2023-2024学年河北省保定市定州二中高二（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年河北省保定市定州二中高二（上）期末数学试卷(含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若直线x+my−1=0的倾斜角为30°，则实数m的值为
( )
A. − 3B. 3C. − 33D. 33
2.已知圆x2+y2=4与圆(x−a)2+(y−3)2=9外切，则直线ax−2y+3=0与圆x2+y2=4的位置关系是( )
A. 相切B. 相离C. 相交D. 相交或相离
3.已知向量a=(1,2,3),b=(−2,−4,−6)，|c|= 14，若(a+b)⋅c=7，则a与c的夹角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
4.已知点A，F分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点和右焦点，记点F到渐近线的距离为d，若d=2|AF|，则双曲线C的离心率为( )
A. 32B. 43C. 54D. 53
5.已知数列{an}是等比数列，公比为q，前n项和为Sn，则下列说法错误的是( )
A. {1an}为等比数列B. {an}也可能为等差数列
C. 若q>1，则{an}为递增数列D. 若Sn=3n−1+r，则r=−13
6.已知点F1，F2为椭圆x24+y22=1的左、右焦点，过点F1与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，则三角形ABF2的内切圆的半径为( )
A. 22B. 1C. 2D. 2
7.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=4，∠BAD=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值是( )
A. 33B. 23C. 36D. 13
8.已知数列{an}的前n项和Sn=32n2−12n，设bn=1anan+1，Tn为数列{bn}的前n项和，若对任意的n∈N*，不等式λTn0，则a8+a10>0D. 若d0)上任意一点到其左、右焦点F1、F2的距离之和均为4，且椭圆的中心O到直线bx+ay−ab=0的距离为2 33．
(1)求椭圆E的方程；
(2)已知以椭圆右顶点A为直角顶点的动直角三角形斜边端点B、C落在椭圆E上，求动直角△ABC面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．
由直线方程求得斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解．
【解答】
解：直线x+my−1=0的斜率为−1m，
而直线x+my−1=0的倾斜角为30°，
∴−1m=tan30°= 33，则m=− 3．
故选：A．
2.【答案】C
【解析】解：圆x2+y2=4的圆心坐标为(0,0)，半径为2，圆(x−a)2+(y−3)2=9的圆心坐标为(a,3)，半径为3，
因为两圆外切，于是得 (a−0)2+(3−0)2=2+3，解得a2=16，
圆x2+y2=4的圆心(0,0)到直线ax−2y+3=0的距离d=3 a2+(−2)2=3 5100,b>0)的右焦点(c,0)，
点F到渐近线bx+ay=0的距离为d，d=2|AF|，
可得：|bc| a2+b2=2(c−a)，b2=c2−a2，
可得3c2−8ac+5a2=0，即3e2−8e+5=0，e>1，
解得e=53．
故选：D．
求出双曲线的焦点坐标，利用点F到渐近线的距离满足d=2|AF|，列出方程，即可求出双曲线C的离心率．
本题考查双曲线C的离心率的求法，点到直线的距离公式的应用，考查学生的计算能力，是中档题．
5.【答案】C
【解析】解：由题意得an+1an=q，
所以1an+11an=anan+1=1q，故数列{1an}为等比数列，故A正确；
当an=2时，则{an}也为等差数列，故B正确；
若首项为−2，q>1，但是{an}为递减数列，故C错误，
若Sn=3n−1+r，则a1=1+r，n≥2时，an=Sn−Sn−1=3n−1−3n−2=2×3n−2，
由数列{an}为等比数列得，2×3−1=1+r，
所以r=−13，故D正确．
故选：C．
由已知结合等差数列，等比数列的定义及数列的和与项的递推关系分别检验各选项即可判断．
本题综合考查了等差及等比数列的判断，还考查了由数列的求和公式求解数列的通项公式，考查了分析解决问题的能力，是基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
由椭圆的方程可得左右焦点的坐标，再由由题意可得A，B的坐标，进而求出△ABF2的面积，设内切圆的半径r，由内切圆的圆心分三角形成3个小三角形，由面积相等可得r的值．
本题考查椭圆的性质及圆的半径的求法，属于中档题．
【解答】
解：由椭圆的方程可得a=2，b= 2，
所以可得左焦点F1(− 2,0)，右焦点F2( 2,0)，
因为过点F1且垂直于x轴的直线与椭圆C相交于A，B，
所以xA=xB=− 2，yA=−yB=b2a=1，
即A(− 2,1)，B(− 2,−1)，
所以S△ABF2=12|AB|⋅2 2=2 2，
|AF2|=|BF2|= (2 2)2+12=3，
设内切圆的半径为r，则12(|AB|+|AF2|+|BF2|)⋅r=S△ABF2，
可得12(3+3+2)⋅r=2 2，所以可得r= 22，
故选：A．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查空间角，考查向量知识的运用，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
确定AB1与BC1的数量积与模长，利用向量的夹角公式，即可求得异面直线AB1与BC1所成角的余弦值．
【解答】
解：如图，
AB1=AB+AA1，BC1=BB1+BC=AA1+AD，
∴AB1⋅BC1=(AB+AA1)⋅(AA1+AD)
=AB⋅AA1+AB⋅AD+AA12+AA1⋅AD
=4×4×cs60°+16+4×4×cs60°=32．
|AB1|=|BC1|= (AB+AA1)2
= AB2+2AB⋅AA1+AA12
= 16+2×4×4×12+16=4 3．
∴cs=AB1⋅BC1|AB1|⋅|BC1|
=324 3×4 3=23．
∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值是23．
故选：B．
8.【答案】A
【解析】解：由题意，当n=1时，a1=S1=32⋅12−12⋅1=1．
当n≥2时，
an=Sn−Sn−1=32n2−12n−[32(n−1)2−12(n−1)]=3n−2，
∴an=3n−2，n∈N*．
则bn=1anan+1=1(3n−2)(3n+1)=13(13n−2−13n+1).
设数列{bn}的前n项和Tn，则
Tn=b1+b2+…+bn
=13(1−14)+13(14−17)+…+13(13n−2−13n+1)
=13(1−14+14−17+…+13n−2−13n+1)
=13(1−13n+1)
=n3n+1．
∵对任意的n∈N*，不等式λTn