中考数学一轮复习考点（精讲精练）复习专题28 锐角三角函数与运用（2份打包，原卷版+教师版）

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知识精讲
考点1：锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值
1．锐角三角函数的概念
（1）锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数.
（2）在△ABC中，∠C=90°,
∠A的正弦sin A= SKIPIF 1 < 0 ,∠A的余弦cs A= SKIPIF 1 < 0 ,∠A的正切tan A= SKIPIF 1 < 0 .
2．特殊角的三角函数值(填写下表)

【例1】（2021·湖南）下列计算正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据零指数幂，特殊角三角函数值，算术平方根的定义，同底数幂乘法的计算法则分别计算即可．
【详解】解：A、 SKIPIF 1 < 0 ，此选项正确；B、 SKIPIF 1 < 0 ，此选项错误；
C、 SKIPIF 1 < 0 ，此选项错误；D、 SKIPIF 1 < 0 ，此选项错误；故选：A．
【例2】如图， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的外接圆，CD是 SKIPIF 1 < 0 的直径．若 SKIPIF 1 < 0 ，弦 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角等于90°和勾股定理，可以求得AD的长，然后即可求得∠ADC的余弦值，再根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠ABC=∠ADC，从而可以得到cs∠ABC的值．
【详解】解：连接AD，如右图所示，
∵CD是⊙O的直径，CD=10，弦AC=6，∴∠DAC=90°，∴AD= SKIPIF 1 < 0 =8，
∴cs∠ADC= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，∵∠ABC=∠ADC，∴cs∠ABC的值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A．
针对训练
1． SKIPIF 1 < 0 的值等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【答案】A
【分析】根据30°的正切值直接求解即可．
【详解】解：由题意可知， SKIPIF 1 < 0 ，故选：A．
2．如图，已知在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】在直角三角形中，锐角 SKIPIF 1 < 0 的正弦=锐角 SKIPIF 1 < 0 的对边：直角三角形的斜边，根据定义直接可得答案．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0
考点2：三角函数与图形结合

【例3】如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ）
A．sinB SKIPIF 1 < 0 B．sinC SKIPIF 1 < 0 C．tanB SKIPIF 1 < 0 D．sin2B+sin2C＝1
【答案】A
【分析】根据勾股定理得出AB，AC，BC的长，进而利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而解答即可．
【详解】解：由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，只有A错误．故选择：A．
针对训练
1．如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AC即可解决问题．
【解析】如图，过点A作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，∴AC= SKIPIF 1 < 0 ，
∴sin∠ACH= SKIPIF 1 < 0 ，故选：D．
2．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．2 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据网格构造直角三角形，由勾股定理可求AD、BD，再根据三角函数的意义可求出tanA的值．
【解析】如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，AD=2 SKIPIF 1 < 0 ，BD=
∴tanA= SKIPIF 1 < 0 ，故选：A．
考点3：解直角三角形
1．解直角三角形
（1）解直角三角形的概念
在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即3条边和2个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.
（2）直角三角形的解法
直角三角形的解法按除直角外已知2个元素的不同情况可大致分为四种类型:
① 已知一条直角边和一个锐角(如a,∠A),其解法为:∠B=90°-∠A,c= SKIPIF 1 < 0 ;
② 已知斜边和一个锐角(如c,∠A),其解法为:∠B=90°-∠A,a= SKIPIF 1 < 0 ;
③ 已知两直角边(如a,b),其解法为:c2=a2+b2,tan A= SKIPIF 1 < 0 ;
④ 已知斜边和一直角边(如c,a),其解法为:b2=c2-a2,sin A= SKIPIF 1 < 0 .

【例4】如图是一架人字梯，已知 SKIPIF 1 < 0 米，AC与地面BC的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 米B． SKIPIF 1 < 0 米C． SKIPIF 1 < 0 米D． SKIPIF 1 < 0 米
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据余弦的定义即可，得到答案．
【详解】过点A作 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故选：A．
【例5】在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．有一个锐角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上（不与点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 重合），且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或2
【分析】依据题意画出图形，分类讨论，解直角三角形即可．
【详解】解：情形1： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
情形2： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
情形3： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或2．
针对训练
1．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．60D．80
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，AC=100，
∴BC=100×3÷5=60，∴AB= SKIPIF 1 < 0 =80，故选D．
2．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据勾股定理和三角函数求解．
【详解】∵在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 故选：A．
3．如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上一点，连接AC，BC，OC．若AC＝4，BC＝3，则sin∠BOC的值是（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】如图，过点C作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH，可得结论．
【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB于H．
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴OC＝ SKIPIF 1 < 0 AB＝ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 •AB•CH＝ SKIPIF 1 < 0 •AC•BC，∴CH＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴sin∠BOC＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，故选：B．
考点4：解直角三角形
1．与解直角三角形有关的名词、术语
（1）视角:视线与水平线的夹角叫做视角.
从下向上看,叫做仰角;
从上往下看,叫做俯角.
（2）方位角:目标方向线与正北方向线顺时针时的夹角.
（3）坡度、坡角:坡面的垂直高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡度(或坡比),记作i= SKIPIF 1 < 0 .坡面与水平面的夹角(α),叫做坡角.

【例6】如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔 SKIPIF 1 < 0 的高度，他从古塔底部点 SKIPIF 1 < 0 处前行 SKIPIF 1 < 0 到达斜坡 SKIPIF 1 < 0 的底部点 SKIPIF 1 < 0 处，然后沿斜坡 SKIPIF 1 < 0 前行 SKIPIF 1 < 0 到达最佳测量点 SKIPIF 1 < 0 处，在点 SKIPIF 1 < 0 处测得塔顶 SKIPIF 1 < 0 的仰角为 SKIPIF 1 < 0 ，已知斜坡的斜面坡度 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在同一平面内，小明同学测得古塔 SKIPIF 1 < 0 的高度是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，根据勾股定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，于是得到结论．
【详解】解：过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 斜坡的斜面坡度 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A．
【例7】小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东 SKIPIF 1 < 0 方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走 SKIPIF 1 < 0 到达C处，再沿北偏东 SKIPIF 1 < 0 方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】作 SKIPIF 1 < 0 于E， SKIPIF 1 < 0 于F，易得四边形BCFE是矩形，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中利用含30度的直角三角形三边的关系得到 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，根据题意得到 SKIPIF 1 < 0 ，求得x的值，然后根据勾股定理求得AE和BE，进而求得AB．
【详解】解：如图，作 SKIPIF 1 < 0 于E， SKIPIF 1 < 0 于F，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四边形BCFE是矩形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
答：公园北门A与南门B之间的距离约为 SKIPIF 1 < 0 ．
方法技巧
解直角三角形的应用问题的有关要点
（1）应用范围：
通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问题，
如：测不易直接测量的物体的高度、河宽等，解此类问题关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度.
（2）一般步骤
① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形，转化为解直角三角形的问题）.
② 根据题目的已知条件选用适当的锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化为实际问题的答案.
针对训练
1．如图，建筑物 SKIPIF 1 < 0 上有一高为 SKIPIF 1 < 0 的旗杆 SKIPIF 1 < 0 ，从D处观测旗杆顶部A的仰角为 SKIPIF 1 < 0 ，观测旗杆底部B的仰角为 SKIPIF 1 < 0 ，则建筑物 SKIPIF 1 < 0 的高约为_____ SKIPIF 1 < 0 （结果保留小数点后一位）．（参考数据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】先根据等腰直角三角形的判定与性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，再在 SKIPIF 1 < 0 中，利用正切三角函数解直角三角形即可得．
【详解】解：由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
即建筑物 SKIPIF 1 < 0 的高约为 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
2．王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为 SKIPIF 1 < 0 ，再从C点出发沿斜坡走 SKIPIF 1 < 0 米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为 SKIPIF 1 < 0 ，若斜坡CF的坡比为 SKIPIF 1 < 0 （点 SKIPIF 1 < 0 在同一水平线上）．
（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．
【答案】（1）2米；（2） SKIPIF 1 < 0 米
【分析】（1）作DH⊥CE于H，解Rt△CDH，即可求出DH；
（2）延长AD交CE于点G，解Rt△GDH、Rt△CDH，求出GH、CH，得到GC，再说明AB=BC，在△ABG中，利用正切的定义求出AB即可．
【详解】解：（1）过D作DH⊥CE于H，如图所示：
在Rt△CDH中， SKIPIF 1 < 0 ，∴CH=3DH，∵CH2+DH2=CD2，∴（3DH）2+DH2=（ SKIPIF 1 < 0 ）2，
解得：DH=2或-2（舍），∴王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；
（2）延长AD交CE于点G，设AB=x米，由题意得，∠AGC=30°，
∴GH= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，∵CH=3DH=6，∴GC=GH+CH= SKIPIF 1 < 0 +6，
在Rt△BAC中，∠ACB=45°，∴AB=BC，∴tan∠AGB= SKIPIF 1 < 0 ，
解得：AB= SKIPIF 1 < 0 ，即大树AB的高度为 SKIPIF 1 < 0 米．
3．我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿 SKIPIF 1 < 0 摆成如图1所示．已知 SKIPIF 1 < 0 ，鱼竿尾端A离岸边 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．海面与地面 SKIPIF 1 < 0 平行且相距 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线 SKIPIF 1 < 0 与海面 SKIPIF 1 < 0 的夹角 SKIPIF 1 < 0 ，海面下方的鱼线 SKIPIF 1 < 0 与海面 SKIPIF 1 < 0 垂直，鱼竿 SKIPIF 1 < 0 与地面 SKIPIF 1 < 0 的夹角 SKIPIF 1 < 0 ．求点O到岸边 SKIPIF 1 < 0 的距离；
（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角 SKIPIF 1 < 0 ，此时鱼线被拉直，鱼线 SKIPIF 1 < 0 ，点O恰好位于海面．求点O到岸边 SKIPIF 1 < 0 的距离．（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】（1）8.1m；（2）4.58m
【分析】（1）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，构建 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，根据三角函数的定义与三角函数值求出BE,AE;再用 SKIPIF 1 < 0 求出BF，在 SKIPIF 1 < 0 中，根据三角函数的定义与三角函数值求出FC，用 SKIPIF 1 < 0 ;
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，构建 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，根据53°和AB的长求出BM和AM，利用BM+MN求出BN，在 SKIPIF 1 < 0 中利用勾股定理求出ON，最后用HN+ON求出OH．
【详解】
（1）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 到岸边的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 到岸边的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
专题28 锐角三角函数与运用
考点1：锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值
1．如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解．
【详解】解：作PM⊥x轴于点M，∵P（3，4），∴PM=4，OM=3，
由勾股定理得：OP=5，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故选：D
2．如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转 SKIPIF 1 < 0 ，使点B落在点 SKIPIF 1 < 0 的位置，连接B SKIPIF 1 < 0 ，过点D作DE⊥ SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点E，则 SKIPIF 1 < 0 的长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】利用已知条件求得 SKIPIF 1 < 0 ,设 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 都表示出含有 SKIPIF 1 < 0 的代数式，利用 SKIPIF 1 < 0 的函数值求得 SKIPIF 1 < 0 ，继而求得 SKIPIF 1 < 0 的值
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 由题意： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形 SKIPIF 1 < 0 ∴∠CBF=90°-60°=30°，
SKIPIF 1 < 0 DE⊥ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 故选A
3．计算： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】-3
【分析】根据特殊角三角函数值，绝对值的意义，零指数幂，负整数指数幂，二次根式等运算法则计算即可．【详解】
解：原式 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
考点2：三角函数与图形结合
4．如图，在 SKIPIF 1 < 0 的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在 SKIPIF 1 < 0 上，点E是线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点．则 SKIPIF 1 < 0 的正切值为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由题意易得BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∠BAE=∠BDC，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】解：由题意得：BD=4，BC=2，∠DBC=90°，∵∠BAE=∠BDC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
5．如图所示，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是 ．
【分析】如图，连接AB．证明△OAB是等腰直角三角形即可解决问题．
【解析】如图，连接AB．
∵OA＝AB，OB＝2，∴OB2＝OA2+AB2，∴∠OAB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，∴sin∠AOB，故答案为．
如图,△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上,则tan A的值是 ( )

A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【解析】如图，作BD⊥AC交AC的延长线于点D,利用三角函数的定义可知tan A= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0
故选A.
考点3：解直角三角形
7．如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米， SKIPIF 1 < 0 ，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 米B． SKIPIF 1 < 0 米C． SKIPIF 1 < 0 米D． SKIPIF 1 < 0 米
【答案】A
【分析】在Rt△ABC中，已知∠BAC和斜边AB，求∠BAC的对边，选择∠BAC的正弦，列出等式即可表示出来．
【详解】在Rt△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A．
8．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．过点D作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为E，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】首先根据题目中的 SKIPIF 1 < 0 ，求出ED的长度，再用勾股定理求出AE，即可求出EB，利用平行四边形的性质，求出CD，在Rt△DEC中，用勾股定理求出EC，再作BF⊥CE，在△BEC中，利用等面积法求出BF的长，即可求出 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴△ADE为直角三角形，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 , 解得DE=4,
在Rt△ADE中，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ,
又∵AB=12,∴ SKIPIF 1 < 0 ,
又∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD=AB=12,AD=BC=5
在Rt△DEC中，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ,
过点B作BF⊥CE，垂足为F,如图
在△EBC中：S△EBC= SKIPIF 1 < 0 ;
又∵S△EBC SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,
在Rt△BFC中， SKIPIF 1 < 0 ,故填： SKIPIF 1 < 0 ．
9．如图， SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 的坐标分别是 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则顶点A的坐标是_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 的坐标求得 SKIPIF 1 < 0 的长度, SKIPIF 1 < 0 ， 利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，求得 SKIPIF 1 < 0 的长度，即点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标，易得 SKIPIF 1 < 0 轴，则 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标即 SKIPIF 1 < 0 的纵坐标．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的坐标分别是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 轴 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
考点4：解直角三角形的运用
10．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD．其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，斜坡AB长8m．则斜坡CD的长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，则四边形AEFD是矩形，由AB=8可求出AE，从而DF可知，进而可求出CD的长．
【详解】解：过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC于点F，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵AD//BC∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴则四边形AEFD是矩形，∴ SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中，AB=8， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 故选：B．
11．数学活动小组为测量山顶电视塔的高度，在塔的椭圆平台遥控无人机．当无人机飞到点P处时，与平台中心O点的水平距离为15米，测得塔顶A点的仰角为30°，塔底B点的俯角为60°，则电视塔的高度为_________米．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据题意可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后分别在 SKIPIF 1 < 0 中在 SKIPIF 1 < 0 中，利用锐角三角函数求解即可．
【详解】解：根据题意可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即电视塔的高度为 SKIPIF 1 < 0 米．故答案为： SKIPIF 1 < 0
12．如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为_________ m（结果精确到1m， SKIPIF 1 < 0 ）．
【答案】57
【分析】根据题意画出下图： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，垂足分别为点 SKIPIF 1 < 0 、点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ，可得四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，继而得到 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，可求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后在 SKIPIF 1 < 0 中，求出 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．
【详解】解：根据题意画出下图： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，垂足分别为点 SKIPIF 1 < 0 、点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即乙楼高度约为57 SKIPIF 1 < 0 ．
13．某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A到桥的距离是40米，测得∠A＝83°，则大桥BC的长度是 ___米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cs83°≈0.12，tan83°≈8.14）
【答案】326
【分析】根据正切的定义即可求出BC．
【详解】解：在Rt△ABC中，AC=40米，∠A=83°， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 （米）故答案为：326
14．某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼 SKIPIF 1 < 0 的高度．如图所示，其中观景平台斜坡 SKIPIF 1 < 0 的长是20米，坡角为 SKIPIF 1 < 0 ，斜坡 SKIPIF 1 < 0 底部 SKIPIF 1 < 0 与大楼底端 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 为74米，与地面 SKIPIF 1 < 0 垂直的路灯 SKIPIF 1 < 0 的高度是3米，从楼顶 SKIPIF 1 < 0 测得路灯 SKIPIF 1 < 0 项端 SKIPIF 1 < 0 处的俯角是 SKIPIF 1 < 0 ．试求大楼 SKIPIF 1 < 0 的高度．
（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】96米
【分析】延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解．
【详解】延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意得， SKIPIF 1 < 0 ，∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
答：大楼 SKIPIF 1 < 0 的高度约为96米.
三角函数
30°
45°
60°
sin a
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
cs a
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
tan a
SKIPIF 1 < 0
1
SKIPIF 1 < 0