第6章平面向量及其应用6.2.4向量的数量积学案含解析

这是一份第6章平面向量及其应用6.2.4向量的数量积学案含解析，共10页。

6.2.4　向量的数量积大力士拉车，沿着绳子方向上的力为F，车的位移是s，力和位移的夹角为θ．问题：该大力士所做的功是多少？知识点1　向量的数量积1．两向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq \o(OA,\s\up7(→))＝a，eq \o(OB,\s\up7(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．(2)特例：①当θ＝0时，向量a，b同向．②当θ＝π时，向量a，b反向．③当θ＝eq \f(π,2)时，向量a，b垂直，记作a⊥b．2．平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|·cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ．规定：零向量与任一向量的数量积为0．3．投影向量设a，b是两个非零向量，eq \o(AB,\s\up7(→))＝a，eq \o(CD,\s\up7(→))＝b，过eq \o(AB,\s\up7(→))的起点A和终点B，分别作eq \o(CD,\s\up7(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \o(A1B1,\s\up7(→))，这种变换为向量a向向量b投影，eq \o(A1B1,\s\up7(→))叫做向量a在向量b上的投影向量．1．(1)等边△ABC中，向量eq \o(AB,\s\up7(→))，eq \o(BC,\s\up7(→))所成的角是60°吗？(2)向量夹角的范围与两直线所成的角的范围相同吗？(3)向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？[提示]　(1)不是，向量eq \o(AB,\s\up7(→))，eq \o(BC,\s\up7(→))所成的角是120°．(2)向量的夹角和两直线的夹角范围是不同的，它们分别是[0，π]和eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．(3)两个向量数量积的运算结果是一个数量，向量线性的结果是向量．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若a·b＝0，则a＝0或b＝0． (　　)(2)若λa＝0，则λ＝0或a＝0． (　　)(3)若a2＝b2，则a＝b或a＝－b． (　　)(4)若a·b＝a·c，则b＝c． (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2．已知单位向量a，b，夹角为60°，则a·b＝(　　)A．eq \f(1,2)　　　B．eq \f(\r(,3),2)　　　C．1　　　D．－eq \f(1,2)A　[a·b＝1×1×cos 60°＝eq \f(1,2)．]3．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为(　　)A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,3) D．eq \f(π,2)C　[由条件可知，cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2,1×4)＝eq \f(1,2)，又∵0≤θ≤π，∴θ＝eq \f(π,3)．]知识点2　向量数量积的性质及运算律1．向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ．(2)a⊥b⇔a·b＝0．(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a)．(4)|a·b|≤|a||b|．2．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．2．a·(b·c)＝(a·b)·c成立吗？[提示]　(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线．因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．4．(多选题)下列命题正确的是(　　)A．0·a＝0B．若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0C．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0D．若a与b是两个单位向量，则a2＝b2AD　[A正确，因为0的长度为0，结合数量积的公式可知0·a＝0．B，C错误，当非零向量a⊥b时，有a·b＝0．D正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2．]5．已知单位向量a与b的夹角为eq \f(π,3)，若x a＋b与a垂直，则实数x的值为(　　)A．eq \f(1,2)　　　　B．－eq \f(1,2)　　　　C．eq \f(\r(3),2)　　　　D．－eq \f(\r(3),2)B　[由单位向量a与b的夹角为eq \f(π,3)，可得a·b＝1×1×cos eq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，若x a＋b与a垂直，则(x a＋b)·a＝x a2＋a·b＝x＋eq \f(1,2)＝0，解得x＝－eq \f(1,2)．] 类型1　平面向量的数量积运算【例1】　(1)(对接教材P17例9)已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a＋3b)．(2)如图，在▱ABCD中，|eq \o(AB,\s\up7(→))|＝4，|eq \o(AD,\s\up7(→))|＝3，∠DAB＝60°，求：①eq \o(AD,\s\up7(→))·eq \o(BC,\s\up7(→))；②eq \o(AB,\s\up7(→))·eq \o(DA,\s\up7(→))．[解]　(1)(a＋2b)·(a＋3b)＝a·a＋5a·b＋6b·b＝|a|2＋5a·b＋6|b|2＝|a|2＋5|a||b|cos 60°＋6|b|2＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192．(2)①因为eq \o(AD,\s\up7(→))∥eq \o(BC,\s\up7(→))，且方向相同，所以eq \o(AD,\s\up7(→))与eq \o(BC,\s\up7(→))的夹角是0°，所以eq \o(AD,\s\up7(→))·eq \o(BC,\s\up7(→))＝|eq \o(AD,\s\up7(→))||eq \o(BC,\s\up7(→))|·cos 0°＝3×3×1＝9．②因为eq \o(AB,\s\up7(→))与eq \o(AD,\s\up7(→))的夹角为60°，所以eq \o(AB,\s\up7(→))与eq \o(DA,\s\up7(→))的夹角为120°，所以eq \o(AB,\s\up7(→))·eq \o(DA,\s\up7(→))＝|eq \o(AB,\s\up7(→))||eq \o(DA,\s\up7(→))|·cos 120°＝4×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－6．求平面向量数量积的步骤是什么？[提示]　(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]．(2)分别求|a|和|b|．(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省略．eq \o([跟进训练])1．(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角θ为60°，求：①a·b；②(2a－b)·(a＋3b)．(2)设正三角形ABC的边长为eq \r(,2)，eq \o(AB,\s\up7(→))＝c，eq \o(BC,\s\up7(→))＝a，eq \o(CA,\s\up7(→))＝b，求a·b＋b·c＋c·a．[解]　(1)①a·b＝|a||b|cos θ＝2×3×cos 60°＝3．②(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×22＋5×3－3×32＝－4．(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝eq \r(,2)，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，∴a·b＋b·c＋c·a＝eq \r(,2)×eq \r(,2)×cos 120°×3＝－3． 类型2　与向量模有关的问题【例2】　(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．(2)已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝eq \r(10)，求|b|．(1)2eq \r(3)　[|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋2·|a|·|2b|·cos 60°＋(2|b|)2＝22＋2×2×2×eq \f(1,2)＋22＝4＋4＋4＝12，所以|a＋2b|＝eq \r(12)＝2eq \r(3)．](2)[解]　因为|2a＋b|＝eq \r(10)，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10．又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，所以4×12＋4×1×|b|×eq \f(\r(2),2)＋|b|2＝10，整理得|b|2＋2eq \r(2)|b|－6＝0，解得|b|＝eq \r(2)或|b|＝－3eq \r(2)(舍去)．求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq \r(a2)，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．(3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．eq \o([跟进训练])2．若向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|a－2b|＝eq \r(7)，则|b|＝(　　)A．eq \f(1,2)　　　B．eq \f(\r(7),2)　　　C．1　　　D．2C　[设向量a，b的夹角为θ，因为|a－2b|2＝|a|2＋4|b|2－4|a||b|cos θ，又θ＝120°，|a|＝1，|a－2b|＝eq \r(7)，所以7＝1＋4|b|2＋2|b|，解得|b|＝－eq \f(3,2)(舍去)或|b|＝1．故选C．] 类型3　与向量垂直、夹角有关的问题【例3】　(1)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值范围为________．(2)已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．1．设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？[提示]　a⊥b⇔a·b＝0．2．|a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？[提示]　|a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ．两边取绝对值得：|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|．当且仅当|cos θ|＝1，即cos θ＝±1，θ＝0°或π时，取“＝”，所以|a·b|≤|a||b|，cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)．(1)(0,1)∪(1，＋∞)　[∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq \o\al(2,1)＋keeq \o\al(2,2)＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0．当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为k＞0且k≠1．](2)[解]　由已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋3b·7a－5b＝0，,a－4b·7a－2b＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(7a2＋16a·b－15b2＝0，　　　①,7a2－30a·b＋8b2＝0，　　 　②))②－①得23b2－46a·b＝0，∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|，∴cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\f(1,2)b2,|b|2)＝eq \f(1,2)．∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq \f(π,3)．1．将本例(1)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围．[解]　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为钝角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq \o\al(2,1)＋keeq \o\al(2,2)＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，∴k＜0．当k＝－1时，e1＋ke2与ke1＋e2方向相反，它们的夹角为π，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围是k＜0且k≠－1．2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“eq \f(π,3)”，求k的值．[解]　由已知得|e1＋ke2|＝eq \r(e\o\al(2,1)＋2ke1·e2＋k2e\o\al(2,2))＝eq \r(1＋k2)，|ke1＋e2|＝eq \r(k2e\o\al(2,1)＋2ke1·e2＋e\o\al(2,2))＝eq \r(k2＋1)，(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq \o\al(2,1)＋keeq \o\al(2,2)＋(k2＋1)e1·e2＝2k，则coseq \f(π,3)＝eq \f(e1＋ke2ke1＋e2,|e1＋ke2||ke1＋e2|)＝eq \f(2k,1＋k2)，即eq \f(2k,1＋k2)＝eq \f(1,2)，整理得k2－4k＋1＝0，解得k＝eq \f(4±2\r(3),2)＝2±eq \r(3)．1．求向量夹角的方法(1)求出a·b，|a|，|b|，代入公式cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)求解．(2)用同一个量表示a·b，|a|，|b|，代入公式求解．(3)借助向量运算的几何意义，数形结合求夹角．2．要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cos θ＞0时，θ∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；当cos θ＜0时，θ∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))；当cos θ＝0时，θ＝eq \f(π,2)．eq \o([跟进训练])3．若非零向量a，b满足|a|＝eq \f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)A．eq \f(π,4)　　　　B．eq \f(π,2)　　　　C．eq \f(3π,4)　　　　D．πA　[因为(a－b)⊥(3a＋2b)，所以(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－a·b－2b2＝0．设向量a与b的夹角为θ，因为|a|＝eq \f(2\r(2),3)|b|，所以3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)|b|))eq \s\up12(2)－eq \f(2\r(2),3)|b|2cos θ－2|b|2＝0．因为|b|≠0，所以eq \f(8,3)－eq \f(2\r(2),3)cos θ－2＝0，解得cos θ＝eq \f(\r(2),2)．因为0≤θ≤π，所以θ＝eq \f(π,4)，故选A．]1．在▱ABCD中，∠DAB＝30°，则eq \o(AD,\s\up7(→))与eq \o(CD,\s\up7(→))的夹角为(　　)A．30°　　　B．60°　　　C．120°　　　D．150°D　[如图，eq \o(AD,\s\up7(→))与eq \o(CD,\s\up7(→))的夹角为∠ABC＝150°．]2．已知|a|＝3，|b|＝6，当a∥b时，a·b＝(　　)A．18 B．－18 C．±18 D．0C　[当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°，所以a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18；若a与b反向，则它们的夹角为180°，所以a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18．故选C．]3．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角为(　　)A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3) C．eq \f(2π,3) D．eq \f(5π,6)C　[因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2cos〈a，b〉＝3，所以cos〈a，b〉＝－eq \f(1,2)，又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq \f(2π,3)．]4．已知向量a与b的夹角是eq \f(π,3)，且|a|＝1，|b|＝2，若(eq \r(3)a＋λb)⊥a，则实数λ＝________．－eq \r(3)　[根据题意得a·b＝|a|·|b|coseq \f(π,3)＝1，因为(eq \r(3)a＋λb)⊥a，所以(eq \r(3)a＋λb)·a＝eq \r(3)a2＋λa·b＝eq \r(3)＋λ＝0，所以λ＝－eq \r(3)．]5．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，eq \o(AB,\s\up7(→))·eq \o(AC,\s\up7(→))＝8，则△ABC的形状是________．等边三角形　[因为eq \o(AB,\s\up7(→))·eq \o(AC,\s\up7(→))＝|eq \o(AB,\s\up7(→))||eq \o(AC,\s\up7(→))|cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝eq \f(1,2)，所以∠BAC＝60°．又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)向量夹角的概念是什么？向量夹角的范围是什么？向量的夹角与两直线的夹角有什么区别？(2)两个向量数量积的定义是什么？如何求两个向量的数量积？(3)向量的数量积有哪些性质和运算律？学 习 任 务核 心 素 养1．平面向量的数量积．(重点)2．投影向量的概念．(难点)3．向量的数量积与实数的乘法的区别．(易混点)1．通过平面向量的物理背景给出向量数量积的概念和几何意义的学习，培养数学建模和数学抽象的核心素养．2．通过向量数量积的运算学习，提升数学运算和数据分析的核心素养．