第6章平面向量及其应用6.2.3向量的数乘运算学案含解析

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6.2.3　向量的数乘运算一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？你能用图形表示吗？问题：类比实数的运算“a＋a＋a＝3a”你能猜想实例中a＋a＋a的结果吗？知识点1　向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μ a)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb．(3)线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．1．(多选题)已知a，b为两个非零向量，下列说法中正确的是(　　)A．2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍B．－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的eq \f(2,5)C．－2a与2a是一对相反向量D．a－b与－(b－a)是一对相反向量ABC　[先从实数的正负判断两向量方向的关系，再找两向量模的关系，从而得出结论．A正确，∵2＞0，∴2a与a的方向相同，且|2a|＝2|a|．B正确，∵5＞0，∴5a与a的方向相同，且|5a|＝5|a|，又－2＜0，∴－2a与a的方向相反，且|－2a|＝2|a|，∴5a与－2a的方向相反，且－2a的模是5a的模的eq \f(2,5)．C正确，按照相反向量的定义可以判断．D不正确，∵－(b－a)与b－a是一对相反向量，而a－b与b－a是一对相反向量，∴a－b与－(b－a)为相等向量．]2．若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是(　　)A．b＝2a　　　　　　　　 B．b＝－2aC．a＝2b D．a＝－2bA　[因为a，b方向相同，故b＝2a．]3．化简：2(3a＋4b)－8a＝________．－2a＋8b　[原式＝6a＋8b－8a＝－2a＋8b．]知识点2　向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．定理中把“a≠0”去掉可以吗？[提示]　定理中a≠0不能去掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa．4．判断下列各小题中的向量a，b是否共线(其中e1，e2是两个不共线向量)．(1)a＝5e1，b＝－10e1；(2)a＝eq \f(1,2)e1－eq \f(1,3)e2，b＝3e1－2e2；(3)a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2．[解]　(1)∵b＝－2a，∴a与b共线．(2)∵a＝eq \f(1,6)b，∴a与b共线．(3)设a＝λb，则e1＋e2＝λ(3e1－3e2)，∴(1－3λ)e1＝－(1＋3λ)e2．∵e1与e2是两个不共线向量，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－3λ＝0，,1＋3λ＝0.))这样的λ不存在，因此a与b不共线． 类型1　向量的线性运算【例1】　(对接教材P14例5)化简下列各式：①3(6a＋b)－9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))；②eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a．[解]　①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a．②原式＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq \f(3,4)b＝a＋eq \f(3,4)b－a－eq \f(3,4)b＝0．③原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c．向量数乘运算的方法(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解——把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解．在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．eq \o([跟进训练])1．(1)化简eq \f(2,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4a－3b＋\f(1,3)b－\f(1,4)6a－7b))；(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y．[解]　(1)原式＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a－3b＋\f(1,3)b－\f(3,2)a＋\f(7,4)b))＝eq \f(2,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(3,2)))a＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3＋\f(1,3)＋\f(7,4)))b))＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)a－\f(11,12)b))＝eq \f(5,3)a－eq \f(11,18)b．(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3x－2y＝a　①，,－4x＋3y＝b　②，))由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b，代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，所以y＝4a＋3b．所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b． 类型2　向量共线定理【例2】　(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若eq \o(AB,\s\up7(→))＝2e1－8e2，eq \o(CB,\s\up7(→))＝e1＋3e2，eq \o(CD,\s\up7(→))＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线；(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若eq \o(OP,\s\up7(→))＝xeq \o(OA,\s\up7(→))＋yeq \o(OB,\s\up7(→))，求x＋y的值．1．如何证明向量a与b共线？[提示]　要证明向量a与b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λa(a≠0)即可，一般地，把a和b用相同的两个向量m，n表示出来，观察a与b具有倍数关系即可．2．如何证明A，B，C三点在同一直线上？[提示]　要证三点A，B，C共线，只需证明eq \o(AB,\s\up7(→))与eq \o(BC,\s\up7(→))或eq \o(AB,\s\up7(→))与eq \o(AC,\s\up7(→))共线即可．[解]　(1)证明：∵eq \o(CB,\s\up7(→))＝e1＋3e2，eq \o(CD,\s\up7(→))＝2e1－e2，∴eq \o(BD,\s\up7(→))＝eq \o(CD,\s\up7(→))－eq \o(CB,\s\up7(→))＝e1－4e2．又eq \o(AB,\s\up7(→))＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，∴eq \o(AB,\s\up7(→))＝2eq \o(BD,\s\up7(→))，∴eq \o(AB,\s\up7(→))∥eq \o(BD,\s\up7(→))．∵AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)由于A，B，P三点共线，所以向量eq \o(AB,\s\up7(→))，eq \o(AP,\s\up7(→))在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ，使eq \o(AP,\s\up7(→))＝λeq \o(AB,\s\up7(→))，即eq \o(OP,\s\up7(→))－eq \o(OA,\s\up7(→))＝λ(eq \o(OB,\s\up7(→))－eq \o(OA,\s\up7(→)))，所以eq \o(OP,\s\up7(→))＝(1－λ)eq \o(OA,\s\up7(→))＋λeq \o(OB,\s\up7(→))，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1．1．本例(1)中把条件改为“eq \o(AB,\s\up7(→))＝e1＋2e2，eq \o(BC,\s\up7(→))＝－5e1＋6e2，eq \o(CD,\s\up7(→))＝7e1－2e2”，则A，B，C，D中哪三点共线？[解]　∵eq \o(AB,\s\up7(→))＝e1＋2e2，eq \o(BD,\s\up7(→))＝eq \o(BC,\s\up7(→))＋eq \o(CD,\s\up7(→))＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2eq \o(AB,\s\up7(→))．∴eq \o(AB,\s\up7(→))，eq \o(BD,\s\up7(→))共线，且有公共点B，∴A，B，D三点共线．2．本例(1)中条件“eq \o(AB,\s\up7(→))＝2e1－8e2”改为“eq \o(AB,\s\up7(→))＝2e1＋ke2”且A，B，D三点共线，如何求k的值？[解]　因为A，B，D三点共线，则eq \o(AB,\s\up7(→))与eq \o(BD,\s\up7(→))共线．设eq \o(AB,\s\up7(→))＝λeq \o(BD,\s\up7(→))(λ∈R)，∵eq \o(BD,\s\up7(→))＝eq \o(CD,\s\up7(→))－eq \o(CB,\s\up7(→))＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∴2e1＋ke2＝λe1－4λe2．由e1与e2不共线可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2e1＝λe1，,ke2＝－4λe2，))∴λ＝2，k＝－8．3．试利用本例(2)中的结论判断下列三点P，A，B，是否共线．①eq \o(OP,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \o(OB,\s\up7(→))；②eq \o(OP,\s\up7(→))＝－2eq \o(OA,\s\up7(→))＋3eq \o(OB,\s\up7(→))；③eq \o(OP,\s\up7(→))＝eq \f(4,5)eq \o(OA,\s\up7(→))－eq \f(1,5)eq \o(OB,\s\up7(→))．[解]　①中∵eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)＝1，∴P，A，B三点共线；②中∵－2＋3＝1，∴P，A，B三点共线；③中∵eq \f(4,5)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))＝eq \f(3,5)≠1，∴P，A，B三点不共线．1．证明或判断三点共线的方法(1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得eq \o(AB,\s\up7(→))＝λeq \o(AC,\s\up7(→))(或eq \o(BC,\s\up7(→))＝λeq \o(AB,\s\up7(→))等)即可．(2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使eq \o(OA,\s\up7(→))＝xeq \o(OB,\s\up7(→))＋yeq \o(OC,\s\up7(→))且x＋y＝1．2．利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，解方程从而求得λ的值．eq \o([跟进训练])2．已知e，f为两个不共线的向量，且四边形ABCD满足eq \o(AB,\s\up7(→))＝e＋2f，eq \o(BC,\s\up7(→))＝－4e－f，eq \o(CD,\s\up7(→))＝－5e－3f．(1)将eq \o(AD,\s\up7(→))用e，f表示；(2)证明：四边形ABCD为梯形．[解]　(1)eq \o(AD,\s\up7(→))＝eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(BC,\s\up7(→))＋eq \o(CD,\s\up7(→))＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f．(2)证明：因为eq \o(AD,\s\up7(→))＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2eq \o(BC,\s\up7(→))，所以eq \o(AD,\s\up7(→))与eq \o(BC,\s\up7(→))同向，且eq \o(AD,\s\up7(→))的模为eq \o(BC,\s\up7(→))的模的2倍，所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形． 类型3　用已知向量表示未知向量【例3】　(1)如图，▱ABCD中，E是BC的中点，若eq \o(AB,\s\up7(→))＝a，eq \o(AD,\s\up7(→))＝b，则eq \o(DE,\s\up7(→))＝(　　)A．eq \f(1,2)a－b　　　　　 B．eq \f(1,2)a＋bC．a＋eq \f(1,2)b D．a－eq \f(1,2)b(2)如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知eq \o(BC,\s\up7(→))＝a，eq \o(BD,\s\up7(→))＝b，试用a，b分别表示eq \o(DE,\s\up7(→))，eq \o(CE,\s\up7(→))，eq \o(MN,\s\up7(→))．(1)D　[eq \o(DE,\s\up7(→))＝eq \o(DC,\s\up7(→))＋eq \o(CE,\s\up7(→))＝eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AD,\s\up7(→))))＝eq \o(AB,\s\up7(→))－eq \f(1,2)eq \o(AD,\s\up7(→))＝a－eq \f(1,2)b．](2)[解]　由三角形中位线定理，知DEeq \f(1,2)BC，故eq \o(DE,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \o(BC,\s\up7(→))，即eq \o(DE,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)a．eq \o(CE,\s\up7(→))＝eq \o(CB,\s\up7(→))＋eq \o(BD,\s\up7(→))＋eq \o(DE,\s\up7(→))＝－a＋b＋eq \f(1,2)a＝－eq \f(1,2)a＋b．eq \o(MN,\s\up7(→))＝eq \o(MD,\s\up7(→))＋eq \o(DB,\s\up7(→))＋eq \o(BN,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \o(ED,\s\up7(→))＋eq \o(DB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \o(BC,\s\up7(→))＝－eq \f(1,4)a－b＋eq \f(1,2)a＝eq \f(1,4)a－b．1．本例(1)中，设AC与BD相交于点O，F是线段OD的中点，AF的延长线交DC于点G，试用a，b表示eq \o(AG,\s\up7(→))．[解]　因为DG∥AB，所以△DFG∽△BFA，又因为DF＝eq \f(1,2)OD＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)BD＝eq \f(1,4)BD，所以eq \f(DG,AB)＝eq \f(DF,BF)＝eq \f(1,3)，所以eq \o(AG,\s\up7(→))＝eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \o(DG,\s\up7(→))＝eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \o(AB,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)a＋b．2．本例(1)中，将“若eq \o(AB,\s\up7(→))＝a，eq \o(AD,\s\up7(→))＝b，则eq \o(DE,\s\up7(→))＝”改为“若点F为边AB的中点，设a＝eq \o(DE,\s\up7(→))，b＝eq \o(DF,\s\up7(→))，用a，b表示eq \o(DB,\s\up7(→))”．[解]　由题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\o(AB,\s\up7(→))－\f(1,2)\o(AD,\s\up7(→))，,b＝\f(1,2)\o(AB,\s\up7(→))－\o(AD,\s\up7(→))，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up7(→))＝\f(4,3)a－\f(2,3)b，,\o(AD,\s\up7(→))＝\f(2,3)a－\f(4,3)b，))所以eq \o(DB,\s\up7(→))＝eq \o(AB,\s\up7(→))－eq \o(AD,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b．用已知向量表示其他向量的方法有哪些？如何求解此类问题？[提示]　用已知向量表示其他向量有直接法和方程法(1)直接法．(2)方程法．当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．提醒：用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系．eq \o([跟进训练])3．如图所示，在四边形ABCD中，M，N分别是DC，AB的中点，已知eq \o(AB,\s\up7(→))＝a，eq \o(AD,\s\up7(→))＝b，eq \o(DC,\s\up7(→))＝c，试用a，b，c表示eq \o(BC,\s\up7(→))，eq \o(MN,\s\up7(→))．[解]　eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \o(BA,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \o(DC,\s\up7(→))＝－eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \o(DC,\s\up7(→))＝－a＋b＋c．eq \o(MN,\s\up7(→))＝eq \o(MD,\s\up7(→))＋eq \o(DA,\s\up7(→))＋eq \o(AN,\s\up7(→))＝－eq \f(1,2)eq \o(DC,\s\up7(→))－eq \o(AD,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up7(→))＝－eq \f(1,2)c－b＋eq \f(1,2)a＝eq \f(1,2)a－b－eq \f(1,2)c．1．eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)2a＋8b－4a－2b))等于(　　)A．2a－b　　　　　　　　 B．2b－aC．b－a D．a－bB　[原式＝eq \f(1,6)(2a＋8b)－eq \f(1,3)(4a－2b)＝eq \f(1,3)a＋eq \f(4,3)b－eq \f(4,3)a＋eq \f(2,3)b＝－a＋2b．]2．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是(　　)A．eq \o(AB,\s\up7(→))＝3eq \o(BC,\s\up7(→))　　　　　　 B．eq \o(AC,\s\up7(→))＝2eq \o(BC,\s\up7(→))C．eq \o(AC,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \o(BC,\s\up7(→)) D．eq \o(AC,\s\up7(→))＝2eq \o(CB,\s\up7(→))D　[由题意可知：eq \o(AB,\s\up7(→))＝－3eq \o(BC,\s\up7(→))；eq \o(AC,\s\up7(→))＝－2eq \o(BC,\s\up7(→))＝2eq \o(CB,\s\up7(→))．故只有D正确．]3．(多选题)下列非零向量a，b中，一定共线的是(　　)A．a＝2e，b＝－2eB．a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2C．a＝4e1－eq \f(2,5)e2，b＝e1－eq \f(1,10)e2D．a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2ABC　[对于A，b＝－a，有a∥b；对于B，b＝－2a，有a∥b；对于C，a＝4b，有a∥b；对于D，a与b不共线．]4．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________．－4　[因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2＝λk，,k＝8λ))⇒k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0⇒k＜0)．]5．如图所示，已知eq \o(AP,\s\up7(→))＝eq \f(4,3)eq \o(AB,\s\up7(→))，用eq \o(OA,\s\up7(→))，eq \o(OB,\s\up7(→))表示eq \o(OP,\s\up7(→))，则eq \o(OP,\s\up7(→))＝________．－eq \f(1,3)eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \f(4,3)eq \o(OB,\s\up7(→))　[eq \o(OP,\s\up7(→))＝eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(AP,\s\up7(→))＝eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \f(4,3)eq \o(AB,\s\up7(→))＝eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \f(4,3)(eq \o(OB,\s\up7(→))－eq \o(OA,\s\up7(→)))＝－eq \f(1,3)eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \f(4,3)eq \o(OB,\s\up7(→))．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)向量数乘的定义是什么？其几何意义又是什么？(2)向量数乘的运算律有哪些？(3)共线向量定理的内容是什么？如何利用共线向量定理解决三点共线问题？学 习 任 务核 心 素 养1．了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义．(重点)2．理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．(重点)3．理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题．(难点)4．理解实数相乘与向量数乘的区别．(易混点)1．通过向量的加法得到向量数乘运算的直观感知，再过渡到数乘运算及数乘运算律，养成数学抽象和数学运算的核心素养．2．通过判断向量共线的学习，培养逻辑推理和数据分析的核心素养．