2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）专题3-1三角函数图像与性质-1

这是一份2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）专题3-1三角函数图像与性质-1，共35页。

目录
题型01三角函数单调性
题型02 求周期
题型03 非同名函数平移
题型04 对称轴最值应用
题型05 对称中心最值应用
题型06 辅助角最值
题型07 正余弦换元型最值
题型08 一元二次型换元最值
题型09 分式型最值
题型10 最值型综合
题型11 恒等变形：求角
题型12恒等变形：拆角求值（分式型）
题型13 恒等变形：拆角求值（复合型）
题型14 恒等变形：拆角求值（正切型对偶）
高考练场

题型01三角函数单调性
【解题攻略】
A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响
（1）函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中参数A.φ、ω的作用
（2）图象的变换
（1）振幅变换
要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到.
（2）平移变换
要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到.
（3）周期变换
要得到函数y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到.
【典例1-1】（2023·全国·模拟预测）
1．已知函数，则使得和都单调递增的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】
2．已知函数，则f（x）（ ）
A．在（0，）单调递减B．在（0，π）单调递增
C．在（—，0）单调递减D．在（—，0）单调递增
【变式1-1】（2022上·福建莆田·高三校考）
3．函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）
4．函数在下列某个区间上单调递增，这个区间是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）
5．“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
题型02求周期
【解题攻略】
求周期方法
1.直接法：
形如y＝Asin（ωx＋φ）或者y＝Acs（ωx＋φ）函数的周期T＝.y＝Atan（ωx＋φ）的周期是T＝
2.观察法：
形如等等诸如此类的带绝对值型，可以通过简图判定是否有周期，以及最小正周期的值
3.恒等变形转化法.
4.定义证明法
【典例1-1】（2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）
6．设函数，则的最小正周期（ ）
A．与有关，且与有关B．与有关，但与无关
C．与无关，且与无关D．与无关，但与有关
【典例1-2】（2023上·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考阶段练习）
7．以下函数中最小正周期为的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）
8．下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（ ）
A． B．
C．D．
【变式1-2】（2023·广东·统考二模）
9．已知函数，的定义域为R，则“，为周期函数”是“为周期函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式1-3】（2023上·江苏·高三专题练习）
10．在函数①，②，③，④中，最小正周期为π的函数有（ ）
A．①③B．①④
C．③④D．②③
题型03非同名函数平移
【解题攻略】
平移变换：
1.基本法：提系数（就是直接换x，其余的都不动）；
2.正到余，余到正：
方法一：诱导公式化为同名（尽量化正为余，因为余弦是偶函数，可以解决系数是负的）；
方法二：直接第极大值法（通过快速画图，正弦对应第一极大值轴处.余弦即五点第一点处，本方法是重点）
【典例1-1】（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考期末）
11．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
【典例1-2】（2021春·河南许昌·高三许昌实验中学校考）
12．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移1个单位长度D．向右平移1个单位长度
【变式1-1】（2020春·全国·高三校联考阶段练习）
13．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平栘个单位
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）
14．为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【变式1-3】（2022·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）
15．已知函数，为了得到函数的图象只需将y=f（x）的图象（ ）
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
题型04对称轴最值应用
【解题攻略】
正余弦对称轴：
最值处，令sin（ωx＋φ）＝1，则ωx＋φ＝kπ＋（k∈Z），可求得对称轴方程；
对称轴代入，三角函数部分必为正负1，还可以理解为辅助角那个整体取得最大值或者最小值
【典例1-1】
16．已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数，总有成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022届湘赣十四校高三联考第二次考试理数试题=）
17．已知函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若为的一条对称轴，则 ．
【变式1-1】
18．已知把函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数的图象，若，若，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（河南省三门峡市2021-2022学年高三上学期阶段性检测理科数学试题）
19．将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2021届安徽省马鞍山二中高三下学期4月高考模拟数学试题）
20．将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到函数的图象，若使成立的a、b有，则下列直线中可以是函数图象的对称轴的是
A．B．
C．D．
题型05对称中心最值应用
【解题攻略】
正余弦对称中心：
零点处，令sin（ωx＋φ）＝0，ωx＋φ＝kπ（k∈Z），可求得对称中心的横坐标
对称中心横坐标代入，三角函数那部分必为0
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）
21．已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，则下列点的坐标为的对称中心的是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·天津南开·二模）
22．函数，其图象的一个最低点是，距离点最近的对称中心为，则（ ）
A．
B．是函数图象的一条对称轴
C．时，函数单调递增
D．的图象向右平移个单位后得到的图象，若是奇函数，则的最小值是
【变式1-1】（2022·四川凉山·三模（理））
23．将函数的图象向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数的图象，且的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，对于函数有以下几个结论：
（1）；
（2）它的图象关于直线对称；
（3）它的图象关于点对称；
（4）若，则；
则上述结论正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）
24．将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称中心重合，则的最小值为（ ）
A．B．2C．3D．6
【变式1-3】（2021·安徽·六安一中高三阶段练习（理））
25．已知的一个对称中心为，把的图像向右平移个单位后，可以得到偶函数的图象，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型06辅助角最值
【解题攻略】
（1）正弦形式，其中：
（2）余弦形式，其中：
辅助角范围满足：
【典例1-1】（江西省上饶市（天佑中学、余干中学等）六校2021届高三下学期第一次联考数学试题
26．已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】
27．已知函数在上的值域为，则的取值范围为 .
【变式1-1】
28．已知函数，周期，，且在处取得最大值，则使得不等式恒成立的实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（浙江省绍兴市诸暨市海亮高级中学2021-2022学年高三上学期12月选考数学试题）
29．已知当时，函数取到最大值，则是（ ）
A．奇函数，在时取到最小值；B．偶函数，在时取到最小值；
C．奇函数，在时取到最小值；D．偶函数，在时取到最小值；
【变式1-3】（江苏省淮安市淮阴中学2020届高三下学期5月高考模拟数学试题）
30．若存在正整数m使得关于x的方程在上有两个不等实根，则正整数n的最小值是 ．
题型07正余弦换元型最值
【解题攻略】
与在同一函数中一般可设进行换元.换元时注意新元的取值范围.与之间的互化关系
1.
2.如果，则由辅助角可知
【典例1-1】（2021下·上海徐汇·高三南洋中学校考阶段练习）
31．已知函数，则的值域为 ．
【典例1-2】（2022·高三单元测试）
32．函数的值域为 ．
【变式1-1】
33．已知函数，则的最大值为 .
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）
34．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
【变式1-3】（河南省信阳高级中学2020-2021学年高三数学试题）
35．已知实数，若函数的最大值为，则a的值为 .
题型08一元二次型换元最值
【典例1-1】（2022·高三单元测试）
36．若，则函数的最大值与最小值之和为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2021上·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考）
37．函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023下·上海长宁·高三统考）
38．已知关于的不等式在内恒成立，则实数的取值范围是 ．
【变式1-2】（2021下·北京·高三校考）
39．已知函数，则 ；的最大值为
【变式1-3】（2021·江西·校联考模拟预测）
40．函数的最大值为 .
参数
作用
A
A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅.
φ
φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位.
ω
ω决定了函数的周期T＝.
参考答案：
1．D
【分析】利用复合函数的单调性，判断各选项是否正确.
【详解】当从增加到时，从0递减到，从递增到1，
所以从递减到，从递减到，A错误；
当从增加到时，从递减到，从1递减到，
所以从递增到，从递减到，B错误；
当从增加到时，从递减到，从递减到，
所以从递增到，从递减到，C错误；
当从增加到时，从-1递增到，从递减到0，
所以从递增到，从递增到，D正确；
故选：D
2．D
【分析】先用诱导公式化简得到，再将选项代入检验，求出正确答案.
【详解】，
故当时，，所以不单调，AB错误；
当时，，在上单调递增，
故D正确
故选：D
3．A
【分析】先换元,求定义域再结合复合函数的单调性,最后根据正弦函数的单调性求解即可.
【详解】设，即，，单调递增，取单调增的部分，
所以可得：，即，
解得：
答案：A.
4．A
【分析】由二倍角公式结合辅助角公式化简可得的表达式，求出其单调增区间，结合选项，即可判断出答案.
【详解】∵，
令，则，
即的单调递增区间为，
当时，，
∴函数在区间上单调递增.
故选：A
5．A
【分析】根据正弦函数的单调性和参数范围即可求解.
【详解】若函数区间上单调递增，
则令，，
解得，，
结合是区间，
所以，
解得.
“”是“”的充分不必要条件,
故选：A.
6．D
【分析】根据三角函数的周期性，结合周期成倍数关系的两个函数之和，其周期为这两个函数的周期的最小公倍数这一结论，解答即可.
【详解】，
对于，其最小正周期为，对于，其最小正周期为，
所以对于任意，的最小正周期都为，
对于，其最小正周期为，
故当时，，其最小正周期为；
当时，，其最小正周期为，
所以的最小正周期与无关，但与有关.
故选：D.
【点睛】结论点睛：若两个函数的周期成倍数关系，则这两个函数之和是周期函数，且其周期为这两个函数的周期的最小公倍数.
7．A
【分析】对于A，直接画出函数图象验证即可；对于BCD，举出反例推翻即可.
【详解】画出函数的图象如图所示：

由图可知函数的最小正周期为，满足题意；
对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意；
对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意；
对于而言，，即函数的最小正周期不是，不满足题意；
综上所述，满足题意的函数的个数有1个.
故选：A.
8．D
【分析】确定和，为偶函数，排除，验证D选项满足条件，得到答案.
【详解】对选项A：，函数定义域为，，
函数为偶函数，排除；
对选项B：，函数定义域为，，
函数为偶函数，排除；
对选项C：，函数定义域为，，
函数为偶函数，排除；
对选项D：，函数定义域为，
，函数为奇函数，，满足条件；
故选：D.
9．D
【分析】根据通过反例和周期的性质判断即可.
【详解】两个周期函数之和是否为周期函数，取决于两个函数的周期的比是否为有理数，若为有理数，则有周期，若不为有理数，则无周期.
的周期为，的周期为，则当时，只有周期的整数倍才是函数的周期，则不是充分条件；
若，，
则为周期函数，但，为周期函数不正确，故不是必要条件；
因此为不充分不必要条件.
故选：D
10．D
【分析】根据函数图象的翻折变换和周期公式可得.
【详解】①由余弦函数的奇偶性可知，，最小值周期为；
②由翻折变换可知，函数的图象如图：
由图知的最小值周期为；
③由周期公式得，所以的最小值周期为；
④的最小值周期为.
故选：D
11．B
【解析】根据，可判断.
【详解】，
所以先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到的图象.
故选：B.
12．C
【分析】把化成可得平移的发现及其长度.
【详解】因为，
所以要得到函数的图象，
只需把函数的图象上所有的点向左平移1个单位长度.
故选：C.
【点睛】本题考查图象的平移变换，可利用“左加右减”的法则来处理，注意平移前后函数名是一致的，并且只是自变量做加减，本题属于基础题.
13．C
【解析】由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．
【详解】解：要得到函数的图象，
只需将函数的图象向左平移个单位即可，
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律以及诱导公式．
14．D
【分析】先得到，再利用平移变换求解.
【详解】解：因为，
将其图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象.A，B，C都不满足.
故选：D
15．C
【分析】根据诱导公式，即可得到平移方法.
【详解】函数，
，
所以为了得到函数的图象只需将y=f（x）的图象向左平移个单位.
故选：C
16．B
【分析】结合三角恒等变换求得的最大值和最小值，并求得的最小值.
【详解】
，
当时取得最大值为.
当时取得最小值为.
依题意，存在实数，使得对任意实数，总有成立，
，
，
是整数，为奇数，所以的最小值为.
故选：B
17．
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和平移变换得，，再利用三角函数对称性列方程求解即可．
【详解】设，则，，
，则，，
∴，即，
∴，，
又是的一条对称轴，
∴ ，即.
故答案为
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数图象的平移变换问题的应用，正弦型函数的对称性．
18．C
【分析】先化简函数，然后根据图像的变换得函数的解析式，通过判断得，同时令取得最大值或最小值时，，再结合函数的图像，即可求得的最大值.
【详解】
．将图象向右平移至个单位长度，
再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数，可得，
所以，，
∴，同时令取得最大值或最小值时，．当，时，，
根据函数的图象可知的最大值为个周期的长度，即
故选：C.
【点睛】关于三角函数解析式的化简，一般先利用诱导公式或者和差公式展开将解析式化为同角，然后利用降幂公式对函数进行降次处理，最后利用辅助角公式代入化简，最终将解析式化为的形式.
19．A
【分析】根据三角函数平移变换,先求得的解析式.根据,可知,即.根据可分别求得的最大值和的最小值,即可求得的最大值.
【详解】根据平移变换将函数的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再把所得的图象向左平移个单位长度,然后再把所得的图象向下平移1个单位长度,
可得
由,
可知
即
所以
的最大值为,的最小值为
则的最大值为,的最小值为
所以的最大值为
故选:A
【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换,三角函数性质的综合应用,利用函数的最值求参数的取值情况,属于难题.
20．D
【解析】根据三角函数平移关系求出的解析式，结合成立的有，求出的关系，结合最小值建立方程求出的值即可.
【详解】解：将函数的图象向左平移（）个单位长度后得到函数的图象，
即，
若成立，
即，
即，
则与一个取最大值1，一个取最小值−1，
不妨设，
则，
得，
则，
∵，
∴当时，，
当时，，
，
则或，
即或（舍），
即，
由，
得，
当时，对称轴方程为.
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数的图象平移，以及三角函数的图象和性质，结合三角函数的最值性建立方程关系求出的大小，结合最小值求出的值是解决本题的关键.考查分析问题解决问题的能力，有一定难度.
21．C
【分析】根据相邻对称轴之间距离可得最小正周期为，由此可求得，得到解析式；利用正弦型函数对称中心的求法可求得对称中心，对比选项可得结果.
【详解】两条相邻对称轴之间的距离为，最小正周期，
解得：，，
令，解得：，此时，
的对称中心为，
当时，的一个对称中心为.
故选：C.
22．C
【分析】由函数的图像的顶点坐标求出，由周期求出，由最低点求出的值，可得函数的解析式，再利用三角函数的图像和性质，得出结论．
【详解】解：函数，的图象的一个最低点是，
距离点最近的对称中心为，
，，，
，，解得，，因为，
令，可得，
所以函数，故A错误；
，故函数关于对称，故B错误；
当时，，函数单调递增，故C正确；
把的图象向右平移个单位后得到的图象，
若是奇函数，则，，即，，
令，可得的最小值是，故D错误，
故选：C
23．C
【分析】先根据图像平移的性质求出的函数解析式，逐项代入分析即可.
【详解】解：由题意得：
，向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变）得到函数.
对于选项A：由的图象上一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，最小正周期，即
，解得，故，所以（1）错误；
当时，代入可知，故图像的一条对称轴是，故（2）正确；
当时，代入可知，故图像的一个对称点是，故（3）正确；
若，则，所以
因此在上的取值范围是，故（4）正确；
由上可知（2）（3）（4）正确，正确的个数为个.
故选：C
24．A
【分析】根据三角函数的图象变换求得和，根据函数与的对称中心重合，得到，即可求解.
【详解】解：将函数的图象分别向左平移个单位长度后，
可得
将函数的图象分别向右各平移个单位长度后，
可得，
因为函数与的对称中心重合，所以，
即，解得，
所以的最小值为.
故选：A.
25．D
【分析】利用辅助角公式将函数化简，即可求出函数的对称中心坐标，再根据三角函数的平移变换规则得到的解析式，结合函数的奇偶性，求出的取值，从而计算可得；
【详解】解：因为，令，，解得，，即函数的对称中心坐标为，，所以，，把的图像向右平移个单位得到，因为为偶函数，所以，解得，因为，所以，所以，且，所以当时；
故选：D
26．C
【分析】由可得出不等式对任意的恒成立，化简得出，分、两种情况讨论，结合可求得实数的取值范围.
【详解】且，
由题意可知，对任意的，，
即，即，
，则，，，可得.
当时，成立；
当时，函数在区间上单调递增，则，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
27．
【分析】化简得，其中，，，再结合三角函数的性质可求解.
【详解】由题意得

，其中，，，
令，.因为，，故，
因为，且，所以，，
故，则.
又当时，单调递减，且，
，故.
【点睛】本题考查利用三角恒等变换解决三角函数性质问题，属于较难题.
28．B
【解析】先根据三角恒等变换和三角形函数的性质，以及同角的三角函数的关系可得，①，再根据，可得，②，通过①②求出的值，再根据三角函数的性质可得，，求出，根据不等式恒成立，则，即可求出答案．
【详解】，其中，
处取得最大值，
，即，，
，①，，
，，
，②，
①②得，
，
即，解得，（舍去），
由①得，，
，
在第一象限，
取，，
由，即，
，，
，，
使最小，则，
即，
若不等式恒成立，则，
故选：B
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点是求出的值，需要转化，且在处取得最大值，得到，，再根据同角的平方关系得到关于的方程，解方程即得解.也是方程思想的体现.
29．B
【分析】由辅助角公式可得，根据时有最大值可得
，求出，再根据奇偶性并计算、可得答案.
【详解】，
取，
当时，有最大值，
即，所以，可得，
所以，，
则，
因为，所以，为偶函数，
，
，
故B正确，
故选：B.
30．4
【分析】化简，因为，则，在上有两个不等实根，转化为在上有两个不等实根，故，即可得出答案．
【详解】，
其中，，
因为，则，+
在上有两个不等实根，
在上有两个不等实根，
则，
所以
①对任意，，恒成立．
由②得，
存在，成立，
所以，，
所以．
故答案为：4
【点睛】本题主要考查辅助角正弦公式的运用，考查正弦函数的图象与性质，三角函数的求值，属于中档题．
31．
【分析】利用换元法，令，进而可得，再利用函数的单调性即可求解.
【详解】由
令，则，
所以，
又对勾函数的单调递减区间为，；
单调递增区间为，，
结合对勾函数的图象，如下：
所以，
所以，
所以函数的值域为.
故答案为：.
32．
【分析】利用通过换元将原函数转化为含未知量的函数，再解出函数的值域即为函数的值域.
【详解】令，，
则，即，
所以，
又因为，所以，
即函数的值域为．
故答案为：.
33．##
【分析】设，用换元法化为二次函数求解．
【详解】设，则，，
，
∴时，，即．
故答案为：．
34．A
【解析】化简函数f（x），根据f（x）在区间上单调递减，f′（x）≤0恒成立，由此解不等式求出a的取值范围．
【详解】由函数，
且f(x)在区间上单调递减，
∴在区间上,f′(x)=−sin2x+3a(csx−sinx)+2a−1≤0恒成立，
∵设，
∴当x∈时,,t∈[−1,1]，即−1≤csx−sinx≤1，
令t∈[−1,1],sin2x=1−t2∈[0,1]，
原式等价于t2+3at+2a−2≤0，当t∈[−1,1]时恒成立，
令g(t)=t2+3at+2a−2，
只需满足或或，
解得或或，
综上，可得实数a的取值范围是，
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数的公式及导数的应用，解题的关键是利用换元将不等式恒成立问题转化为一元二次不等式恒成立问题，属于较难题.
35．
【分析】利用换元法，令，结合同角三角函数的平方关系，将函数化为关于的函数，然后分类求最值.
【详解】设，则，
则，
，
，
对称轴方程为，
当时，，解得（舍）或（舍）；
当时，，
解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换与化简求值，同角三角函数平方关系的应用，利用换元法求函数的最值问题，分类讨论求二次函数的最值问题，是中档题.
36．C
【分析】利用诱导公式可化简函数为，根据余弦型函数值域的求法可求得，结合二次函数最值的求法可求得的最大值和最小值，加和即可求得结果.
【详解】，
当时，，，
当时，；当时，；
.
故选：C.
37．B
【解析】用二倍角公式及诱导公式将函数化简，再结合二次函数最值即可求得最值.
【详解】由
因为 所以当时
故选：B
38．
【分析】分离参数后，求函数的最大值即可.
【详解】由得，
设，因，所以，
则在上恒成立，
设，
则二次函数的对称轴为，
因其开口向下，所以时函数单调递增，
所以的最大值，
故，
故答案为：
39．
【分析】将代入解析式即可求的值；利用二倍角公式化简，令，转化为关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求最值.
【详解】因为，
所以，
，
令，则，对称轴为，开口向上，
所以当时，
所以的最大值为，
故答案为：；.
40．2
【分析】由，换元令，则，得函数为，，然后利用二次函数的性质求其最值即可
【详解】解：
，
令，由于，所以，
由，得，
所以，，
因为抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向上，
所以当时，取得最大值，
所以函数的最大值为2，
故答案为：2