2024内江威远中学高三下学期第一次模拟考试数学（理）含解析

这是一份2024内江威远中学高三下学期第一次模拟考试数学（理）含解析，共29页。试卷主要包含了答非选择题时，必须使用0等内容，欢迎下载使用。

数学（理工类）
命题人：第四组 审题人：第四组 命题人：第四组
数学试题共4页、满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂风，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则的真子集的个数为（ ）
A. 9B. 8C. 7D. 6
2. 已知复数z满足，则（ ）
A B. C. 1D.
3. 若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A. B. C. D. 2
4. 已知，则（ ）
A. B. C. 30D. 60
5. 已知正项等差数列的前项和为，且，．则（ ）
A B.
C. D.
6. 过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 设函数若存在且，使得，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则下列4个结论中正确的有（ ）个.
①；②的取值范围为；
③的取值范围为；
④的最小值为
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
9. 某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（ ）
A. 564B. 484C. 386D. 640
10. 在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点P，由点P向圆C引一条切线，切点为M，且满足，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
11. 在中，角，，所对的边分别为，，，为的外心，为边上的中点，，，，则（ ）
A. B. C. D.
12. 定义在上的可导函数满足，当时，，若实数a满足，则a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分.
13. 若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为__________．
14. 若x，y满足约束条件，则的取值范围为__________
15. 在三棱锥中，两两互相垂直，，当三棱锥的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球半径为_____________________.
16. 已知，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是____．
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17. 已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，
①求数列的前项和；
②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值．
18. 2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：
（1）判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；
（2）若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为，求的分布列及.
附：①，其中；
②当时有95%的把握认为两变量有关联.
19. 如图，四棱锥中，，，，平面平面.
（1）证明：；
（2）若，是的中点，求平面与平面夹角的正弦值.
20. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，且的面积为．
（1）求双曲线方程；
（2）记点在轴上的射影为点，过点的直线与交于两点．探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
21. 设函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；
（2）若当时，恒有，求实数a的取值范围；
（3）设时，求证：．
注，22与23题为选做题，2选1，均为10分.
22. 在平面直角坐标系中，曲线参数方程为（为参数， ），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线与直角坐标方程；
（2）当与有两个公共点时，求实数的取值范围．
23. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）设函数的最小值为，若且，求证：．不太了解
比较了解
合计
男生
20
40
60
女生
20
20
40
合计
40
60
100
秘密★启用前
威远中学校2024届高三下期第一次月考
数学（理工类）
命题人：第四组 审题人：第四组 命题人：第四组
数学试题共4页、满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂风，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则的真子集的个数为（ ）
A. 9B. 8C. 7D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式求出集合A，求出集合B的补集，即可确定的元素，根据元素的个数，即可求得的真子集的个数.
【详解】由题意
，
，故，
故，则的真子集的个数为，
故选：C
2. 已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的四则运算求出复数z即可得出答案.
【详解】由题意，复数满足，可得，
所以．则1，
故选：C．
3. 若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用偶函数的定义可计算的值，再根据解析式计算函数值即可.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，
所以且，则，
所以，则.
故选：D．
4. 已知，则（ ）
A. B. C. 30D. 60
【答案】D
【解析】
【分析】设，则，变换，利用二项式定理计算得到答案.
【详解】设，则，所以．
的展开式的通项，
取得．
故选：D．
5. 已知正项等差数列的前项和为，且，．则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由等差数列的关系结合已知等式化简，可得，结合，求出首项，即可得等差数列的通项公式以及前n项和公式，由此一一判断各选项，即可得解.
【详解】设正项等差数列的公差为d，因为，，
所以两式相减得，可得，
即，所以，
因为是正项等差数列，则，则，
所以，由，得，
得，即，所以，
所以，，得，，A，B错误；
，C正确；
，D错误，
故选：C.
6. 过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设切点坐标，写出切线方程，过点，代入化简得，将问题转化为该方程有三个不等实根，结合导函数讨论单调性数形结合求解.
【详解】设切点为，∵，∴，
∴M处的切线斜率，则过点P的切线方程为，
代入点的坐标，化简得，
∵过点可以作三条直线与曲线相切，
∴方程有三个不等实根.
令，求导得到，
可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
如图所示，
故，即.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，求切线方程，关键点在于将问题转化为方程的根的问题，根据方程的根的个数，求解参数的取值范围，考查导函数的综合应用，涉及等价转化，数形结合思想，属于中档题.
7. 设函数若存在且，使得，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，需将看成整体角，由范围求得范围，结合函数的图象，求得使的两个解，由题只需使即可，计算即得.
【详解】
不妨取，由可得：，
由可得，
由图可取要使存在且，使得，
需使，，解得.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查与正弦型函数图象有关的等高线问题.
解决的关键在于将看成整体角，作出正弦函数的图象，结合求得的整体角的范围求得最近的符合要求的角，从而界定参数范围.
8. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则下列4个结论中正确的有（ ）个.
①；②的取值范围为；
③的取值范围为；
④的最小值为
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理与三角恒等变换求得，从而判断A；利用锐角三角形内角的范围判断B；利用正弦定理与倍角公式，结合余弦函数的性质判断C；利用三角恒等变换，结合基本不等式判断D.
【详解】在中，由正弦定理可将式子化为，
又，
代入上式得，即，
因为，则，故，
所以或，即或（舍去），
所以，故A错误；
选项B：因为为锐角三角形，，所以，
由解得，故B错误；
选项C：，
因为，所以，，
即的取值范围为，故C正确；
选项D：
，
当且仅当，即时取等号，
但因为，所以，，无法取到等号，故D错误.
故选：B.
【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
9. 某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（ ）
A. 564B. 484C. 386D. 640
【答案】A
【解析】
【分析】先将不平均分组问题分成两大类，然后由排列组合知识结合加法、乘法计数原理即可得解.
【详解】8人分三组可分为2人，2人，4人和2人，3人，3人，共两种情况.
第一种情况分成2人，2人，4人：女生去同一处景点，当成2人组时，
其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生不同组，有种方法；
当在4人组时，有种方法.
第二种情况分成2人，3人，3人：当成2人组时，有种方法；
当在3人组时，有种方法.
故这8名同学游玩行程的方法数为.
故选：A.
10. 在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点P，由点P向圆C引一条切线，切点为M，且满足，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据可求出点P的轨迹方程，根据点P的轨迹与圆D有交点列出不等式求解.
【详解】设点P的坐标为，如图所示：
由可知：，而，∴
∴，整理得，即.
∴点P的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，又∵点P在圆D上，∴所以点P为圆D与圆E的交点，即要想满足题意，
只要让圆D和圆E有公共点即可，∴两圆的位置关系为外切，相交或内切，∴，解得.
故选：D
11. 在中，角，，所对的边分别为，，，为的外心，为边上的中点，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据化简可得，代入 ，所以，再根据正弦定理化简可得，进而根据余弦定理可得.
【详解】
由题意，为 的外心，为边上的中点，可得： ，因为，可得： ，又 ，所以有 即 ，因为 ，所以 ，又因为，所以 ，由余弦定理：
故选：C.
12. 定义在上的可导函数满足，当时，，若实数a满足，则a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件构造函数，利用偶函数的定义及导数的正负与函数的单调性的关系，结合偶函数的性质及函数的单调性即可求解.
【详解】由，得.
令，则，即为偶函数.
当时，，所以在上单调递增；
所以在上单调递减.
由，
得，即.
又为偶函数，所以，
因为在上单调递减，
所以，即，解得，或，
所以a取值范围为.
故选：C.
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是构造函数，利用偶函数定义和导数法求出函数的单调性，再利用偶函数和单调性即可解决抽象不等式.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分.
13. 若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为__________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据已知条件求得，再求焦点到渐近线距离即可.
【详解】根据题意可得，故可得，则，
则右焦点坐标，一条渐近线为，
右焦点到一条渐近线的距离.
故答案为：.
14. 若x，y满足约束条件，则的取值范围为__________
【答案】
【解析】
【分析】作出可行域，几何意义为可行域内的点与点连线的斜率，根据图形观察计算可得答案.
【详解】作出可行域，如图所示，

联立方程，解得，即，
因为几何意义为可行域内的点与点连线的斜率，
则，故z的取值范围为.
故答案为：.
15. 在三棱锥中，两两互相垂直，，当三棱锥的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球半径为_____________________.
【答案】
【解析】
【分析】设，表示出三棱锥的体积的表达式，利用导数求出体积取最大值时x的值，从而确定棱锥的各棱长，再根据等体积法，即可求得答案.
【详解】设，则，
由题意知两两互相垂直，
可得三棱锥的体积为，
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故当时，取到最大值，此时三棱锥的体积取得最大值，
设此时三棱锥的内切球的半径为r，
则，
则，
则
即，解得，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查三棱锥体积最大时，其内切球的半径问题，解答的关键是求出当三棱锥体积最大时棱锥的棱长，从而再根据棱锥的等体积法求解.
16. 已知，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】将函数的零点转化为函数图象的交点，画出函数的图象，求出时的最大值，判断零点的范围，结合韦达定理，设，将转化为，进而可得结果．
【详解】函数，图象如图，
函数有三个不同的零点，，，
且，即方程有三个不同的实数根
，，，且，
当时，，因为，所以，当且仅当时取得最大值．
当时，；，此时，
由，可得，，
，
，递减，,
的取值范围是．
故答案为．
【点睛】本题考查函数的零点个数的判断与应用，基本不等式的应用，考查数形结合思想以及转化思想，属于难题. 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17. 已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，
①求数列的前项和；
②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值．
【答案】17. ；
18. ①；②．
【解析】
【分析】（1）根据等差数列通项公式与前n项和公式，结合等比中项进行求解；
（2）①先计算的通项公式，再用错位相减法求解；
②代入，得到对一切恒成立，构造函数，再求的最小值，即可求得结果.
【小问1详解】
依题意得，解得，
，即．
【小问2详解】
①，，
，
，
所以．
．
②由（1）易求得，所以不等式对一切恒成立，
即转化为对一切恒成立，
令，则，
又，
当时，；时，，
所以，且，则．
所以实数的最大值为．
18. 2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：
（1）判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；
（2）若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为，求的分布列及.
附：①，其中；
②当时有95%的把握认为两变量有关联.
【答案】（1）没有 （2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题意和公式求出，然后根据附②即可得出结论；
（2）由题得出的取值依次为0，1，2，依次求出各种取值的概率，然后写出分布列求出期望.
【小问1详解】
根据列联表中的数据，
得，
所以没有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异.
【小问2详解】
这100名学生中男生60人，女生40人，按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，
则抽取的男生有3人，女生在2人，
所以的取值依次为0，1，2，
，，，
所以的分布列为
.
19. 如图，四棱锥中，，，，平面平面.
（1）证明：；
（2）若，是的中点，求平面与平面夹角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明平面来证得.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
取中点，连接，则，
又，，所以四边形为正方形，
则，，
又在中，，
则，所以，，即．
又平面平面PAC，平面平面，平面ABCD，
所以平面，又面，所以．
【小问2详解】
连接，交于，连，由于，
所以四边形是平行四边形，所以．
因为平面，所以平面，
平面，所以，
因为，所以，
所以两两垂直，
以为原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系，
则平面PAC的一个法向量是，
又，，，
所以，，
设是平面的法向量，
则，
令，可得，
所以，
所以，平面与平面夹角的余弦值为.
20. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，且的面积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）记点在轴上的射影为点，过点的直线与交于两点．探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2），定值．
【解析】
【分析】（1）根据的面积为，表示为，结合双曲线方程，即可得到答案；
（2）首先设直线的方程与双曲线方程联立，并用坐标表示和，并利用韦达定理表示，即可化简求解.
【小问1详解】
设双曲线的焦距为，
由题意得，，
解得，故双曲线的方程为．
【小问2详解】

由题意得，，
当直线的斜率为零时，则．
当直线的斜率不为零时，设直线的方程为，点，
联立，整理得，
则，解得且，
所以，
所以
．
综上，，为定值．
21. 设函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；
（2）若当时，恒有，求实数a的取值范围；
（3）设时，求证：．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，根据题意结合导数的几何意义列式求解；
（2）构建，由题意可知：当时，恒有，且，结合端点效应分析求解；
（3）由（2）可知：当时，，令，，可得，再令，可得，利用累加法分析证明.
【小问1详解】
因为，则，
则，，即切点坐标为，斜率，
由题意可得：，解得.
【小问2详解】
令，
则，
由题意可知：当时，恒有，且，
则，解得，
若，则有：
①当时，，
因为，可知，
令，
因在内单调递增，可得在内单调递增，
则，即，符合题意；
②当时，则在内恒成立，符合题意；
③当时， 令，
则，
因为，则，，
可知在内恒成立，
则在内单调递增，可得，
则在内单调递增，可得，符合题意；
综上所述：实数a的取值范围为.
【小问3详解】
由（2）可知：当时，，
令，可得，
令，则，则，整理得，
令，则，整理得，
则，
所以.
【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题
（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
注，22与23题为选做题，2选1，均为10分.
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数， ），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线与的直角坐标方程；
（2）当与有两个公共点时，求实数的取值范围．
【答案】（1）（， ），；
（2）
【解析】
【分析】(1)根据诱导公式平方和为1消去参数,可得曲线的普通方程,根据可求出曲线的直角坐标方程;
(2)先求出曲线的轨迹,再根据图象找出与有两个公共点时的临界情况,求出参数的范围即可.
【小问1详解】
∵曲线的参数方程为(为参数，)，
∴曲线的普通方程为： （， ），
∵曲线的极坐标方程为，
∴曲线的直角坐标方程为．
【小问2详解】
∵曲线的普通方程为： （， ）为半圆弧，由曲线于有两个公共点，则当与相切时，得，整理得，
∴或（舍去），
当过点时， ，所以.
∴当与有两个公共点时， ．
23. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）设函数的最小值为，若且，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）解绝对值不等式时，一般考虑分类讨论法求解，最后再合并；
（2）分类讨论的单调性，判断其在不同区间上的最小值，最后确定的值，利用基本不等式即可证明.
【小问1详解】
不等式可化或，
由，可得，解得或；
由，可得，解得，
所以不等式的解集为．
【小问2详解】
由题意，知，
当时，，
因在上单调递减，则；
当时，，
因在上单调递增，在上单调递减，故在无最小值，但是；
当时，，
因在上单调递增，则.
综上，当时，函数取得最小值2，即，所以，
因，所以，当且仅当时等号成立，
故．
不太了解
比较了解
合计
男生
20
40
60
女生
20
20
40
合计
40
60
100
0
1
2