正方形的面积梯形的面积
，
阴影部分的面积五边形的面积三角形的面积三角形的面积
，
∵，，
∴，
∴阴影部分的面积为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解决本题的关键．
4. 如图，P是等边△ABC形内一点，连接PA、PB、PC，PA：PB：PC＝3：4：5，以AC为边在形外作△AP′C≌△APB，连接PP′，则以下结论错误的是（ ）
A. △APP'是正三角形B. △PCP'是直角三角形C. ∠APB＝150°D. ∠APC＝135°
【答案】D
【解析】
【分析】先运用全等得出，，从而得出，得出△APP'是正三角形，根据比值设出未知数，根据勾股定理逆定理得出，逐一判断即可
【详解】解：△ABC是等边三角形
△AP′C≌△APB，
，
是正三角形，故A说法正确，不符合题意；
PA：PB：PC＝3：4：5，
设PA=3x,PB=4x,PC＝5x
根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，且故B选项说法正确，不符合题意；
又是等边三角形
，故C选项说法正确，不符合题意；
不能求出的度数，故D说法错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理，解题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论．
5. 如图，，过点作且，得；再过点，作，且，得；又过点作且，得依此法继续作下去，得（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可得出答案．
【详解】解：由勾股定理得：
，
，
，
，
依此类推可得：
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．
6. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D的边长为（ ）
A. cmB. 4cmC. cmD. 3cm
【答案】A
【解析】
【详解】运用直角三角形的勾股定理，设正方形D的边长为，则
，（负值已舍），故选A
7. 若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时 ，则首先应该假设这个四边形中（ ）
A. 至少有一个角是钝角或直角B. 没有一个角是锐角
C. 没有一个角是钝角或直角D. 每一个角是钝角或直角
【答案】C
【解析】
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【详解】用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时 第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角．
故选：C．
【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况．
8. 如图，长方体的长，宽，高，点在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是多少？（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了最短路径问题，利用了转化的思想，解题的关键是将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解．首先将长方体沿、、剪开，向右翻折，使面和面在同一个平面内，连接；或将长方体沿、、剪开，向上翻折，使面和面在同一个平面内，连接，或将长方体沿、、剪开，向下翻折，使面和面在同一个平面内，连接，然后分别在与与，利用勾股定理求得的长，比较大小即可求得需要爬行的最短路程．
【详解】解：将长方体沿、、剪开，向右翻折，使面和面在同一个平面内，连接，如图，
由题意可得：，，
在中，根据勾股定理得：；
长方体沿、、剪开，向上翻折，使面和面在同一个平面内，连接，如图，
由题意得：，，
在中，根据勾股定理得： ，
将长方体沿、、剪开，向下翻折，使面和面在同一个平面内，连接，，如图，
由题意得：，，
在中，根据勾股定理得：，
∵，
则需要爬行的最短距离是．
故选：A．
9. 如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B，D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（ ）

A. 1.5B. 2.5C. 2.25D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形的折叠和勾股定理计算即可．
【详解】∵正方形纸片ABCD的边长为3，
∴∠C＝90°，BC＝CD＝3，
根据折叠的性质得：EG＝BE＝1，GF＝DF，
设DF＝x，
则EF＝EG+GF＝1+x，FC＝DC﹣DF＝3﹣x，EC＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，
∵在Rt△EFC中，EF2＝EC2+FC2，即（x+1）2＝22+（3﹣x）2，解得：x＝1.5，
∴DF＝1.5，EF＝1+1.5＝2.5．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，通过折叠得到线段相等是解题的关键．
10. 如图，在中，，，，Q是上一动点，过点作于，于，，则的长是（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理及等面积法，连接，设，通过勾股定理得出ｋ的值，再求出，再利用等面积法求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】连接，
∵，
∴设，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得（负舍），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11. 大约在公元前五世纪古希腊人提出了“三等分角”，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒、组成，两根棒在点相连并可绕点转动，点固定不动，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数为______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质可得，然后利用三角形的外角可得，从而可得，进而求出，，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 如图，中，，线段为斜边的中线．分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于P，Q两点，作过P、Q两点的直线恰过点，交于点，若，则的长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了作图一垂直平分线，也考查了线段垂直平分线的性质和直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，先利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据斜边上的中线性质得到，求出，，然后利用勾股定理计算即可．
【详解】解：由作图方法可知垂直平分，
，，
线段为斜边的中线，
，
，
，
在中，
，
故答案为：．
13. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙．一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，则小巷的宽度为_____m．
【答案】2.2
【解析】
【分析】作出图形,利用定理求出BD长,即可解题.
【详解】解：如图,
在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,BC=0.7米,AC=2.4米,
∴AB2=0.72+2.42=6.25,
在Rt△BD中,∠DB=90°, D=2米,BD2+D2=B2,
∴BD2+22=6.25,
∴BD2=2.25,
∵BD0,
∴BD=1.5米,
∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米.
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用,属于简单题,利用勾股定理求出BD的长是解题关键.
14. 用四个全等直角三角形镶嵌而成的正方形如图所示，已知大正方形的边长为5，小正方形的面积为4，若x，y表示直角三角形的两直角边长，给出下列四个结论：①；②；③；④；⑤，．其中正确的结论有______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．
【详解】解：给图形标注字母如下：
为直角三角形，
∴根据勾股定理：，故选项①正确；
②由图可知，故选项②正确；
③由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为 即故选项③正确；
④由
又
∴（1）+（2）得，
整理得，
故选项④错误，
⑤由④可知，故选项⑤错误，
∴正确结论有，
故答案：．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______．
【答案】或##或
【解析】
【分析】连接，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，分点在线段上和的延长线上，且，勾股定理求得即可．
【详解】如图，连接，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，
，，
，
根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且，
，
如图，在中，，
在中，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点的位置是解题的关键．
三．解答题（共8个小题，共75分）
16.
（1）计算：；
（2）分解因式：①；②．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）先计算有理数的乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，然后进行加减运算即可；
（2）①利用综合提公因式、公式法进行因式分解即可；②利用公式法进行因式分解即可．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
①解：
；
②解：
．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，综合提公因式、公式法进行因式分解，利用公式法进行因式分解．熟练掌握有理数的乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，综合提公因式、公式法进行因式分解，利用公式法进行因式分解是解题的关键．
17. 先化简，再求值．
，其中．
【答案】，8
【解析】
【分析】首先，由可得：，根据两个非负数的和为零，则它们都为零，可求得a、b的值；其次，先算中括号里，分别用乘法公式及多项式的乘法法则展开，合并同类项，再算除法，即可化简原式，把所求得的a、b的值代入化简后的式子中求出值即可．
【详解】∵
∴
∵，，且
∴，且b+1=0
∴




当时，
原式
【点睛】本题考查了整式的混合运算，涉及多项式的乘法法则、乘法公式、多项式的除法法则，二次根式的非负性质等知识，算式比较复杂，难点在于已知条件，要转化为，根据两个非负数和为0的性质求得a、b的值，重点是二次根式的非负性质．
18. 为了深化课程改革，某校积极开展校本课程建设，计划成立“文学鉴赏”、“国际象棋”、“音乐舞蹈”和“书法”等多个社团，要求每位学生都自主选择其中一个社团．为此，随机调查了本校部分学生选择社团的意向，并将调查结果绘制成如下统计图（不完整）：
根据统计图的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的学生总数有______人，______，“音乐舞蹈”扇形的圆心角是______度；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有名学生，试估计全校选择“音乐舞蹈”社团的学生人数．
【答案】（1）200，30，126；
（2）见解析； （3）455人．
【解析】
【分析】（1）用书法的人数除以其所占的百分比即可求出抽样调查的学生总人数，用文学鉴赏、音乐舞蹈的人数除以总人数即可求出a、b的值，再用音乐舞蹈的人数的百分比乘以即可．
（2）用总人数乘以国际象棋的人数所占的百分比求出国际象棋的人数，再把条形统计图补充即可．
（3）用该校总人数乘以全校选择“音乐舞蹈”社团的学生所占的百分比即可．
本题考查了条形统计图，扇形统计图，样本估计总体，熟练掌握统计图的意义，用样本估计总体的思想是解题的关键．
【小问1详解】
本次抽样调查的学生总人数是：（人），
，
“音乐舞蹈”的百分比是：，
∴，
∴“音乐舞蹈”扇形的圆心角是：，
故答案：200，30，126；
【小问2详解】
国际象棋的人数是：，
条形统计图补充如下：
【小问3详解】
（人）
答：全校选择“音乐舞蹈”社团的学生人数大约有人.
19. 如图，某公司要在公路m，n之间的S区域修建一所物流中心P．按照设计要求，物流中心P到区域S内的两个社区A、B的距离必须相等，到两条公路m、n的距离也必须相等．那么物流中心P应建在什么位置才符合设计要求？请用尺规作图画出它的位置并注明点P的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理以及线段垂直平分线性质定理的实际应用．分别作出公路夹角的角平分线和线段的垂直平分线，它们的交点为P，则P点就是物流中心的位置．
【详解】解：如图，点P即为所求．
20. 我们学习过利用尺规作图平分任意一个角，而“利用尺规作图三等分任意一个角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．如图1是它的示意图，其中与半圆O的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与垂直于点B，足够长．三分角器的使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点E，点A落在边上，半圆O与另一边只有一个交点F，且，则，就把三等分了．求证：．
图1 图2
【答案】证明详见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，先证明得到，再由角平分线的判定定理得到，由此可证明．
【详解】证明：如图所示，连接
，
，
，，
，
，
，，，
，
．
21. 如图，隧道的截面由半径为5米的半圆构成．
（1）如图1，一辆货车宽，高，它能通过该隧道吗？
（2）如图2，如果该隧道内设双行道，一辆宽为，高为的货车能驶入这个隧道吗？
（3）如图3，如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有0.6m的隔离带，则一辆宽为，高为的货车______通过隧道（填“能”或“不能”）．
【答案】（1）能 （2）能
（3）不能
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，
（1）设于点，根据勾股定理得出长，再进行比较即可；
（2）设于点，连接，根据勾股定理得出长，再进行比较即可；
（3）设于点，连接，根据勾股定理得出长，再进行比较即可；
熟练掌握知识点，并添加适当的辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
如图所示，
设于点，，
，，
，这辆车能通过该隧道；
【小问2详解】
设于点，，连接，如图所示，
，，
，这辆车能通过该隧道；
【小问3详解】
设于点，，连接，如图所示，
，
，
，
这辆车不能通过该隧道,
故答案为：不能．
22. （1）在中，，，直线经过点，且于，于．当直线绕点旋转到图1的位置时，请直接写出、、之间的数量关系：______．
（2）在（1）的条件下，当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．
（3）类比以上解题思路，完成下面的题：如图3，已知中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为1，，之间的距离为3，求的长．
【答案】（1）；（2）不成立，理由详见详解；（3）或．
【解析】
【分析】本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定以及性质，勾股定理的应用．
（1）由已知推出，因为，推出，根据可证明，进而得出，，然后由可得到问题的答案．
（2）与（1）的解法类似可证出，能推出，得到，，最后得出．
（3）作于，作于，同（1）的解法类似可证出，再推出，进而求出，再利用勾股定理推出．进而再利用勾股定理求出．
【详解】证明：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中
∴，
∴，，
∵，
∴．
（2）不成立，，
理由：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴．
（3）解：作于，作于，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理，
得，
在中，根据勾股定理，
得或．
23. 小明在对本学期所学内容进行回顾与整理时，发现等腰三角形可以与许多知识产生奇妙的联系：
（1）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“等面积法”给了小明以灵感，当“等面积法”与等腰三角形相联系时，小明发现：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．请你结合图1进行证明．
已知：如图中，，P是底边上的任一点（不与B、C重合），于，于，于．
求证：；
（2）当勾股定理与等腰三角形相联系时，请帮小明完成如下问题：如图2，现测得，，，，则阴影部分的面积为______平方米；
（3）当最值与等腰三角形相联系时，请帮小明完成如下问题：如图3，在中，，，E，P分别是上任意一点，若，，则的最小值是______；
（4）当分类讨论与等腰三角形相联系时，请帮小明完成如下问题：如图4，在长方形中，，延长到点，使，连接．若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度仅沿着向终点运动，连接，设点运动的时间为秒，请直接写出______时，使为等腰三角形．
【答案】（1）证明详见解析；
（2）144； （3）；
（4）秒或4秒或秒．
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等面积求线段关系、勾股定理与逆定理等知识点，解题的关键是：
（1）利用等面积法证明即可；
（2）先根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，过点作于点，根据勾股定理、三线合一的性质求出，然后根据求解即可；
（3）过点作，垂足为点，交于点，证明是的垂直平分线，则，此时的值最小，最小值为线段的长，然后根据等面积法求解即可；
（4）分或或三种情况讨论即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
于D，于，于F，
，，，
又，
，
，
．
【小问2详解】
解：在中，，，，
，，
，
是直角三角形，；
过点作于点，
，
，
，
在中，，
，
，
，
．
故四边形展区（阴影部分）面积是．
【小问3详解】
解：过点作，垂足为点，交于点，
，，
，
是的垂直平分线，
，
，
此时的值最小，最小值为线段的长，
在中，，
的面积，
，
，
故答案为：．
【小问4详解】
解：根据题意，得
若为等腰三角形
则或或，
当时，
，，
，
，
．
当时，
，
，
，
当时，
，
，
在中，．
，
．
，
，
．
综上所述：当秒或4秒或秒时，为等腰三角形．