第6章平面向量及其应用6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示学案含解析

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6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示贝贝和晶晶同做一道数学题：“一人从A地到E地，依次经过B地、C地、D地，且相邻两地之间的距离均为505 km．问从A地到E地的行程有多少？”其解答方法是：贝贝：505＋505＋505＋505＝1 010＋505＋505＝1 515＋505＝2 020(km)．晶晶：505×4＝2 020(km)．可以看出，晶晶的计算较简捷，乘法是加法的简便运算，构建了乘法运算体系后，给这类问题的解决带来了很大的方便．问题：(1)当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？(2)λa与a的坐标有什么关系？知识点　平面向量数乘运算的坐标表示1．数乘运算的坐标表示(1)符号表示：已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)．(2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．2．平面向量共线的坐标表示(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb．(2)如果用坐标表示，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0．两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)吗？[提示]　不一定，x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y2≠0时，才能使用．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a与b共线，则eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)． (　　)(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2≠x2y1，则a与b不共线． (　　)(3)若A，B，C三点共线，则向量eq \o(AB,\s\up7(→))，eq \o(BC,\s\up7(→))，eq \o(CA,\s\up7(→))都是共线向量． (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√2 ．已知P(2,6)，Q(－4,0)，则PQ的中点坐标为________．(－1,3)　[根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(－1,3)．]3．已知a＝(－3,2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________．－4　[∵a∥b，∴－3y－2×6＝0，解得y＝－4．]4．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝________．－9　[eq \o(AB,\s\up7(→))＝(－8,8)，eq \o(AC,\s\up7(→))＝(3，y＋6)，∵A，B，C三点共线，即eq \o(AB,\s\up7(→))∥eq \o(AC,\s\up7(→))，∴－8(y＋6)－8×3＝0，解得y＝－9．] 类型1　向量数乘的坐标运算【例1】　(对接教材P31例6)(1)已知A(2,4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，则eq \o(AC,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \o(BA,\s\up7(→))＝(　　)A．(2，－3)　　　　　　 B．(－2，－3)C．(－2,3) D．(2,3)(2)已知向量a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，c＝(2,1)则a＋2b－3c的坐标是________．(1)A　(2)(－11，－1)　[(1)因为A(2,4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，所以eq \o(AC,\s\up7(→))＝(1，－6)，eq \o(BA,\s\up7(→))＝(3,9)，所以eq \o(AC,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \o(BA,\s\up7(→))＝(2，－3)．(2)因为a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，c＝(2,1)，所以a＋2b－3c＝(－3,2)＋2(－1,0)－3(2,1)＝(－11，－1)．]向量数乘坐标运算的三个关注点(1)准确记忆数乘向量的坐标表示，并能正确应用．(2)注意向量加、减、数乘运算的综合应用，并能与线性运算的几何意义结合解题．(3)解含参数的问题，要注意利用相等向量的对应坐标相同解题．eq \o([跟进训练])1．如图，已知|eq \o(OA,\s\up7(→))|＝|eq \o(OB,\s\up7(→))|＝1，|eq \o(OC,\s\up7(→))|＝eq \r(3)，eq \o(OC,\s\up7(→))⊥eq \o(OB,\s\up7(→))，∠AOC＝30°，若eq \o(OC,\s\up7(→))＝xeq \o(OA,\s\up7(→))＋yeq \o(OB,\s\up7(→))，则x＋y＝(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4C　[建立如图所示的平面直角坐标系，根据条件不妨设A(1,0)，则Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))，则由eq \o(OC,\s\up7(→))＝xeq \o(OA,\s\up7(→))＋yeq \o(OB,\s\up7(→))得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))＝x(1,0)＋yeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)y＝\f(3,2)，,\f(\r(3),2)y＝\f(\r(3),2)，))解得x＝2，y＝1，所以x＋y＝3．] 类型2　向量共线的坐标表示及应用　向量共线的判定与证明【例2】　(1)下列各组向量中，共线的是(　　)A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)(2)已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量eq \o(AB,\s\up7(→))与eq \o(CD,\s\up7(→))平行吗？直线AB平行于直线CD吗？(1)D　[A中，－2×6－3×4≠0；B中3×3－2×2≠0；C中1×14－(－2)×7≠0；D中(－3)×(－4)－2×6＝0．故选D．](2)[解]　∵eq \o(AB,\s\up7(→))＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，eq \o(CD,\s\up7(→))＝(2－1,7－5)＝(1,2)．又2×2－4×1＝0，∴eq \o(AB,\s\up7(→))∥eq \o(CD,\s\up7(→))．又eq \o(AC,\s\up7(→))＝(2,6)，eq \o(AB,\s\up7(→))＝(2,4)，∴2×4－2×6≠0，∴A，B，C不共线，∴AB与CD不重合，∴AB∥CD．向量共线的判定方法提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减．　已知平面向量共线求参数【例3】　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？[解]　法一：(共线向量定理法)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k－3＝10λ，,2k＋2＝－4λ，))解得k＝λ＝－eq \f(1,3)．当k＝－eq \f(1,3)时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－eq \f(1,3)a＋b＝－eq \f(1,3)(a－3b)，因为λ＝－eq \f(1,3)<0，所以ka＋b与a－3b反向．法二：(坐标法)由题知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，因为ka＋b与a－3b平行，所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－eq \f(1,3)．这时ka＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)－3，－\f(2,3)＋2))＝－eq \f(1,3)(a－3b)，所以当k＝－eq \f(1,3)时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．利用向量平行的条件处理求值问题的思路(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解．(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．eq \o([跟进训练])2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)，若c∥(2a＋b)，则λ＝________．eq \f(1,2)　[由题可得2a＋b＝(4,2)，∵c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，∴4λ－2＝0，即λ＝eq \f(1,2)．]3．已知A(1，－3)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线．[证明]　eq \o(AB,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－1，\f(1,2)＋3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(7,2)))，eq \o(AC,\s\up7(→))＝(9－1，1＋3)＝(8,4)，∵7×4－eq \f(7,2)×8＝0，∴eq \o(AB,\s\up7(→))∥eq \o(AC,\s\up7(→))，且eq \o(AB,\s\up7(→))，eq \o(AC,\s\up7(→))有公共点A，∴A，B，C三点共线． 类型3　共线向量与线段分点坐标的计算【例4】　已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线AB上，且|eq \o(AP,\s\up7(→))|＝2|eq \o(PB,\s\up7(→))|，求点P的坐标．1．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求线段P1P2的中点P的坐标？[提示]　如图所示，∵P为P1P2的中点，∴eq \o(P1P,\s\up7(→))＝eq \o(PP2,\s\up7(→))，∴eq \o(OP,\s\up7(→))－eq \o(OP1,\s\up7(→))＝eq \o(OP2,\s\up7(→))－eq \o(OP,\s\up7(→))，∴eq \o(OP,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OP1,\s\up7(→))＋eq \o(OP2,\s\up7(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，∴线段P1P2的中点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))．2．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是线段P1P2的一个三等分点，则P点坐标是什么？[提示]　点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：①当eq \o(P1P,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \o(P1P2,\s\up7(→))时，eq \o(OP,\s\up7(→))＝eq \o(OP1,\s\up7(→))＋eq \o(P1P,\s\up7(→))＝eq \o(OP1,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \o(P1P2,\s\up7(→))＝eq \o(OP1,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)(eq \o(OP2,\s\up7(→))－eq \o(OP1,\s\up7(→)))＝eq \f(2,3)eq \o(OP1,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \o(OP2,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x1＋x2,3)，\f(2y1＋y2,3)))；②当eq \o(P1P,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \o(P1P2,\s\up7(→))时，eq \o(OP,\s\up7(→))＝eq \o(OP1,\s\up7(→))＋eq \o(P1P,\s\up7(→))＝eq \o(OP1,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \o(P1P2,\s\up7(→))＝eq \o(OP1,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)(eq \o(OP2,\s\up7(→))－eq \o(OP1,\s\up7(→)))＝eq \f(1,3)eq \o(OP1,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \o(OP2,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋2x2,3)，\f(y1＋2y2,3)))．3．当eq \o(P1P,\s\up7(→))＝λeq \o(PP2,\s\up7(→))(λ≠－1)时，点P的坐标是什么？[提示]　∵eq \o(OP,\s\up7(→))＝eq \o(OP1,\s\up7(→))＋eq \o(P1P,\s\up7(→))＝eq \o(OP1,\s\up7(→))＋λeq \o(PP2,\s\up7(→))＝eq \o(OP1,\s\up7(→))＋λ(eq \o(OP2,\s\up7(→))－eq \o(OP,\s\up7(→)))＝eq \o(OP1,\s\up7(→))＋λeq \o(OP2,\s\up7(→))－λeq \o(OP,\s\up7(→))，∴eq \o(OP,\s\up7(→))＝eq \f(\o(OP1,\s\up7(→))＋λ\o(OP2,\s\up7(→)),1＋λ)＝eq \f(1,1＋λ)(x1，y1)＋eq \f(λ,1＋λ)(x2，y2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋λ)x1，\f(1,1＋λ)y1))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,1＋λ)x2，\f(λ,1＋λ)y2))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋λx2,1＋λ)，\f(y1＋λy2,1＋λ)))，∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋λx2,1＋λ)，\f(y1＋λy2,1＋λ)))．[解]　设P点坐标为(x，y)，|eq \o(AP,\s\up7(→))|＝2|eq \o(PB,\s\up7(→))|．当P在线段AB上时，eq \o(AP,\s\up7(→))＝2eq \o(PB,\s\up7(→))，∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3＝－2－2x，,y＋4＝4－2y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3)，,y＝0，))∴P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))．当P在线段AB延长线上时，eq \o(AP,\s\up7(→))＝－2eq \o(PB,\s\up7(→))，∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3＝2＋2x，,y＋4＝－4＋2y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝8，))∴P点坐标为(－5,8)．综上所述，点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0))或(－5,8)．1．若将本例条件“|eq \o(AP,\s\up7(→))|＝2|eq \o(PB,\s\up7(→))|”改为“eq \o(AP,\s\up7(→))＝3eq \o(PB,\s\up7(→))”其他条件不变，求点P的坐标．[解]　因为eq \o(AP,\s\up7(→))＝3eq \o(PB,\s\up7(→))，所以(x－3，y＋4)＝3(－1－x，2－y)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3＝－3－3x，,y＋4＝6－3y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝\f(1,2)，))所以点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))．2．若将本例条件改为“经过点P(－2,3)的直线分别交x轴、y轴于点A，B，且|eq \o(AB,\s\up7(→))|＝3|eq \o(AP,\s\up7(→))|”，求点A，B的坐标．[解]　由题设知，A，B，P三点共线，且|eq \o(AB,\s\up7(→))|＝3|eq \o(AP,\s\up7(→))|，设A(x,0)，B(0，y)，①点P在A，B之间，则有eq \o(AB,\s\up7(→))＝3eq \o(AP,\s\up7(→))，∴(－x，y)＝3(－2－x,3)，解得x＝－3，y＝9，点A，B的坐标分别为(－3,0)，(0,9)．②点P不在A，B之间，则有eq \o(AB,\s\up7(→))＝－3eq \o(AP,\s\up7(→))，同理，可求得点A，B的坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))，(0，－9)．综上，点A，B的坐标分别为(－3,0)，(0,9)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))，(0，－9)．求点的坐标时注意的问题(1)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．若点P是P1P2的中点时，则P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))．(2)求线段P1P2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论．(3)若eq \o(P1P,\s\up7(→))＝λeq \o(P1P2,\s\up7(→))(λ≠0)，①0＜λ＜1时，P在线段P1P2上；②λ＝1时，P与P2重合；③λ＞1时，点P在线段P1P2延长线上；④λ＜0时，点P在线段P1P2反向延长线上．eq \o([跟进训练])4．如图所示，已知△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，eq \o(OC,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)eq \o(OA,\s\up7(→))，eq \o(OD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \o(OB,\s\up7(→))，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．[解]　因为eq \o(OC,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)eq \o(OA,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)(0,5)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4)))，所以Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4)))．因为eq \o(OD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \o(OB,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(4,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)))，所以Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)))．设M(x，y)，则eq \o(AM,\s\up7(→))＝(x，y－5)，eq \o(AD,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－0，\f(3,2)－5))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(7,2)))．因为eq \o(AM,\s\up7(→))∥eq \o(AD,\s\up7(→))，所以－eq \f(7,2)x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20． ①又eq \o(CM,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y－\f(5,4)))，eq \o(CB,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(7,4)))，因为eq \o(CM,\s\up7(→))∥eq \o(CB,\s\up7(→))，所以eq \f(7,4)x－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(5,4)))＝0，即7x－16y＝－20．②联立①②解得x＝eq \f(12,7)，y＝2，故点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,7)，2))．1．已知eq \o(MA,\s\up7(→))＝(－2,4)，eq \o(MB,\s\up7(→))＝(2,6)，则eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up7(→))等于(　　)A．(0,5)　　　B．(0,1)　　　C．(2,5)　　　D．(2,1)D　[eq \f(1,2)eq \o(AB,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(MB,\s\up7(→))－eq \o(MA,\s\up7(→)))＝eq \f(1,2)(2,6)－eq \f(1,2)(－2,4)＝(2,1)．]2．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，则与eq \o(AB,\s\up7(→))平行且方向相反的向量a可以是(　　)A．(1，－2) B．(9,3)C．(－2,4) D．(－4，－8)D　[由题意，得eq \o(AB,\s\up7(→))＝(1,2)，所以a＝λeq \o(AB,\s\up7(→))＝(λ，2λ)(其中λ＜0)．符合条件的只有D项，故选D．]3．与向量a＝(－3,4)平行的单位向量是________．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))　[设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝1，,4x＋3y＝0，)) ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,5)，,y＝\f(4,5))) 或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,5)，,y＝－\f(4,5).)) ]4．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于________．(－4，－8)　[∵a∥b，∴1×m－(－2)×2＝0，∴m＝－4，∴a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．]5．设eq \o(OA,\s\up7(→))＝(2，－1)，eq \o(OB,\s\up7(→))＝(3,0)，eq \o(OC,\s\up7(→))＝(m,3)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围是________．{m|m≠6}　[∵A，B，C三点能构成三角形，∴eq \o(AB,\s\up7(→))，eq \o(AC,\s\up7(→))不共线．又∵eq \o(AB,\s\up7(→))＝(1,1)，eq \o(AC,\s\up7(→))＝(m－2,4)，∴1×4－1×(m－2)≠0，解得m≠6．∴m的取值范围是{m|m≠6}．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)若a＝(x，y)，则λa等于什么？(2)向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)共线的充要条件是什么？学 习 任 务核 心 素 养1．掌握两数乘向量的坐标运算法则．(重点)2．理解用坐标表示两向量共线的条件．(难点)3．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法．(重点)4．两直线平行与两向量共线的判定．(易混点)1．通过向量的线性运算，提升数学运算的核心素养．2．通过平面向量共线的坐标表示，培养逻辑推理的核心素养．