高中人教A版 (2019)6.1 平面向量的概念导学案

这是一份高中人教A版 (2019)6.1 平面向量的概念导学案，共10页。

高尔夫球是一项非常有趣的运动，这项运动需要全身器官的整体协调，而击球的关键在于两个“D”，即方向(Directin)和距离(Distance)，初学者中有不少人只想把球打远，而忽视方向的重要性，其实，把球打直要比打远更重要！所以擅长打高尔夫的人都会谨记这样一个原则：“方向比距离更重要”． 方向走对了，哪怕走得慢却能一步一步靠近成功；可倘若走错了方向，不仅白忙活一场，更可能离成功越来越远．
问题：你能从数学的角度来解释高尔夫球运动中“方向比距离更重要”的原因吗？
知识点1 向量与数量
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量．
1．海平面以上的高度(海拔)用正数表示，海平面以下的高度用负数表示，那么海拔是向量吗？温度也有正负之分，那么它是向量吗？为什么？
[提示] 海拔不是向量，它只有大小没有方向．温度也是只有大小没有方向，不是向量．海拔的正负、温度的零上或零下都只是相对规定的标准来说的，不是指方向．
1．给出下列物理量：
①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．其中是向量的有________．(填序号)
②③④⑤ [质量、路程、密度、功、时间只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量．速度、位移、力、加速度既有大小，又有方向，所以是向量．]
知识点2 向量的几何表示
(1)具有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．
(2)向量可以用有向线段eq \(AB,\s\up7(→))来表示．向量eq \(AB,\s\up7(→))的大小称为向量eq \(AB,\s\up7(→))的长度(或称模)，记作|eq \(AB,\s\up7(→))|．向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))．
2．(1)向量可以比较大小吗？
(2)有向线段就是向量吗？
[提示] (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
(2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量．
2．如图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出________个向量．
12 [由向量的几何表示，知可以写出12个向量，它们分别是eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))，eq \(AD,\s\up7(→))，eq \(BC,\s\up7(→))，eq \(BD,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))，eq \(BA,\s\up7(→))，eq \(CA,\s\up7(→))，eq \(DA,\s\up7(→))，eq \(CB,\s\up7(→))，eq \(DB,\s\up7(→))，eq \(DC,\s\up7(→))．]
知识点3 向量的有关概念
3．“向量平行”与“几何中的直线平行”一样吗？
[提示] 向量平行与几何中的直线平行不同，向量平行包括所在直线重合的情况，故也称向量共线．
3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)长度为0的向量都是零向量．( )
(2)零向量的方向都是相同的．( )
(3)单位向量的长度都相等．( )
(4)单位向量都是同方向． ( )
(5)任意向量与零向量都共线．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是________．(填序号)
(1)eq \(AD,\s\up7(→))与eq \(BC,\s\up7(→))；(2)eq \(OB,\s\up7(→))与eq \(OD,\s\up7(→))；
(3)eq \(AC,\s\up7(→))与eq \(BD,\s\up7(→))；(4)eq \(AO,\s\up7(→))与eq \(OC,\s\up7(→))．
(1)(4) [由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：
eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))，eq \(OB,\s\up7(→))≠eq \(OD,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))≠eq \(BD,\s\up7(→))，eq \(AO,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))．]
类型1 向量的有关概念
【例1】 判断下列命题是否正确，请说明理由：
(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；
(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；
(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；
(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．
[解] (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．
(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．
(3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b．
(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．
(5)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．
1．理解零向量和单位向量应注意的问题
(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．
(2)单位向量不一定相等，不要忽略其方向．
2．共线向量与平行向量
(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．
(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．
(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．
提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度．
eq \([跟进训练])
1．给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若单位向量的起点相同，则终点相同；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(CD,\s\up7(→))是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．
其中正确命题的序号是________．
③ [①错误．若b＝0，则①不成立；
②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；
③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；
④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))必须在同一直线上．]
类型2 向量的表示及应用
【例2】 (对接教材P5－T1)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)eq \(OA,\s\up7(→))，使|eq \(OA,\s\up7(→))|＝4eq \r(2)，点A在点O北偏东45°；
(2)eq \(AB,\s\up7(→))，使|eq \(AB,\s\up7(→))|＝4，点B在点A正东；
(3)eq \(BC,\s\up7(→))，使|eq \(BC,\s\up7(→))|＝6，点C在点B北偏东30°．
[解] (1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|eq \(OA,\s\up7(→))|＝4eq \r(2)，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量eq \(OA,\s\up7(→))如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向处，且|eq \(AB,\s\up7(→))|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量eq \(AB,\s\up7(→))如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°处，且|eq \(BC,\s\up7(→))|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3eq \r(3)≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量eq \(BC,\s\up7(→))如图所示．
用有向线段表示向量的基本思路是什么？
[提示] 用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定有向线段的终点．必要时，需依据三角形的相关知识求出向量的方向或长度，选择合适的比例关系作出向量．
eq \([跟进训练])
2．飞机从A地按北偏西15°的方向飞行1 400 km到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行1 400 km到达C地，那么C地在A地的什么方向上？C地距A地多远？
[解] 如图所示，eq \(AB,\s\up7(→))表示飞机从A地按北偏西15°方向飞行到B地的位移，则|eq \(AB,\s\up7(→))|＝1 400 km．
eq \(BC,\s\up7(→))表示飞机从B地按南偏东75°方向飞行到C地的位移，则|eq \(BC,\s\up7(→))|＝1 400 km．
所以eq \(AC,\s\up7(→))为飞机从A地到C地的位移．
在△ABC中，AB＝BC＝1 400 km，且∠ABC＝75°－15°＝60°，
故△ABC为等边三角形，所以∠BAC＝60°，AC＝1 400 km．60°－15°＝45°，
所以C地在A地北偏东45°方向上，距离A地1 400 km．
类型3 相等向量和共线向量
【例3】 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b，eq \(OC,\s\up7(→))＝c．
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．
1．两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？
[提示] 不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．
2．若eq \(AB,\s\up7(→))∥eq \(CD,\s\up7(→))，则从直线AB与直线CD的关系和eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(CD,\s\up7(→))的方向关系两个方面考虑有哪些情况？
[提示] 分四种情况
(1)直线AB和直线CD重合，eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(CD,\s\up7(→))同向；
(2)直线AB和直线CD重合，eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(CD,\s\up7(→))反向；
(3)直线AB∥直线CD，eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(CD,\s\up7(→))同向；
(4)直线AB∥直线CD，eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(CD,\s\up7(→))反向．
[解] (1)与a的长度相等、方向相反的向量有eq \(OD,\s\up7(→))，eq \(BC,\s\up7(→))，eq \(AO,\s\up7(→))，eq \(FE,\s\up7(→))．
(2)与a共线的向量有eq \(EF,\s\up7(→))，eq \(BC,\s\up7(→))，eq \(OD,\s\up7(→))，eq \(FE,\s\up7(→))，eq \(CB,\s\up7(→))，eq \(DO,\s\up7(→))，eq \(AO,\s\up7(→))，eq \(DA,\s\up7(→))，eq \(AD,\s\up7(→))．
(3)与a相等的向量有eq \(EF,\s\up7(→))，eq \(DO,\s\up7(→))，eq \(CB,\s\up7(→))；与b相等的向量有eq \(DC,\s\up7(→))，eq \(EO,\s\up7(→))，eq \(FA,\s\up7(→))；与c相等的向量有eq \(FO,\s\up7(→))，eq \(ED,\s\up7(→))，eq \(AB,\s\up7(→))．
1．本例条件不变，写出与向量eq \(BC,\s\up7(→))相等的向量．
[解] 相等向量是指长度相等、方向相同的向量，所以题图中与eq \(BC,\s\up7(→))相等的向量有eq \(AO,\s\up7(→))，eq \(OD,\s\up7(→))，eq \(FE,\s\up7(→))．
2．本例条件不变，写出与向量eq \(BC,\s\up7(→))长度相等的共线向量．
[解] 与eq \(BC,\s\up7(→))长度相等的共线向量有：eq \(CB,\s\up7(→))，eq \(OD,\s\up7(→))，eq \(DO,\s\up7(→))，eq \(AO,\s\up7(→))，eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(FE,\s\up7(→))，eq \(EF,\s\up7(→))．
3．在本例中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？
[解] 由正六边形中，每边与中心连接成的三角形均为正三角形，所以△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1．
相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些同向共线．
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．
eq \([跟进训练])
3．如图所示，△ABC的三边长均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．
(1)写出与eq \(EF,\s\up7(→))共线的向量；
(2)写出与eq \(EF,\s\up7(→))长度相等的向量；
(3)写出与eq \(EF,\s\up7(→))相等的向量．
[解] (1)∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，
∴与eq \(EF,\s\up7(→))共线的向量为eq \(FE,\s\up7(→))，eq \(BD,\s\up7(→))，eq \(DB,\s\up7(→))，eq \(DC,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))，eq \(BC,\s\up7(→))，eq \(CB,\s\up7(→))．
(2)∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，
∴EF＝eq \f(1,2)BC，BD＝DC＝eq \f(1,2)BC，∴EF＝BD＝DC．
∵AB，BC，AC均不相等，
∴与eq \(EF,\s\up7(→))长度相等的向量为eq \(FE,\s\up7(→))，eq \(BD,\s\up7(→))，eq \(DB,\s\up7(→))，eq \(DC,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))．
(3)与eq \(EF,\s\up7(→))相等的向量为eq \(DB,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))．
1．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量( )
A．都相等 B．都共线
C．都不共线 D．模都相等
D [因为多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对应向量的模都相等．]
2．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是( )
A．汽车的速度大于摩托车的速度
B．汽车的位移大于摩托车的位移
C．汽车走的路程大于摩托车走的路程
D．以上都不对
C [速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小．]
3．(多选题)下列条件，能使a∥b成立的有( )
A．a＝b B．|a|＝|b|
C．a与b方向相反 D．|a|＝0或|b|＝0
ACD [若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量都平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b．]
4．如图，在圆O中，向量eq \(OB,\s\up7(→))，eq \(OC,\s\up7(→))，eq \(AO,\s\up7(→))是( )
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
C [由题图可知，三向量方向不同，但长度相等，即这三个向量的模相等．]
5．如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠DAB＝60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为始点与终点的向量中，
(1)与eq \(DA,\s\up7(→))平行的向量有________；
(2)与eq \(DA,\s\up7(→))模相等的向量有________．
[答案] (1)eq \(AD,\s\up7(→))，eq \(BC,\s\up7(→))，eq \(CB,\s\up7(→)) (2)eq \(AD,\s\up7(→))，eq \(BC,\s\up7(→))，eq \(CB,\s\up7(→))，eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(BA,\s\up7(→))，eq \(DC,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))，eq \(BD,\s\up7(→))，eq \(DB,\s\up7(→))
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)向量的概念是什么？如何用有向线段表示一个向量？
(2)如何区别零向量、单位向量、平行向量与相等向量的概念？
学 习 任 务
核 心 素 养
1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)
2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点)
3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)
1．从物理背景、几何背景入手，从矢量概念引入向量的概念，提升数学抽象的核心素养．
2．类比实数在数轴上的表示，给出向量的几何意义，培养数学抽象和直观想象的核心素养．
3．通过相等向量和平行向量的学习，提升逻辑推理的核心素养．
零向量
长度为0的向量，记做0
单位向量
长度等于1个单位长度的向量
平行向量(共线向量)
方向相同或相反的非零向量．
向量a，b平行，记作a∥b．
规定：零向量与任意向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量．
a与向量b相等，记作a＝b