初中数学人教版八年级下册18.2.3 正方形教案配套课件ppt

这是一份初中数学人教版八年级下册18.2.3 正方形教案配套课件ppt，共32页。PPT课件主要包含了回顾导入，平行四边形，有一组邻边相等，有一个角是直角，正方形，正方形的判定，探究点，下面我们进行证明，我们再来看一个问题，归纳总结等内容，欢迎下载使用。
正方形的自我介绍:在四边形的大家庭中,我有四个兄弟． 老大是平行四边形,它性格温和；老二是矩形,它稳重大方,江湖上人称长方形；老三是菱形,它活泼可爱.我就是正方形老四,我集三位大哥的优点于一身,人见人爱．
到目前为止,我们已经认识了四边形大家庭的成员,前一课时,我们大致介绍了矩形、菱形、平行四边形与正方形的关系,并给出了下面的结构图．
可以看到矩形、菱形各添加一个条件都能得到正方形,那么这个是否可以证明呢? 我们这节课来看下．
我们来看下面这个问题:
1. 有一组邻边相等的矩形是正方形
把一张矩形的纸片按图中那样折一下,是否可以截出正方形纸片?
答案是肯定的,它的依据就是有一组邻边相等的矩形是正方形．
已知：矩形ABCD中，AB=BC.求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形. ∴AB=DC,AD=BC, ∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 又AB=BC, ∴AB=BC=CD=DA. ∴四边形ABCD是正方形.
归纳总结：有一组邻边相等的矩形是正方形
2. 有一个角是直角的菱形是正方形
把能活动的菱形木框的一个角变为直角(如图),能否得到正方形?
可以看到,这个变化过程中只要改变菱形的一个角,就能得到正方形．
下面我们进行证明:
已知：菱形ABCD中，∠A=90°.求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形. ∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠C,∠B=∠D. 又∠A=90°, ∴易得∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∴四边形ABCD是正方形.
归纳总结：有一个角是直角的菱形是正方形
在上面的证明过程中,是分别从矩形、菱形出发,添加边或角的条件后得到正方形,那么还有没有通过添加边、角、对角线的条件可以得到其他判定正方形的方法呢? 大家想一想．
思考:上面给出了正方形的一些判定方法,这也蕴含了他们之间的转换关系,那么正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系呢? 与同学们讨论交流,并列表或用框图表示这些关系．
进一步地,四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形有什么关系? 有兴趣的同学可以整理下．
1. 如图,在△ABC中,点E,D,F分别在边AB,BC,CA上,且DE∥CA, DF∥BA.（1）四边形AEDF是 ；（2）如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是 ；（3）如果AD 平分∠BAC,那么四边形AEDF是 ；（4）如果∠BAC=90°,AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是 .
2. 满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？(1)对角线互相垂直且相等的平行四边形；(2)对角线互相垂直的矩形；(3)对角线相等的菱形；(4)对角线互相垂直平分且相等的四边形.
【选自教材P60，练习第3题】
例 如图，在矩形ABCD中,∠ABC的平分线交对角线AC于点E，EF⊥AB, EG⊥BC，垂足分别是F，G.判断四边形EFBG的形状，并证明你的结论.
解：四边形EFBG是正方形．证法1：∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°.又EF⊥AB,EG⊥BC,∴∠BFE=∠BGE=90°,∴四边形EFBG是矩形．∵BE为∠ABC的平分线,∴EF=EG,∴矩形EFBG是正方形．
证法2：如图.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°.∵BE为∠ABC的平分线,EF⊥AB,EG⊥BC,∴∠1=∠2=45°,EF=EG.∴∠3=∠4=45°,∴∠1=∠3,∠2=∠4,∴BF＝EF,BG＝EG.∴BF=EF=EG=BG,∴四边形EFBG是菱形.又∠FBG=90°,∴菱形EFBG是正方形.
如图,Rt△ABC的两条外角平分线相交于点D,∠B=90°,过点D分别作DE⊥BA于点E,DF⊥BC于点F.（1）求证：四边形BFDE是正方形；（2）若BF=6,C为BF的中点,求AE的长.
(1)证明: 如图, 过点D作DH⊥AC于点H. ∵DE⊥BA , DF⊥BC, ∴∠E=∠F=∠B=90°,∴四边形BFDE是矩形.∵AD平分∠EAC, DE⊥BA , DH⊥AC,∴DE=DH ．同理, DH=DF,∴DE=DF, ∴矩形BFDE是正方形.
（2）解:∵DH⊥AC,∴∠AHD=∠DHC=90°.由（1）知∠E=∠F=90°，DE=DH, DH=DF.∴∠AHD=∠DHC=∠E=∠F=90°.在Rt△AED和Rt△AHD中, ∴Rt△AED≌Rt△AHD (HL),∴AE=AH. 同理, CH=CF．
∵BF=6, C为BF的中点, ∴BC=CF=CH=3．∵四边形BFDE是正方形,∴BE=BF=6．设AE=AH=x,则AB=BE－AE=6－x, AC=AH＋CH=x＋3在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2＋BC2=AC2,即(6－x)2＋32=(x＋3)2, 解得x=2,∴AE的长为2．
1. 教材P62习题18.2第13题.
1. 如图，E,F,M,N 分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CM=DN,试判断四边形EFMN是什么图形，并证明你的结论.
【选自教材P62，习题18.2第13题】
解：四边形EFMN是正方形. 证明：∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC=CD=DA. 又AE=BF=CM=DN, ∴BE=CF=DM=AN. 又∠A=∠B=∠C=∠D=90°, ∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM, ∠1+∠3=90°. ∴∠1=∠2，EN=FE=MF=NM. ∴∠2+∠3=90°. ∴∠NEF=90°.同理可得：∠EFM=∠FMN=∠MNE=90°. ∴四边形EFMN是正方形.
2. 如图，已知在□ ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD的延长线上的点，且EA＝EC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC. 又EA=EC, ∴EO⊥AC. 即BD⊥AC. ∴四边形ABCD是菱形. （2）∵∠DAC=∠EAD＋∠AED, 而∠1=∠EAD＋∠AED, ∴∠DAC=∠1. ∴OA=OD. 又四边形ABCD是菱形, ∴AC=2OA=2OD=BD. ∴四边形ABCD是正方形.
3. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD ，PN⊥CD，垂足分别为M ，N．（1）求证：∠ADB＝∠CDB．（2）若∠ADC＝90〫，求证：四边形PMDN是正方形．