61，2024年陕西省西安市交通大学附属中学九年级中考一模数学试题

这是一份61，2024年陕西省西安市交通大学附属中学九年级中考一模数学试题，共29页。试卷主要包含了本试卷分为第一部分等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共4页，总分120分．考试时间120分钟．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正数和负数的定义．解本题的根据是掌握正数和负数是互为相反意义的量．根据正数和负数的意义求解即可．
【详解】解：冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作，
故选：B．
2. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是中心对称图形的是（ ）

A. 等角螺旋线B. 心形线C. 四叶玫瑰线D. 蝴蝶曲线
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合，此平面图形为中心对称图形，是解题的关键．
根据中心对称图形的定义，对选项逐个判断即可．
【详解】解：对于A选项，不是中心对称图形，不符合题意；
对于B选项，不是中心对称图形，不符合题意；
对于C选项，是中心对称图形，符合题意；
对于D选项，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
3. 下列运算中，正确的是（ ）您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂的乘方法则，积的乘方法则，同底数幂的乘法和除法法则逐项计算，即可判断．
【详解】，故A计算错误，不符合题意；
，故B计算错误，不符合题意；
，故C计算正确，符合题意；
，故D计算错误，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法和除法．熟练掌握各运算法则是解题关键．
4. 将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为（ ）度．

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先计算的度数，再根据平行线的性质可得，进而可得答案．
【详解】解：如图所示，∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
5. 已知点在正比例函数的图像上，若点、也在这个正比例函数图像上，则关于和的大小关系描述正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式和正比例函数的图象和性质，解题的关键是求出正比例函数解析式．先求出正比例函数解析式，再求出和值即可得到答案．
【详解】解：∵点在正比例函数的图像上，
∴，
解得，
∴，
∵点、也在这个正比例函数图像上，
∴．
∴，
故选A．
6. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是其中一个正六边形，将其放在平面直角坐标系中，点B，C，D均为正六边形的顶点且在坐标轴上，若正六边形的边长是2，则点A的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了正多边形和圆，同时也利用了坐标与位置的关系，解题的关键是利用正多边形的知识求出线段长度．如图，过作轴于，利用正六边形的性质可以得到，，，由此即可求解．
详解】解：如图，过作轴于，
巢房横截面的形状均为正六边形，在轴上，
，，，
而正六边形的边长是2，
，，，
则点的坐标为．
故选：C．
7. 如图，点A，B在以为直径的半圆上，B是的中点，连结交于点E，若，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是熟练掌握以上知识点并能灵活运用．连接，可得，进一步求得，再根据是的中点即可求出．
【详解】解：连接，

是直径，
，
，
，
是的中点，
．
故选：D．
8. 已知抛物线，则它的顶点M一定在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质．利用二次函数的性质判断抛物线开口向下，对称轴在轴的右侧，然后求得，即可判断顶点一定在第一象限．
【详解】解：抛物线，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
，
，
对称轴在轴的右侧，
，
抛物线与轴有两个交点，
顶点一定在第一象限，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 比较大小：______2（填“”、“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数大小的比较，熟练掌握常用无理数的估算是关键．根据，则即可比较．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：．
10. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△COD，如果∠AOB＝15°，那么∠AOD的度数为_____．
【答案】65°
【解析】
【分析】首先根据旋转变换的性质求出∠AOC的度数，结合∠AOB＝15°，即可解决问题．
【详解】解：由题意及旋转变换的性质得：
∠AOC＝∠BOD＝50°，
∵∠AOB＝15°，
∴∠AOD＝50°+15°＝65°，
故答案为：65°．
【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
11. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入方程得到，然后求得的值即可．
【详解】解：把代入方程得，
解得．
故答案为：．
12. 如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为______．
【答案】5
【解析】
【分析】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分别求得b=c，c=d，由“优美矩形”ABCD的周长得4d+2c=26，列式计算即可求解．
【详解】解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，
∵“优美矩形”ABCD的周长为26，
∴4d+2c=26，
∵a=2b，c=a+b，d=a+c，
∴c=3b，则b=c，
∴d=2b+c=c，则c=d，
∴4d+d =26，
∴d=5，
∴正方形d的边长为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了整式加减的应用，认真观察图形，根据长方形的周长公式推导出所求的答案是解题的关键．
13. 如图，菱形的对角线、交于原点O，已知点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，相似三角形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，相似三角形面积比等于相似比的平方，以及反比例函数k值的几何意义．
过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，通过证明，得出，进而得出，根据反比例函数k值的几何意义，即可解答．
【详解】解：过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，
∵四边形为菱形，
∴，，则，，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点B在反比例函数
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
14. 如图，四边形是边长为6的正方形，点E在的延长线上，当时，连接，过点A作，交于点F，连接，点H是的中点，连接，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理．
由正方形的性质可证，得到，；过点H作于点G，从而，得到，根据相似三角形的性质求得可得，，，进而在中，根据勾股定理即可求得．
【详解】∵四边形是边长为6的正方形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴在和中
，
∴，
∴，
∴．
∵点H是的中点，
∴，
过点H作于点G
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴在中，．
故答案为：
三、解答题（本大题共13小题，共78分，解答应写出过程）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算．先将负整数指数幂，算术平方根，绝对值化简，再进行计算即可．
【详解】解：
．
16. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再代入计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
，
将代入得，原式．
17. 解不等式组：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
故此不等式组的解集为．
18. 如图，已知在中，，．用尺规作图法，在边上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查作图—复杂作图、含30度角的直角三角形、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．作的平分线，交于点，结合题意可得，则，即点为所求．
【详解】解：如图，作平分线，交于点．
，，
，
，
，
．
在中，，
，
，
，
则点即为所求．
19. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及角平分线定义等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．根据平行四边形性质得，，，则，再证明，然后证明，即可得出结论．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，，
．
平分，平分，
，．
，
在和中，
，
，
．
20. 在庆祝龙年的元旦联欢会上，九年级班进行抽奖活动，活动规则如下：将4张正面标有龙、蛇、马、羊的纸牌（纸牌反面完全相同）洗匀后，反面朝上放在桌子上，参与者每次随机从中抽取两张纸牌，若抽到“龙”和“马”，即组成“龙马精神”这个寓意美好的成语，则参与者可获得奖品．
（1）王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是_____________；
（2）小马同学决定参加游戏，请用树状图或列表法说明小马同学获得奖品的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了概率公式和树状图或列表法求概率，熟练掌握树状图或列表法求概率是解题的关键．
（1）利用概率公式进行解答即可；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出小马同学获得奖品的结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：将4张正面标有龙、蛇、马、羊的纸牌（纸牌反面完全相同）洗匀后，反面朝上放在桌子上，王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是，
故答案为：
【小问2详解】
画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中小马同学获得奖品的结果数为2，
所以小马同学获得奖品的概率．
21. 为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．通过市场调研发现：购进5千克甲种水果和3千克乙种水果共需38元；乙种水果每千克的进价比甲种水果多2元．
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
（2）已知甲、乙两种水果的售价分别为6元/千克和9元/千克，若水果店购进这两种水果共300千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果的2倍．则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】21. 甲、乙两种水果的进价分别是4元和6元
22. 水果店应购进甲水果200千克、乙水果100千克才能获得最大利润，最大利润是700元
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用等，熟练地求解二元一次方程组并判断一次函数随自变量的增减性是本题的关键．
（1）分别设甲、乙两种水果的进价为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）将购进甲水果数量用某一字母表示，根据题意写出售完这两种水果获得的总利润关于这个字母的函数，根据这个函数随这个字母的增减性和这个字母的取值范围，判断当这个字母取何值时总利润取最大值，求出这个最大值，并求出这时购进乙水果的数量．
【小问1详解】
解：设甲、乙两种水果的进价分别是元和元．
根据题意，得，
解得，
甲、乙两种水果的进价分别是4元和6元．
【小问2详解】
解：设购进甲水果千克，那么购进乙水果千克，
，
解得，
根据题意，售完这两种水果获得的总利润，
，
随的减小而增大，
当时，最大，此时，
（千克），
水果店应购进甲水果200千克、乙水果100千克才能获得最大利润，最大利润是700元．
22. 某校在11月9日消防日当天，组织七、八年级学生开展了一次消防知识竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
（1）根据以上信息可以求出：______，______，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；
（2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；
（3）该校七、八年级共有1200人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？
【答案】（1）9，10；补全统计图见解析
（2）七年级更好，理由见解析
（3）估计七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有720人
【解析】
【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，平均数，中位数众数，方差，用样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键．
（1）根据中位数的定义可确定的值；根据众数的定义可确定的值；先求出七年级等级的人数，再将七年级竞赛成绩统计图补充完整即可；
（2）根据平均分，中位数，众数，方差的意义回答即可；
（3）分别将样本中七、八年级优秀所占比例乘以800即可作出估计．
【小问1详解】
解：七年级成绩由高到低排在第13位的是等级9分，
，
八年级等级人数最多，
，
故答案为：9，10；
七年级成绩等级人数为：（人，
七年级竞赛成绩统计图补充完整如下：
【小问2详解】
解：七年级更好，
理由：七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，七年级方差小于八年级方差，说明七年级一半以上人不低于9分，且波动较小，所以七年级成绩更好．
【小问3详解】
解：（人，
答：估计七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有720人．
23. 乐乐同学骑自行车去爸爸的工厂参观，如图（1）所示是这辆自行车的实物图，如图（2），车架档与的长分别为，且它们互相垂直，，，求车链横档的长，（结果保留整数．参考数据：，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，过点B作于E，先证明，再由平行线的性质得到；设，则，解得到，解得到，由此建立方程得到，解方程得到，再解求出的长即可．
【详解】解：如图所示，过点B作于E，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
在中，，
∴车链横档的长为．
24. 乐乐同学在学习了反比例函数的基础上，进一步探究函数的性质．以下是他的研究过程，请补充完整．
（1）如表是y与x的几组对应值．
直接写出m的值，______；
（2）在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）观察图象，发现这个函数图象为中心对称图形，则它的对称中心为______；
（4）若直线与函数的图象交于第一象限内一点，则下面关于x的取值范围描述正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
（4）C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握研究函数的方法：用列表、描点、连线作出图象，再数形结合研究函数性质．
（1）①将代入即得的值；
（2）描点、连线即可；
（3）根据图象即可求解；
（4）求得时，函数和函数的的值，结合图象即可判断．
【小问1详解】
解：①时，，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图：
【小问3详解】
解：观察图象，发现这个函数图象为中心对称图形，则它对称中心为；
故答案为：；
【小问4详解】
解：作出直线如图：
把代入求得，
把代入，求得，
观察图象，若直线与函数的图象交于第一象限内一点，则的取值范围是，
关于的取值范围描述正确的是C，
故答案为：C．
25. 如图，是的直径，弦与交于点F，过点A的切线交的延长线于点D，点B是的中点．
（1）求证：；
（2）若的半径为4，，求．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由切线性质可知，，即，根据点是的中点，可知，进而可知，由可知，即可证得结论；
（2）连接，则，由（1）可知，，则，可得，进而可知，，由，，得，同时推导出，利用勾股定理代入数据解答即可．
【小问1详解】
证明：是的切线，
，即，
点是的中点，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：连接，则，
由（1）可知，，则，
，，，
，，
，，
，，
，
，
半径长为4，
，，
由勾股定理可知：，即：，
解得：．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握并运用勾股定理是解答本题的关键．
26. 已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．现将抛物线平移，使平移后的抛物线过点B和点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点为抛物线上一点，过点P作y轴平行线，交直线于点M，过点P作x轴平行线，交y轴于点N，当与相似时，求点P坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先求出点B的坐标，然后用待定系数法求抛物线的表达式；
（2）先求出中，的长，，，再根据相似三角形的性质，分两种情况分别列出方程，并求解m的值，即可得到答案．
【小问1详解】
令，则，
所以点B坐标为，
设抛物线的表达式为，
将B、C两点的坐标代入得，
解得，
所以抛物线的表达式为；
【小问2详解】
令，则，
解得，，
所以点A的坐标为，
在中，，，
点P的坐标为，，
设直线的解析式为，
则，
解得，
所以直线的解析式为，
所以点M的坐标为，
所以，
当时，，
即，
解得，
所以点P坐标为或；
当时，，
即，
解得，
所以点P坐标为；
综上所述，点P坐标为或．

【点睛】本题考查了二次函数的相似三角形问题，二次函数的平移，用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质，求一次函数的解析式，分两种情况求点P的坐标是解题的关键．
27. 问题探究
（1）寒假期间，乐乐同学参观爸爸的工厂，看到半径分别为2和3的两个圆形零件、按如图所示的方式放置，点A到直线m的距离，点B到直线m的距离，，M是上一点，N是上一点，在直线m上找一点P，使得最小．请你在直线m上画出点P的位置，并直接写出的最小值．
问题解决
（2）如图，乐乐爸爸的工厂欲规划一块花园，如图所示的矩形，其中米，米，点E、F为花园的两个入口，米，米．若在区域内设计一个亭子G（亭子大小忽略不计），满足，从入口到亭子铺设两条景观路．已知铺设小路所用的景观石材每米的造价是400元，铺设小路所用的景观石材每米的造价是200元，你能否帮乐乐同学分析一下，是否存在点G，使铺设小路和的总造价最低？若存在，求出最低总造价，并求出此时亭子G到边的距离：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）作图见解析，最小值为（2）总费用最少是元，此时亭子到边的距离为米
【解析】
【分析】（1）作点关于的对称点，连接，交于点，交于，连接，交于点，则最小，作，根据勾股定理得出，进一步得出结果；
（2）变形总费用，可求得，取的中点，连接，作点D关于的对称点，连接，可得出点四点共圆，点在以为圆心，为半径的圆上，延长至，使，可证得，从而，从而得出，当、、共线时，最小，即最小，最小值为：的长，此时点点在与的交点处，进一步求得结果．
【详解】解：（1）如图1，
作点关于的对称点，连接，交于点，交于，连接，交于点，则最小，
作，交的延长线于点，
可得：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
；
（2）总费用为：元，
如图，作点D关于的对称点，取的中点，延长至，使，
以点O为圆心，为半径作圆，连接，设与圆O交与点，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，，
点D点关于的对称，
，
，
，
，
，
，
点四点共圆，
点在以为圆心，为半径的圆上，
，，
，
，
，
，
，
，
，
当、、共线时，最小，即最小，最小值为：的长，此时点点在与的交点处，
在中，， ，
，
的最小值为，
（元），
作于，设，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
（舍去），，
，
答：总费用最少是元，此时亭子到边的距离为米．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．年级
平均分
中位数
众数
方差
七年级
8.76
a
9
1.06
八年级
8.76
8
b
1.38
x
…
0
2
3
4
5
…
y
…
2
1
m
…