专题06 首届新高考-导数大题综合-【冲刺双一流之大题必刷】备战2024年高考数学冲刺双一流之大题必刷满分冲刺（首届新高考江西、广西、贵州、甘肃专用）

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一、解答题
1．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）设函数，且．
(1)求函数的单调性；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导后分与两种情况讨论即可；
（2）方法一：讨论当时成立，当时参变分离可得，再构造函数，，求导分析最小值即可；
方法二：将题意转化为，再构造函数，求导分类讨论单调性与最大值即可.
【详解】（1），，
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，时，，则在上单调递减；
时，，则在上单调递增．
（2）方法一：在恒成立，则
当时，，显然成立，符合题意；
当时，得恒成立，即
记，，，
构造函数，，则，故为增函数，则.
故对任意恒成立，则在递减，在递增，所以
∴．
方法二：在上恒成立，即．
记，，，
当时，在单增，在单减，则，得，舍：
当时，在单减，在单增，在单减，，，
得；
当时，在单减，成立；
当时，在单减，在单增，在单减，，，而，显然成立．
综上所述，．
2．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）已知．
(1)求在上的最值；
(2)若恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)最大值为，最小值为
(2)
【分析】（1）求导后根据函数的单调性确定极值即可；（2）将不等式转化后求导，分类讨论即可得解.
【详解】（1）由题意知，
令，得，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
因为，，，
所以在上的最大值为，最小值为．
（2）恒成立，
即恒成立，
设，
则，．
①当时，取，则
，
所以当时，不恒成立．
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以要使，只需，
即，
解得，
所以．
综上，实数a的取值范围是．
3．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数，，.
(1)若，求证：；
(2)若函数与函数存在两条公切线，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）构建，求导，利用导数判断原函数的单调性与最值，进而可得结果；
（2）根据导数的几何意义分析得直线与函数图象有两个交点，求导，利用导数判断原函数的单调性与最值，结合图象分析求解.
【详解】（1）当时，，
构建，，则，
构建，
因为，所以在上单调递增，且，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
则当时，取得最小值，可得
所以当时，.
（2）设函数与函数的公切线分别相切于点和点
因为，，
所以的方程可表示为或，
整理得或，
则有①，②
由①可得，代入②可得：,
即，
构建，，则,
构建，则，
且，令，解得；令，解得；
则在上单调递增，在上单调递减，
当时，则，可得；
当时，在上单调递增，，
可得当时，，当时，；
综上所述：当时，，当时，.
即当时，，即，所以在单调递增；
当时，，即，所以在单调递减；
所以，且当x趋近于时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，
由上可知，要使函数与函数存在两条公切线，只需直线与函数图象有两个交点，
由图可知a的取值范围为.

【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：
（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
（2）求导数，得单调区间和极值点；
（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．
4．（2023·山东淄博·统考三模）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：当时，.
【答案】(1)单调递增区间是和
(2)证明见解析
【分析】（1）确定函数定义域，求导得到导函数，构造新函数，求导得到单调区间，计算最值确定恒成立，得到答案.
（2）构造函数，求导得到导函数，将导函数设为新函数，再次求导，将导函数设为新函数，再次求导，利用隐零点代换得到的单调区间，计算最值得到，再构造函数，同理得到，得到证明.
【详解】（1）函数的定义域为，.
令函数，.
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
所以，即恒成立，
故的单调递增区间是和.
（2）当时，，即当时，.
令，，
令，，
令，.
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
又，，
所以存在，使得.
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
，故当时，；当时，，
即当时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增.
于是，所以.
令函数，.
当时，；当时，，
所以在上单调递增；在上单调递减，
则.
因为，所以，故，
得.
综上所述：当时，.
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，证明不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将不等式的证明转化为和是解题的关键，证明不等式引入中间函数是一个重要技巧，需要熟练掌握.
5．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）设函数.
(1)求的极值；
(2)已知，有最小值，求的取值范围.
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)
【分析】（1）求导后，根据正负可得单调性，结合极值定义可求得结果；
（2）由可得，令，可将表示为；构造函数，求导后，分别在和的情况下，讨论得到单调性，进而确定符合题意的的取值范围.
【详解】（1）由题意知：定义域为，，
，，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减；
的极大值为，无极小值.
（2）可化为，
为单调递增函数，
由可得：，即，
令，则，，，，
，
令，
，
令，
；
①当时，恒成立，在上单调递增，
，即，在上单调递增，
此时在上不存在最小值，即不存在最小值，不合题意；
②当时，若，则；若，则；
在上单调递减，在上单调递增，
又，，又，
存在，使得，且当时，，即；当时，，即；
在上单调递减，在上单调递增，
，即有最小值；
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数极值、多变量问题的求解；求解多变量问题的关键是能够通过引入第三变量，将利用来表示，从而减少变量个数，将问题转化为关于的函数的单调性的讨论问题.
6．（2023·云南·校联考模拟预测）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）.
①若恒成立，求实数的取值范围；
②若关于的方程有两个实根，求实数的取值范围.
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)选①，；选②，的取值范围为
【分析】（1）先求导函数，再根据单调性求解极值即可；
（2）把恒成立式子整理化简后，构造函数求导函数结合单调性求解.
【详解】（1）函数的定义域为，
，解得，
当时，，单调递增；
当时，单调递减；
所以，无极小值.
（2）若选①：由恒成立，即恒成立，
整理得：，即，
设函数，则上式为，
因为恒成立，所以单调递增，所以，
即，
令，，则，
当时，；
当时，；
所以在处取得极大值，的最大值为，故，即.
故当时，恒成立.
若选择②：由关于的方程有两个实根，
得有两个实根，
整理得，
即，
设函数，则上式为，
因为恒成立，所以单调递增，
所以，即，
令，，
则，
当时，；
当时，；
所以在处取得极大值，
的最大值为，又因为
所以要想有两个根，只需要，
即，所以的取值范围为.
7．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）设，函数．
(1)判断的零点个数，并证明你的结论；
(2)若，记的一个零点为，若，求证：．
【答案】(1)零点个数=1，证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，根据a的取值范围确定函数的单调性，从而判断零点的个数；
（2）将不等式理解为当两函数值相等时对应的自变量的大小关系即可.
【详解】（1），令，则，
当时，单调递增，当时，单调递减，，
在处取得极小值也是最小值，，，即单调递增，
当x趋于0时，趋于，，
在内存在唯一的零点，即的零点个数为1；
（2）令是减函数，，
即当时， ，当时，，
由知：；
由（1）的讨论知存在唯一的零点，
当时，，，
，
又，…①，其中，
令，，则；
式即为 ，不等式等价于，
其意义为：当函数与函数 的函数值相等时，比较对应的自变量之间的大小关系；
设 ，
，当时，，当时，，是减函数，
又，时， ，即，
时，当且仅当时等号成立；
即
【点睛】本题第二问的难点在于对不等式的几何解释，即当与的函数值相等时，对应的自变量的大小关系，如此构造函数并判断单调性就顺理成章了，其中对于导函数中有三角函数时，往往采用分区间 讨论符号.
8．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数.
(1)讨论的极值；
(2)当时，证明：.
【答案】(1)的极小值为，无极大值.
(2)证明见解析
【分析】（1）求得，分和，两种情况讨论，结合函数的单调性和极值点、极值的概念，即可求解；
（2）令，利用单调性得到，得到，转化为证明不等式，再由，利用导数得到，进而得到，转化为，令，
设，利用导数证得，得到，进而证得结论.
【详解】（1）解：由函数，可得，
当时，可得，解得，即函数的定义域为，
令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值；
当时，可得，解得，即函数的定义域为，
令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，
综上可得，函数的极小值为，无极大值.
（2）证明：因为，所以，解得，即函数的定义域为，
令，可得，所以在单调递增，
所以，即，
要证不等式，
只需证明，
又由函数，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，即，即，当且仅当时，等号成立，
所以，当时，，
只需证明：，即，
即，即，
令，可得，
设，可得，令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，所以，所以，
当且仅当时，等号成立，
又由以上不等式的等号不能同时成立，所以.
【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
9．（2023·山东烟台·统考三模）已知函数，其中．
(1)讨论方程实数解的个数；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）由即方程有没有解的问题，转化为函数与轴有没有交点问题，分类讨论即可得出结果.
（2）不等式可化为：，就、分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（1）由可得，，
令，令，可得，
当，函数单调递减，
当，函数单调递增，
所以函数在时取得最小值，
所以当时，方程无实数解，
当时，方程有一个实数解，
当时，，故，
而，，
设，则，
故在上为增函数，故，
故有两个零点即方程有两个实数解.
（2）由题意可知，
不等式可化为，，
即当时，恒成立，
所以，即，
令，
则在上单调递增，而，
当即时，在上单调递增，
故，
由题设可得，
设，则该函数在上为减函数，
而，故.
当即时，因为，
故在上有且只有一个零点，
当时，，而时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故，
而，故，故
因为，故，故符合，
综上所述，实数的取值范围为．
【点睛】关键点睛：本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数应用以及分类讨论思想、转化思想，考查函数恒成立问题，属于中档题.
10．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数，
(1)若的图象在处的切线过点，求的值及的方程
(2)若有两个不同的极值点，，（），且当时恒有，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据某点处导数的几何意义，用参数表示出斜率，利用点斜式写出直线方程，点在切线上，代入解出和切线方程.
（2）先对求导，因为恒成立，结合自变量取值范围讨论符号，构造函数求解参数的取值范围.
【详解】（1）解：因为，
所以，，
所以，
的方程为，代入，
得：，切点，，
的方程为．
（2）因为
则．
因为有两个不同的极值点，，（），
所以当时，，则只有一个极值点，不符合题意，
当且，
①当，，即时，
当时，恒成立，即，即恒成立，
设，则，
所以在上单调递减，
则，则，所以；……………
②当，，即时，
当时，恒成立，即恒成立，
若，则当时，，不满足题意，
所以，此时，即，
设，则，
易得在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，所以，
综上，的取值范围是．
11．（2023·山东济南·统考三模）已知函数.
(1)讨论的极值点个数；
(2)若有两个极值点，直线过点.
（i）证明：；
（ii）证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，分别求出函数的极值点的个数；
（2）（i）由（1）知，，不妨设，且，，依题意只需证明，令，利用导数说明函数的单调性，即可证明；
（ii）依题意可得，则只需证明，即证明，结合（i）的结论即可得证.
【详解】（1）因为定义域为，且，
当时，恒成立，
在上单调递增，极值点个数为；
当时，对于函数，，
所以恒成立，
所以在上单调递增，极值点个数为；
当时，由得，或，
由得，或；由得，.
所以单调递减区间为，单调递增区间为.
所以为极大值点，为极小值点，极值点个数为.
综上，当时，极值点个数为；当时，极值点个数为2.
（2）（i）由（1）知，，不妨设，
则，，
所以，
要证成立，
只需证明，
只需证明，
令，则，
所以在上单调递减，
所以，
所以成立.
所以.
（ii）由得，
要证成立，
只需证明，
因为，
所以只需证明，
只需证明，
只需证明，即，
因为成立，所以成立.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
12．（2023·河北·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在实数，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析.
(2)
【分析】（1）求导以后对导数中的参数进行分类讨论，根据不同的分类判断函数的单调性；
（2）根据第1问的结论，将恒成立问题转化为函数的最大（小）值问题，构造新函数，求出的范围.
【详解】（1）函数，，则，
当，即时，恒成立，即在上单调递增；
当，即时，令，解得，
综上所述，当是，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）等价于，令，
当时，，所以不恒成立，不合题意.
当时，等价于，
由（1）可知，
所以，对有解，所以对有解，
因此原命题转化为存在，使得.
令，，则，
，
令，则，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，，故在上单调递减，
当时，，，故在上单调递增，
所以，所以，
即实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：第二问，问题化为存在，使得，利用导数研究右侧最小值，即可得范围.
13．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数．
(1)当时，讨论在区间上的单调性；
(2)若，求的值．
【答案】(1)在区间上的单调递增
(2)1
【分析】（1）代入，再根据结合指数函数、三角函数的范围判断导函数的正负即可；
（2）注意到，进而可得则，再分析当时，求导分析导函数的正负与单调性，进而可得的最小值为0判断即可.
【详解】（1）当时，
．
因为，所以．
所以在区间上的单调递增．
（2），
当时，，所以存在，当时，
则在区间上单调递减，
所以当时，，不满足题意
当时，，所以存在，当时，
则在区间上单调递增，
所以当时，，不满足题意
所以．
下面证明时，
由（1）知，在区间上的单调递增，
所以当时，
所以只要证明.
令
令，
则
①当时，，得
所以，所以，
所以在区间上单调递增
且，
所以，使得.
且当时，；当时，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增
且，
所以当时，
所以在区间上单调递减，
所以当时，
②当时，
因为，所以，所以
所以在区间上单调递减
且
所以，使得
当时，；当时，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减
且
所以当时，
综上，的值为1.
【点睛】本题主要考查了根据导数分析函数的单调性问题，同时也考查了利用导数分析函数的恒成立问题.需要根据函数的结构，注意以特殊点为突破口，不断对导数进行求导，结合三角函数的范围分区间讨论函数的正负与单调性，进而可得导数的正负与原函数的单调性与最值.属于难题.
14．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知函数为其极小值点．
(1)求实数的值；
(2)若存在，使得，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据求出，再根据极小值点的定义加以验证即可；
（2）分类讨论和，转化为证明当，时，，继续转化为证明当时，，构造函数，利用导数判断单调性可证不等式成立.
【详解】（1）的定义域为，
，依题意得，得，
此时，
当时，，，，故，在内单调递减，
当时，，，，故，在内单调递增，
故在处取得极小值，符合题意.
综上所述：.
（2）由（1）知，，
不妨设，
当时，不等式显然成立；
当，时，不等式显然成立；
当，时，由（1）知在内单调递减，因为存在，使得，所以，
要证，只要证，
因为，所以，又在内单调递减，
所以只要证，又，所以只要证，
设，
则
，
令，则，
因为，所以，在上为减函数，所以，
即，
所以在上为减函数，
所以，即.
综上所述：.
【点睛】方法点睛：对于含双变量的不等式的证明一般采用以下两种方法：
①比值代换：设，将不等式化为关于的不等式，再构造函数，利用导数证明即可；
②构造函数，其中为极值点，利用导数判断单调性，根据单调性证明即可.
15．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知函数.
(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)当时，求证：在上有唯一零点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意转化为在上恒成立，然后转化为最值问题，求导即可得到结果；
（2）对函数求导构造新函数，通过导数确定单调性，进而确定在上存在唯一的零点，分情况谈论函数各区间零点个数.
【详解】（1）因为在上单调递增，所以在上恒成立，即.令.
因为且，所以在上恒成立.
所以在上单调递增，所以，所以.
（2）考虑，则.
因为，所以，所以在上单调递增，
所以，
即，①，所以，所以，即②.
令，则，
所以在上单调递增.
由①得，又，且的图象在上不间断，所以在上存在唯一的零点，记为.
当时，，单调递减，又，所以在上恒成立，且；
当时，，单调递增，由②知
，
又，所以在上存在唯一的零点.
综上所述，函数在上有唯一零点.
【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
16．（2023·湖南·校联考二模）已知函数．
(1)求的最小值；
(2)证明：方程有三个不等实根．
【答案】(1)0
(2)证明见解析
【分析】（1）设，，利用导数研究其单调性可得的最小值，再结合在定义域内单调递增，即可求出答案；
（2）令，构造函数，利用导数判断单调性和值域，从而判断方程的根的个数即可
【详解】（1）设，，则，
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故的最小值为，
因为在定义域内单调递增，所以的最小值为；
（2）由可得，整理可得，
设，
令，，
则，由得．
因此，当时，，单调递减；当时，，单调递增．
由于，故，又由，由零点存在定理，存在，使得，
∴有两个零点1和，方程有两个根和，

则如图，时，因为，故方程有一个根，
下面考虑解的个数，其中，
设，结合的单调性可得：
在上为减函数，在上为增函数，
而，，，
故在上有且只有一个零点，
，设，
故，故即，
而，故在上有且只有一个零点，
故有两个不同的根且，
综上所述，方程共有三个不等实根
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是令，将问题转化为关于m的方程有两根，数形结合判断关于m的方程的根的情况
17．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）已知函数，（e为自然对数的底数）．
(1)若函数的最大值为0，求a的值；
(2)若对于任意正数x，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，分类讨论，确定函数的单调性即可求出函数的最大值，令其为，即可求出a的值；
（2）把恒成立问题转化为恒成立，构造函数，求导，求最值即可求出a的取值范围.
【详解】（1）因为函数的定义域为，且，
当时，，所以函数为增函数，没有最大值；
当时，令，得，令，得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
所以当时，，
解得：.
（2）由，得，
化简得：，
所以对于任意正数x，都有恒成立，
设，则，
令，则，可得为增函数，
因为，，
所以存在，使得，
当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，
所以的最小值为，
由可得， ，两边同时取对数，
得，
令，显然为增函数，由，
得，所以，
所以.
所以，即.
故实数a的取值范围为：.
【点睛】方法点睛：求解本题恒成立问题的常用方法是能够通过分离变量的方法将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系比较问题，即若恒成立，则；若恒成立，则.
18．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知函数.
(1)求函数的最大值；
(2)当时，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求得，令，得到，所以单调递减，得到存在，使，结合函数的单调性，进而求得函数的最大值.
（2）把不等式转化为，结合、和，得到，再把不等式，转化为，令，求得得，结合单调性转化为，当时，转化为，令和，结合单调性，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，，定义域为，
可得，
令，则，所以单调递减，
又由，所以存在，使，
即，即，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以有最大值，最大值为.
（2）证明：不等式，即证，即证，
当时，不等式显然成立；
当时，令，可得，
因为，可得，所以在上单调递减，
所以，即，
要证不等式，只需证明：，
等价于证明：，
令，可得，
函数在上单调递减，所以，即；
当时，，只需证，
令，可得，函数在上单调递增，所以，
又由，可得，在单调递减，所以，
所以时，，所以不等式成立；
综合上述不等式得证.
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
19．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)当，方程有两个不同的实根时，且恒成立，求正数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，讨论，并结合零点存在性定理，判断极值点的个数；
（2）首先利用零点，将等式转化为，再构造函数，再利用导数，讨论的取值，结合端点取值，即可求的取值范围.
【详解】（1）由题可得设，，
①当时，递增，且，所以有一个变号零点，
②当时，在上递增，在上递减，且，
[1]当时，即时，所以无变号零点；
[2]当，即时，，
由取，则，所以有两个变号零点；
综上：当时，有1个极小值点，无极大值点；
当时，有1个极小值点和1个极大值点；
当时，无极值点.
（2）时，即即有两个不同的根，
，，
，
即，即，
.
下证对恒成立，
设，
①当时，，
；
②当时，，
使得时，，所以在上，，在上，，不存在使不等式成立；
综上：.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数结合函数性质，零点，不等式恒成立的综合应用问题，本题第二问的关键首先利用零点，变形，并构造函数为，利用导数，尤其是和端点值比较大小，求参数的取值范围.
20．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知，是方程的两个不等实根，函数的定义域为.
(1)求；
(2)证明：对于，若，则.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由韦达定理得，，利用导数确定函数在区间上的单调性．从而求得函数的最大值与最小值，最后写出；
（2）先证：，从而利用不等式证明结论即可．
【详解】（1）已知，是方程的两个不等实根，
∴，.故，.当，时，
∴而当时，，于是，
即在上单调增.
∴
（2）当且仅当，即时，等号成立；
∴
而，即，当且仅当时等号成立，
∴.
由于等号不能同时成立，故得证，所以.
【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与不等式的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：
(1)求导确定函数单调性时，注意结合一元二次方程的根与不等式关系；
(2)多次利用基本不等式时，注意去等条件是否均成立.
21．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知关于x方程在区间内有且只有一个解.
(1)求实数a的取值范围；
(2)如果函数，求证：在上存在极值点和零点；
(3)对于（2）中的和，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）把方程变形，然后构造函数，把方程有一个解转化为函数有一个零点，然后利用导数即可求解；
（2）对函数求导，确定函数的单调性，然后结合零点存在定理即可解决；
（3）通过分析不等式发现，只要证出即可证明不等式，然后通过函数的单调性证明，从而证得不等式.
【详解】（1）由得，
令，
当时，，，
若，则，此时无解；
若，，当时，，
则在上单调递增，所以至多有一个零点，
而，，
所以存在，使，即方程有且只有一个解，
综上，实数a的取值范围为.
（2）因为，
所以，
由（1）知，，
显然在上单调递减，
又，，
所以存在，，
在上，，在上，，
可得在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，又，
所以在上存在唯一零点，
当时，当时，，
而当时，，
即当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，即在上有唯一极值点且为极大值点，
又，所以，，
所以在上有唯一零点.
综上，在上存在极值点和零点.
（3）先证明：，
因为由（2）知，所以只需证明，
，
由（2）知，
所以，
设，则，所以单调递增，
所以，即，
所以，得，
令，，
所以在上单调递减，
所以，于是，所以，
于是，又，
所以有，又，
所以有.
【点睛】方法点睛：
1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
22．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知且，函数.
(1)讨论的单调区间；
(2)若曲线与直线恰有一个交点，求取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导，分和讨论即可得单调区间；
（2）将问题转化为只有一个实数解，构造函数，利用导数讨论其单调性，结合图象可解.
【详解】（1），
则
当时
当时，；当时，.
函数在上单调递增；在上单调递减.
当时，，所以，所以恒成立.
所以函数在上单调递增.
（2），
设函数，则，令，得，
在内单调递增；
在上单调递减；
，
又，当趋近于时，趋近于0，当x从右边趋近于0时，趋近于，
作图象如图，
所以曲线与直线恰有有1个交点，
即或，这即是
或，
所以的取值范围是.

23．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）已知函数，.
(1)若与的图象恰好相切，求实数a的值；
(2)设函数的两个不同极值点分别为，（）.
（i）求实数a的取值范围；
（ii）若不等式恒成立，求正数的取值范围（为自然对数的底数）
【答案】(1)
(2)（i）（ii）
【分析】（1）求导得到导函数，设出切点，根据切线方程的公式得到方程组，解得答案.
（2）求导得到导函数，构造函数，求导得到单调区间，计算极值确定，再排除的情况，得到取值范围，确定，设，转化得到，设出函数，求导计算单调区间，计算最值得到答案.
【详解】（1），，
设与的图象的切点为，则，
解得，.
（2）（i），定义域为，.
有两个不等实根，，
考察函数，，所以，
当时，，所以在区间上单调递增；
当时，，所以在区间上单调递减.
故的极大值也是最大值为.
因为有两个不同的零点，所以，即，即；
当时，当时，恒成立，故至多一个零点，不符合题意，
综上所述：.
下证：当时，有两个不同的零点.
，，所以在区间内有唯一零点；
，令，考察函数，，
可得，所以，所以在区间内有唯一零点.
综上所述：a的取值范围为
（ii）由题设条件和（i）可知：，，，
所以：，
若不等式恒成立，两边取对数得，
所以，
令，则，恒成立，
所以在时恒成立.
令，，则.
若，即，则当时，故在上单调递增，
所以恒成立，满足题意；
若，则当时有，故在上单调递减，
所以当时，，不满足题意.
综上所述，正数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题考查了利用切线求参数，根据极值点求参数，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中变换得到，再利用换元法构造函数求最值是解题的关键.
24．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知函数，.
(1)当时，证明：在上恒成立；
(2)判断函数的零点个数.
【答案】(1)证明见详解
(2)答案见详解
【分析】（1）证明不等式恒成立转化为求函数的最小值，最小值大于等于零即可求证；
（2）利用导数研究函数的单调性，极值最值，取极限从而分析函数零点的个数.含参要注意进行分类讨论.
【详解】（1）当时，，
所以，
所以在上单调递增.
故，
所以，即在上恒成立.
（2），其定义域为：.
.
当时，令得：.
若，，所以为减函数；
若，，所以为增函数.
所以，
所以此时没有零点；
当时，令得：，或.
若，，所以为增函数；
若，，所以为减函数；
若，，所以为增函数.
所以的极大值为，
极小值为.
此时时，，时，.
所以此时有个零点；
当时，，所以在单调递增.
此时时，；时，.
所以此时有个零点；
当时，令得：，或.
若，，所以为增函数；
若，，所以为减函数；
若，，所以为增函数.
所以的极大值为，
极小值为.
此时时，，时，，
所以有个零点.
综上所述：当时，没有零点；当时，有个零点.
【点睛】判断函数零点的个数，就是利用导数研究函数的单调性，极值最值，取极限从而分析函数零点的个数.含参要注意进行分类讨论.
25．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若在区间内存在极值点，求实数的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求证：在区间内存在唯一的零点，并比较与的大小，说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析，，理由见解析
【分析】（1）求出，利用极值点的定义得到且，利用导数研究函数的单调性，即可得到的取值范围.
（2）将问题转化为在区间内存在唯一的零点，利用导数结合（1）中的结论，即可证明，表示出，利用导数研究函数的单调性以及取值情况，从而得到，再利用的单调性，即可比较得到答案.
【详解】（1）由题知，
即方程在内有解，
令，则，
即在上单调递减，
又，所以，即k>1.
（2）由题意知：
由（1）可知：时，时，，
所以函数在单调递减，在单调递增.
又，
所以函数在内无零点，
在内存在唯一零点，且.
由（1）可知，
所以
令，
则，
且，
令，
则，
所以函数在上为增函数，
故当时，，
故当时，，
所以函数在上为增函数，
因为，
所以，，
因为在上为增函数，
且，，所以．
【点睛】关键点睛：本题考查了导数的综合应用，利用导数研究函数单调性的运用，函数极值点的理解与应用，函数零点存在性定理的应用，综合性强，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，转化化归数学思想方法的运用，属于难题.
26．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知，有且仅有一条公切线，
(1)求的解析式，并比较与的大小关系．
(2)证明：，．
【答案】(1)，
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据导数与切线的关系得，取，转化为只有1正根，再设，再求导得其单调性，再利用隐零点法即可求出的解析式，再设，利用导数即可证明其大小关系；
（2）利用（1）中的结论得，利用换元法和累加法即可证明.
【详解】（1）依题意,设公切线在两条曲线上的切点横坐标分别为,,则有
整理得①,此关于的方程只有一根，
取,则①可化为,
取,
,
令，，其两根之积为，则其必有一正根，
则在必有零点，
当时，，当时，，
在上单调递减,在上单调递增，
只有一个零点，②,
其中满足③,联立②③消去参数可得④,
取为关于的递减函数,
且由④解得,代入③得，此时，
取，
令，得，令，得，
在上单调递减，在上单调递增,,
即当且仅当取等.
（2）由（1）可知,,
即，取,
则,即,
.
【点睛】关键点睛：本题第一问的关键是首先通过导数与切线的关系得到只有一根，再利用换元法得，再设新函数，进行求导，最后再利用隐零点法求出值；第二问的关键是利用第一问的结论得到，再利用换元法和累加法即可证明.
27．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数
(1)求在处的切线;
(2)若，证明当时，.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求出，根据在点处的切线求解.
（2）主要是构造函数对进行放缩，找到，所以要证只需证明，变形得，因为，所以只需证明，即
两边同取对数得：，令，
只需要证到在上恒成,.
【详解】（1）因为，所以，切线斜率为
因为，所以切点为
切线方程为即
（2）法一：令，所以，
所以在单调递增，，
所以，所以，
所以要证只需证明
变形得
因为
所以只需证明，即
两边同取对数得：
令，
则
显然在递增，
所以存在当时递减，
当时递增;
因为
所以在上恒成立，所以原命题成立
法二：设则，
要证：
需证：
即证：
因为，需证，即证：
①时必然成立
②时，因为所以只需证明，
令，，
令，
∴在上为增函数
因为
，所以
所以存在，使得
∴在上为减函数，在上为增函数
∴
综上可知，不等式成立
【点睛】此题主要的难点在于构造函数进行放缩，再进行一系列的转换，求导研究函数的最大值小于0，综合性较强，属于难题.
28．（2023·广东深圳·校考二模）已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)①当时，试证明函数恰有三个零点；
②记①中的三个零点分别为，，，且，试证明.
【答案】(1)单调递减区间为，无单调递增区间
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）利用函数的导数，结合函数的定义域，判断导函数的符号，得到函数的单调区间．
（2）①当时，求解函数的导数，求出极值点，判断函数的单调性，然后证明函数恰有三个零点；
②记①中的三个零点分别为，，，判断零点所在区间，利用分析法结合函数的导数转化证明即可．
【详解】（1）当时，定义域为，
所以，
所以在定义域上单调递减，其单调递减区间为，无单调递增区间．
（2）①由定义域为，
所以，
令，因为，，
设方程的两根分别为，，且，则，，
所以有两个零点，，且，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以在处取得极小值，在处取得极大值，
又，故，则，
又因为，，且，
故有，由零点存在性定理可知，
在恰有一个零点，在也恰有一个零点，
易知是的零点，所以恰有三个零点；
②由①知，，则，
因为，所以，
所以要证，
即证，
即证，
即证，
即证，
即证．
令，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以，故式成立，
所以．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
29．（2023·广东广州·广州六中校考三模）已知与有相同的最小值.
(1)求实数的值；
(2)已知，函数有两个零点，求证：.
【答案】(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数求得和的最小值，由它们相等可得参数的值；
（2）由有零点得，不妨令，利用导数得出，令，证明，从而证得，令，证明，从而证明，再由不等式得证结论成立．
【详解】（1），则，
若单调递减，若单调递增．
.
，
若，则无最小值，.
若单调递减，若单调递增，
，，，
，
令，则，
在上单调递增.
又，
；
（2），
，
，则，
时，，时，，
在上单调递减，上单调递增，
不妨令，则，
①令，
单调递增，，
∴，，
，
，
②令，
单调递增，，
，，由上知，
，
，
，
．
【点睛】难点点睛：利用导数证明与函数的两个零点有关的不等式，常用方法是利用得出之间的关系，从而达到消元的目的，化二元为一元，然后利用一元函数进行证明．本题难点在于对两个零点分别进行处理，为此需要引入两个函数和，利用它们分别证明和，然后由不等式的性质得出结论．这种方法的掌握需要平时多多积累．
30．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知函数．
(1)若，求的最小值；
(2)若有两个极值点，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）若时，求得，得出函数的单调性，进而求得其最小值；
（2）根据题意，得到，令，求出a的取值范围，得到，证明成立，即可证明成立.
【详解】（1）若，则，所以，
令，解得；令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值．
（2）证明：，因为有两个极值点，
所以是方程的两个根，即，
所以
，
，①
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则，的图象如图所示，

不妨设，
令，则，所以，
所以，
所以，②
下面证明．
由，可得，所以，即，
可得，即，
令，，则，
令，则，
所以在上单调递减，
所以，所以，所以在上单调递减，
所以，即，所以，③
由②知，所以，
即，所以.
【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
+
0
↗
极大值
↘