中考数学一轮复习考点（精讲精练）复习专题38 几何最值之阿氏圆问题（2份打包，原卷版+教师版）

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问题分析：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA:PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。

模型展示：如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．
（1）角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，则 SKIPIF 1 < 0 ．
证明： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
（2）外角平分线定理：如图，在△ABC中，外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D，则 SKIPIF 1 < 0 ．
证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
接下来开始证明步骤：
如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理， SKIPIF 1 < 0 ，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理， SKIPIF 1 < 0 ，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．
模型最值技巧：
计算 SKIPIF 1 < 0 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形
问题：在圆上找一点P使得 SKIPIF 1 < 0 的值最小，解决步骤具体如下：
① 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB
② 计算出这两条线段的长度比 SKIPIF 1 < 0
③ 在OB上取一点C，使得 SKIPIF 1 < 0 ，即构造△POM∽△BOP，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
④ 则 SKIPIF 1 < 0 ，当A、P、C三点共线时可得最小值
题型精讲
【例1】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为_______．
【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造 SKIPIF 1 < 0 ，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM= SKIPIF 1 < 0 ，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．
连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．
【详解】解：（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1．
∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∵∠PBG=∠PBC，∴△PBG∽△CBP，
∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时， SKIPIF 1 < 0 的值最小，最小值为DG= SKIPIF 1 < 0 =5．
∵ SKIPIF 1 < 0 =PD-PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时， SKIPIF 1 < 0 的值最大（如图2中），最大值为DG=5．
【例2】如图，菱形 SKIPIF 1 < 0 的边长为2，锐角大小为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切于点E，在 SKIPIF 1 < 0 上任取一点P，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】解：在AD上截取AH=1.5，连接PH、AE，过点B作BF⊥DA延长线，垂足为F，
∵AB=2，∠ABC=60°，∴BE=AF=1，AE=BF= SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠PAD =∠PAH，∴△ADP∽△APH，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴PH= SKIPIF 1 < 0 ，
当B、P、H共线时， SKIPIF 1 < 0 的最小，最小值为BH长，
BH= SKIPIF 1 < 0 ；故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【例3】如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，∠C=90°，CA=3，CB=4． SKIPIF 1 < 0 的半径为2，点P是 SKIPIF 1 < 0 上一动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值______________ SKIPIF 1 < 0 的最小值_______
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【详解】①在BC上取点D，使CD= SKIPIF 1 < 0 BC=1，连接AD，PD，PC，
由题意知：PC=2，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∠PCD=∠BCP，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
②在AC上取点E，使CE= SKIPIF 1 < 0 ，连接PE，BE，PC，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，且∠PCE=∠ACP，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
提分作业
1．如图，矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，以B为圆心，以 SKIPIF 1 < 0 为半径画圆交边 SKIPIF 1 < 0 于点E，点P是弧 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，连结 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】解：如图，连接BP，取BE的中点G，连接PG，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵G是BE的中点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，当P、D、G三点共线时，取最小值，即DG长，
SKIPIF 1 < 0 ．故选：C．
2．如图，已知菱形 SKIPIF 1 < 0 的边长为4， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的半径为2，P为 SKIPIF 1 < 0 上一动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值_______． SKIPIF 1 < 0 的最小值_______
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【详解】①如图，在BC上取一点G，使得BG=1，连接PB、PG、GD，作DF⊥BC交BC延长线于F．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴当D、P、G共线时，PD+ SKIPIF 1 < 0 PC的值最小，最小值为DG，
在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD•sin60°=2 SKIPIF 1 < 0 ，CF=2，
在Rt△GDF中，DG SKIPIF 1 < 0 ，故答案为： SKIPIF 1 < 0 ；
②如图，连接BD，在BD上取一点M，使得BM= SKIPIF 1 < 0 ，连接PB、PM、MC，过M作MN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是菱形，且 SKIPIF 1 < 0 ， ∴AC⊥BD，∠AOB=90 SKIPIF 1 < 0 ，∠ABO=∠CBO= SKIPIF 1 < 0 ∠ABC=30 SKIPIF 1 < 0 ，
∴AO= SKIPIF 1 < 0 AB=2，BO= SKIPIF 1 < 0 ，∴BD=2 BO= SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且∠MBP=∠PBD，∴△MBP SKIPIF 1 < 0 △PBD，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴当M、P、C共线时， SKIPIF 1 < 0 的值最小，最小值为CM，
在Rt△BMN中，∠CBO =30 SKIPIF 1 < 0 ，BM= SKIPIF 1 < 0 ，∴MN= SKIPIF 1 < 0 BM= SKIPIF 1 < 0 ，BN= SKIPIF 1 < 0 ，∴CN=4- SKIPIF 1 < 0 ，
∴MC= SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
3．如图，在中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D．连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 ．
【分析】首先对问题作变式2AD+3BD= SKIPIF 1 < 0 ，故求 SKIPIF 1 < 0 最小值即可．
考虑到D点轨迹是圆，A是定点，且要求构造 SKIPIF 1 < 0 ，条件已经足够明显．
当D点运动到AC边时，DA=3，此时在线段CD上取点M使得DM=2，则在点D运动过程中，始终存在 SKIPIF 1 < 0 ．
问题转化为DM+DB的最小值，直接连接BM，BM长度的3倍即为本题答案．
【详解】如图，在AC上取一点M，使CM=4
∵ SKIPIF 1 < 0 ∴∠MCD=∠ACD∴△DCM∽△ACD∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
在△MDE中，MD+DB SKIPIF 1 < 0 MD∴MD+DB最小值为MB。
∴ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ∴2AD+3BD= SKIPIF 1 < 0
4．如图，抛物线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点（点 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 的左侧），与 SKIPIF 1 < 0 轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的平分线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 轴下方抛物线上的一个动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 轴，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（3）当直线 SKIPIF 1 < 0 为抛物线的对称轴时，以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径作 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的一个动点，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】（1）y SKIPIF 1 < 0 x2 SKIPIF 1 < 0 x﹣3；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）由题意A（ SKIPIF 1 < 0 ，0），B（﹣3 SKIPIF 1 < 0 ，0），C（0，﹣3），设抛物线的解析式为y＝a（x+3 SKIPIF 1 < 0 ）（x SKIPIF 1 < 0 ），把C（0，﹣3）代入得到a SKIPIF 1 < 0 ，∴抛物线的解析式为y SKIPIF 1 < 0 x2 SKIPIF 1 < 0 x﹣3．
（2）在Rt△AOC中，tan∠OAC SKIPIF 1 < 0 ，∴∠OAC＝60°．
∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA•tan30°＝1，∴D（0，﹣1），∴直线AD的解析式为y SKIPIF 1 < 0 x﹣1，由题意P（m， SKIPIF 1 < 0 m2 SKIPIF 1 < 0 m﹣3），H（m， SKIPIF 1 < 0 m﹣1），F（m，0）．
∵FH＝PH，∴1 SKIPIF 1 < 0 m﹣1﹣（ SKIPIF 1 < 0 m2 SKIPIF 1 < 0 m﹣3）
解得m SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍弃），∴当FH＝HP时，m的值为 SKIPIF 1 < 0 ．
（3）如图，∵PF是对称轴，∴F（ SKIPIF 1 < 0 ，0），H（ SKIPIF 1 < 0 ，﹣2）．
∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EO SKIPIF 1 < 0 OA＝3，∴E（0，3）．
∵C（0，﹣3），∴HC SKIPIF 1 < 0 2，AH＝2FH＝4，∴QH SKIPIF 1 < 0 CH＝1，在HA上取一点K，
使得HK SKIPIF 1 < 0 ，此时K（ SKIPIF 1 < 0 ）．∵HQ2＝1，HK•HA＝1，∴HQ2＝HK•HA，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴KQ SKIPIF 1 < 0 AQ，∴ SKIPIF 1 < 0 AQ+QE＝KQ+EQ，∴当E、Q、K共线时， SKIPIF 1 < 0 AQ+QE的值最小，最小值 SKIPIF 1 < 0 ．
5．如图1，抛物线y＝ax2﹣6ax+6（a≠0）与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜8），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）分别求出直线AB和抛物线的函数表达式．
（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，若S1：S2＝36：25，求m的值．
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B．①在x轴上找一点Q，使△OQE′∽△OE′A，并求出Q点的坐标．
②求BE′+AE′的最小值．
【解答】解：（1）把点A（8，0）代入抛物线y＝ax2﹣6ax+6，得64a﹣48a+6＝0，
∴16a＝﹣6，a＝﹣，
∴y＝﹣x2+x+6与y轴交点，令x＝0，得y＝6，∴B（0，6）．
设AB为y＝kx+b过A（8，0），B（0，6），
∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6．
（2）∵E（m，0），∴N（m，﹣m+6），P（m，﹣m2+m+6）．
∵PE∥OB，∴△ANE∽△ABO，∴＝，∴＝，解得：AN＝．
∵PM⊥AB，∴∠PMN＝∠NEA＝90°．
又∵∠PNM＝∠ANE，∴△NMP∽△NEA．∵＝，∴，
∴PM＝AN＝×＝12﹣m．
又∵PM＝﹣m2+m+6﹣6+m＝﹣m2+3m，
∴12﹣m＝﹣m2+3m，整理得：m2﹣12m+32＝0，解得：m＝4或m＝8．
∵0＜m＜8，∴m＝4．
（3）①在（2）的条件下，m＝4，∴E（4，0），设Q（d，0）．由旋转的性质可知OE′＝OE＝4，
若△OQE′∽△OE′A．∴＝．∵0°＜α＜90°，∴d＞0，∴＝，解得：d＝2，∴Q（2，0）．
②由①可知，当Q为（2，0）时，
△OQE′∽△OE′A，且相似比为＝＝＝，∴AE′＝QE′，∴BE′+AE′＝BE′+QE′，
∴当E′旋转到BQ所在直线上时，BE′+QE′最小，即为BQ长度，
∵B（0，6），Q（2，0），∴BQ＝＝2，∴BE′+AE′的最小值为2．
6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点P．连接AC．
（1）求点P的坐标及直线AC的解析式；
（2）如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OF，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接FA、FC．求AF+CF的最小值；
【解答】解：（1）在抛物线y＝x2+x+3中，
当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），
当y＝3时，x1＝0，x2＝2，∴P（2，3），
当y＝0时，x1＝﹣4，x2＝6，B（﹣4，0），A（6，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+3，将A（6，0）代入，得，k＝﹣，∴yAC＝﹣x+3，
∴点P坐标为P（2，3），直线AC的解析式为yAC＝﹣x+3；
（2）在OC上取点H（0，），连接HF，AH，
则OH＝，AH＝＝＝，∵＝＝，＝，
且∠HOF＝∠FOC，∴△HOF∽△FOC，∴＝，∴HF＝CF，
∴AF+CF＝AF+HF≥AH＝，∴AF+CF的最小值为；
7．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
【解答】解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5∴C（0，5）
y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1∴A（1，0）
∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点
∴ 解得：∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5
当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x1＝1，x2＝5∴B（5，0）
（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H
∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×5＝10
∵点M为x轴下方抛物线上的点∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）
∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5
∴S△ABM＝AB•MH＝×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8
∴S四边形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18
∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18
（可以直接利用点M是抛物线的顶点时，面积最大求解）
（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD∴BD＝5﹣4＝1
∵AB＝4，BP＝2∴∵∠PBD＝∠ABP∴△PBD∽△ABP∴＝＝，
∴PD＝AP∴PC+PA＝PC+PD∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+PA＝PC+PD＝CD最小
∵CD＝∴PC+PA的最小值为