2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）专题4-1向量性质与基本定理应用-1

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目录
题型01向量夹角：模型夹角
题型02向量夹角：坐标型
题型03向量夹角：复合型
题型04向量夹角：恒成立与最值型
题型05投影与投影向量：投影数量
题型06投影与投影向量：投影向量
题型07线性运算：鸡爪基础型
题型08线性运算：四边形
题型09基底：换基底型
题型10基底：两线交点型
题型11基底：面积比值型
题型12基底：赵爽弦图型
题型13数量积最值范围
题型14范围最值型：建系法
高考练场
题型01 向量夹角：模型夹角
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·辽宁·模拟预测）
1．已知向量，满足，，则，夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）
2．已知为非零向量，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022·甘肃·一模（文））
3．向量，满足，，，则向量，的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·广西南宁·一模（文））
4．若两个向量满足，则与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·广西·高三阶段练习（文））
5．已知单位向量，，，则与的夹角为（ ）．
A．30°B．60°C．120°D．150°
题型02向量夹角：坐标型
【解题攻略】
【典例1-1】（2021·江西·高三阶段练习（理））
6．已知向量，若，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习（理））
7．已知为整数，且，设平面向量与的夹角为，则的概率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）
8．若向量与的夹角为锐角，则t的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2022·河北·衡水市冀州区滏运中学高三）
9．已知点，，，，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）
10．若，，且，的夹角的余弦值为，则等于（ ）
A．2B．C．或D．2或
题型03向量夹角：复合型
【解题攻略】
【典例1-1】（2022·河南·光山一中高三阶段练习）
11．已知单位向量，，满足，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·四川省成都市新都一中高三）
12．已知，，则向量与的夹角为（ ）
A．90°B．60°C．30°D．0°
【变式1-1】（2020·云南德宏·高三 （理））
13．已知向量，满足，，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）
14．已知向量，若与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习（理））
15．已知、、均为单位向量，且，则、之间夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
题型04 向量夹角：恒成立与最值型
【解题攻略】
【典例1-1】
16．已知向量，满足|，，且对任意的实数x，不等式恒成立，设，的夹角为，则的值为（ ）
A．﹣2B．2C．D．
【典例1-2】
17．设为单位向量，满足，设的夹角为，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】
18．已知向量，，，，的夹角为，若存在实数m，使得，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】
19．已知平面向量，满足，且对任意实数，有，设与夹角为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】
20．已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
题型05 投影与投影向量：投影数量
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）
21．已知向量，则向量在向量上的投影的数量为（ ）
A．B．
C．D．1
【典例1-2】
22．已知，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）
23．已知向量，，若向量在向量方向上的投影为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·辽宁丹东·统考一模）
24．向量，，则在方向上投影的数量为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022上·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）
25．已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影数量为（ ）
A．B．C．1D．2
题型06投影与投影向量：投影向量
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）
26．已知向量，若，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023上·山东·高三校联考阶段练习）
27．已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2023·广西·模拟预测）
28．向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）
29．已知，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023·全国·模拟预测）
30．向量，，那么向量在上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
题型07线性运算：鸡爪基础型
【解题攻略】
【典例1-1】
31．已知为所在平面内一点，，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】
32．如图，若，，，点B是线段AC上一点，且．若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【变式1-1】
33．在中，为边的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．不确定
【变式1-2】
34．如图，在中，，，则（ ）
A．B．C．D．1
【变式1-3】
35．设为所在平面内一点，，则（ ）
A．B．
C．D．
题型08 线性运算：四边形
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·河南·校联考模拟预测）
36．在平行四边形ABCD中，点E满足，，则（ ）
A．B．C．D．1
【典例1-2】（2023春·河北石家庄·高三校联考）
37．如图，在平行四边形中，，，，若，则下列关系正确的是（ ）

A．B．
C．D．
【变式1-1】（2023春·海南·高三校）
38．如图，在等腰梯形中，，，点为线段的中点，点是线段上的一点，且，则（ ）

A．B．C．D．
【变式1-2】（2023春·江苏盐城·高三校联考阶段练习）
39．在平行四边形中，是线段的中点，若，则的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【变式1-3】（2023秋·新疆博尔塔拉·高三校考开学考试）
40．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（ ）

A．B．
C．D．
求平面向量夹角的方法（模长型）：定义法：利用向量数量积的定义得，其中两向量的取值范围是；
求平面向量夹角的方法（坐标型）：坐标法：若非零向量，，则.
复合型向量夹角计算，和简单向量夹角计算一样，多了一个复杂的求分母计算
向量型恒成立：1.通过模计算，转化为函数恒成立.
2.通过向量几何意义，转化为图形恒成立.
若、，则a在b方向上的投影为：
若,，则a在b上的投影向量：
鸡爪型是向量线性运算基础：
若D点在BC线段上，且满足,则有
四边形基底线性运算，可以用基底推导，也可以通过特殊化构造坐标系设点计算
参考答案：
1．A
【分析】根据平面向量数量积的运算律及数量积的夹角公式即得.
【详解】由，得，
即，
所以，
所以．
故选：A．
2．B
【分析】先将两边平方，再结合数量积的运算解出夹角的余弦值即可.
【详解】将等式两边平方，得，即，
将代入，得.
故选：B.
3．D
【分析】根据平面向量数量积的运算律求出，再根据夹角公式求出，从而得解；
【详解】解：因为，，，所以，即，即，所以，设与的夹角为，则，因为，所以；
故选：D
4．C
【分析】依据向量夹角的余弦公式即可求得与的夹角.
【详解】，又
则，即与的夹角是
故选：C
5．C
【分析】根据向量的数量积的运算可求得，再利用向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以,
故选:C
6．B
【分析】先求出向量，再用夹角公式求出向量与的夹角.
【详解】因为，且，所以得，
即
则，
又，所以
即与的夹角为．
故选：B
7．D
【分析】依题意可得，再根据向量夹角的坐标表示得到不等式，再用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；
【详解】解：因为平面向量与的夹角为，且，所以，即，所以，因为为整数，且，，所以共有种可能，又因为，，所以或，①当时，由，即，所以或或或，满足题意；
②当时，由，即，所以或，满足题意；
故或或或或或共种情况符合题意，所以的概率为；
故选：D
8．D
【分析】且与不同向，进而求解即可得答案.
【详解】解：与夹角为锐角，则且与不同向，即，即，
由，共线得，得，
故.
故选:D.
9．B
【分析】结合向量坐标运算的余弦夹角公式即可求解.
【详解】设与的夹角为，因为，，所以．
故选：B
10．C
【分析】根据，解得即可得出答案.
【详解】解：因为，，
所以，
解得：或.
故选：C.
11．A
【分析】根据，，为单位向量，变形后平方可得：，，，利用夹角公式求出与夹角的余弦值.
【详解】，，为单位向量.
对两边平方，即，可得：；
由可得：，两边平方，可得：；
由可得：，两边平方，可得：，所以．
．
故选：A
12．A
【分析】结合空间向量的夹角坐标运算公式以及三角恒等变换化简求出夹角的余弦值，进而可得到结果.
【详解】因为，，
所以，，
设向量与的夹角为，则
，
因为，所以，故向量与的夹角为，
故选：A.
13．B
【分析】将向量用坐标表示，求得的值，结合平面向量数量积定义即可求得与夹角的余弦值.
【详解】设，与为，则，解得，
又，且，∴，
∴，，
∵，即，
解得.
故选：B.
14．D
【分析】先表示出的坐标，再根据向量的夹角公式列出关于m的方程，解得答案.
【详解】由题意得，
故 ，
解得 ，其中不合题意，舍去，
故，
故选：D
15．C
【分析】变形可得出，可得出，利用平面向量数量积的运算可求得的值，即可得解.
【详解】依题意，，则，即，
即，解得.
故选：C.
16．C
【分析】因为对任意实数，不等式恒成立，所以对任意实数恒成立，，即，结合已知可得的值，解可得的值，进而计算可得答案.
【详解】对任意实数，不等式恒成立
对任意实数恒成立
，即
又
，
即
，解得
又，
，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了求三角函数值，解题关键是掌握向量数量积公式和同名三角函数关系，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
17．C
【分析】根据为单位向量，设，且，得到的坐标，再根据，得到x的范围，然后利用求解.
【详解】因为为单位向量，
不妨设，且，
所以，
又因为，
所以，
化简得，
所以，
，
，
当时，，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题关键是在为单位向量的条件下，设，由确定x的范围.
18．C
【分析】根据，可得，即，则只要，求得即可的解.
【详解】解：由，得，又，所以，
若存在实数m，使得，则，
因为，所以，故.
故选：C．
19．D
【分析】由题意可设，由题意求出，根据向量的几何意义找到向量对应的点所在的区域，结合向量夹角的含义，找到与夹角最大时或夹角无限小时的位置，即可求得答案.
【详解】由题意可设，则
由于对任意实数，有，故恒成立，
即对任意实数恒成立，故，
即 ，
所以向量对应的点位于如图所示的直线 外部的阴影区域内
（含边界直线），设 ，，则,
故，
不妨假设向量对应的点在上部分区域内，
则由图可以看到当对应的点位于B处，即在直线上，
且当时，最大，此时，
所以 ，即最小值为，
由图可以看到，当B点沿直线向外运动或在阴影部分中向远处运动时，
可以无限趋近于0，故，
因此的范围是，
当B点位于直线上或下方的区域内时，同理可求得的范围是，
故选：D
20．C
【详解】由题意有，
则．
又因为，所以，所以．
故选：C.
21．D
【分析】根据向量在向量上的投影的数量为即可求解.
【详解】由题意可得，，
故向量在向量上的投影的数量为．
故选:D.
22．B
【分析】利用平面向量的几何意义，列出方程求出与夹角的余弦值，即可得出夹角大小.
【详解】记向量与向量的夹角为，
在上的投影为.
在上的投影为，
，
，
.
故选：B.
23．C
【分析】利用向量投影求解参数值即可.
【详解】由题，向量在向量方向上的投影为，
解得．
故选：C．
24．B
【分析】利用投影数量的定义及向量夹角坐标公式求在方向上投影的数量.
【详解】由题设，在方向上投影的数量为.
故选：B
25．B
【分析】根据向量投影数量公式，代入即可得解.
【详解】向量在向量方向上的投影数量为，
故选：B
26．D
【分析】根据向量垂直求出后，利用向量的坐标运算写出的坐标，再根据投影向量的概念即可求解.
【详解】依题意得，所以，解得，
所以，所以，
则向量在向量上的投影向量为．
故选：D．
27．D
【分析】先求出的坐标，然后利用投影向量的公式求解即可.
【详解】由已知，
则在上的投影向量为.
故选：D.
28．C
【分析】由投影向量的定义求在方向上的投影向量.
【详解】因为，，则，
所以在方向上的投影向量为．
故选：C
29．B
【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，，则向量在向量上的数量投影为，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：B
30．A
【分析】由平面向量的坐标运算、投影向量的计算公式即可求解．
【详解】因为，，所以，
则在上的投影向量的模为
，
则在上的投影向量为.
故选：A．
31．A
【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.
【详解】由题意作出图形,如图,则
，
故选：A.
32．B
【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.
【详解】因为.
所以，即，.
故选：B
33．C
【分析】结合已知条件，利用向量表示，根据平面向量基本定理求即可.
【详解】因为为边的中点，所以，
所以，因为，不共线，
由平面向量基本定理可得，
所以，
故选：C.
34．A
【分析】利用条件，将 作为基底表示即可求解作答 .
【详解】由题意， ，
；
故选：A.
35．D
【分析】运用平面向量加法规则计算.
【详解】
依题意作上图，则 ；
故选：D.
36．A
【分析】根据向量的线性运算结合平面向量基本定理运算求解.
【详解】因为，则，
整理得，可得，
所以.
故选：A.
37．A
【分析】运用向量加、减、数乘运算即可求得结果.
【详解】由，得，所以.
由，得，所以.
因为，所以.
所以，
所以，即.
故选：A.
38．D
【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【详解】由题意，点为的中点，点是线段上的一点，且，
则，
因为，且，
则有 .
故选：D.
39．C
【分析】由向量对应线段的位置及数量关系，用表示出，即可确定参数值.
【详解】由，
所以，则.

故选：C
40．C
【分析】利用平面向量的线性运算求解.
【详解】解：，
，
，
，
故选：C