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第6章平面向量及其应用6.3.5平面向量数量积的坐标表示学案含解析
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这是一份第6章平面向量及其应用6.3.5平面向量数量积的坐标表示学案含解析，共11页。
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示“不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞，给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示，它能使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究．问题：在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3,2)，b＝(2,1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？知识点 平面向量数量积的坐标表示1．平面向量数量积的坐标表示2．平面向量数量积的坐标表示的结论已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？[提示] 设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±eq \f(1,|a|)a＝±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,|a|)，\f(y,|a|)))＝±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,\r(,x2＋y2))，\f(y,\r(,x2＋y2))))，其中正号、负号分别表示与a同向和反向．易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直，所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－y,\r(,x2＋y2))，\f(x,\r(,x2＋y2))))，其中正、负号表示不同的方向．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0． ( )(2)a·b＜0⇔a与b的夹角为钝角． ( )(3)若a·b≠0，则a与b不垂直． ( )(4)|eq \o(AB,\s\up7(→))|表示A，B两点之间的距离． ( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．已知a＝(2，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝______，|a＋b|＝________．1 2eq \r(5) [a·b＝2×2＋(－1)×3＝1，a＋b＝(4,2)，|a＋b|＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5)．]3．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，m)，若a⊥b，则m＝______．eq \f(2,3) [因为a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0，解得m＝eq \f(2,3)．]4．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为________．eq \f(63,65) [因为a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝eq \r(32＋42)＝5，|b|＝eq \r(52＋122)＝13，所以a与b夹角的余弦值为eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(63,5×13)＝eq \f(63,65)．] 类型1 平面向量数量积的坐标运算【例1】 (1)如图，在矩形ABCD中，AB＝eq \r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若eq \o(AB,\s\up7(→))·eq \o(AF,\s\up7(→))＝eq \r(2)，则eq \o(AE,\s\up7(→))·eq \o(BF,\s\up7(→))的值是________．(2)已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10．①求a的坐标；②若c＝(2，－1)，求a·(b·c)及(a·b)·c．(1)eq \r(2) [以A为坐标原点，直线AB为x轴、直线AD为y轴，建立平面直角坐标系，则B(eq \r(2)，0)，D(0,2)，C(eq \r(2)，2)，E(eq \r(2)，1)．可设F(x,2)，因为eq \o(AB,\s\up7(→))·eq \o(AF,\s\up7(→))＝(eq \r(2)，0)·(x,2)＝eq \r(2)x＝eq \r(2)，所以x＝1，所以eq \o(AE,\s\up7(→))·eq \o(BF,\s\up7(→))＝(eq \r(2)，1)·(1－eq \r(2)，2)＝eq \r(2)．](2)[解] ①设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．②∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，∴a·(b·c)＝0·a＝0，(a·b)·c＝10(2，－1)＝(20，－10)．数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．eq \o([跟进训练])1．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，eq \o(AB,\s\up7(→))＝(1，－2)，eq \o(AD,\s\up7(→))＝(2,1)，则eq \o(AD,\s\up7(→))·eq \o(AC,\s\up7(→))＝( )A．5 B．4 C．3 D．2A [由eq \o(AC,\s\up7(→))＝eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→))＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得eq \o(AD,\s\up7(→))·eq \o(AC,\s\up7(→))＝(2,1)·(3，－1)＝5．] 类型2 向量模的坐标表示【例2】 (1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于( )A．4 B．5 C．3eq \r(5) D．4eq \r(5)(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求：①向量a的模；②与a平行的单位向量的坐标；③与a垂直的单位向量的坐标．(1)D [由a∥b得y＋4＝0，∴y＝－4，b＝(－2，－4)，∴2a－b＝(4,8)，∴|2a－b|＝4eq \r(5)．故选D．](2)[解] ①∵a＝eq \o(AB,\s\up7(→))＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，∴|a|＝eq \r(42＋－32)＝5．②与a平行的单位向量是±eq \f(a,|a|)＝±eq \f(1,5)(4，－3)，即坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))．③设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，∴eq \f(m,n)＝eq \f(3,4)．又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1．解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(4,5)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝－\f(3,5)，,n＝－\f(4,5)，))∴e＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))或e＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))．求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝eq \r(x2＋y2)．eq \o([跟进训练])2．已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)．(1)求a－2b及其模的大小；(2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|．[解] (1)a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)，|a－2b|＝eq \r(,72＋32)＝eq \r(,58)．(2)a·b＝(3,5)·(－2,1)＝3×(－2)＋5×1＝－1，∴c＝a－(a·b)·b＝(3,5)＋(－2,1)＝(1,6)，∴|c|＝eq \r(,1＋62)＝eq \r(,37)． 类型3 向量的夹角与垂直问题【例3】 (1)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是( )A．(－2，＋∞) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C．(－∞，－2) D．(－2,2)(2)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|eq \o(AD,\s\up7(→))|与点D的坐标．设a，b都是非零向量，a＝x1，y1，b＝x2，y2，θ是a与b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？[提示] (1)B [当a与b共线时，2k－1＝0，k＝eq \f(1,2)，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不同向．由a·b＝2＋k>0得k>－2，且k≠eq \f(1,2)，即实数k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，选B．](2)[解] 设点D的坐标为(x，y)，则eq \o(AD,\s\up7(→))＝(x－2，y＋1)，eq \o(BC,\s\up7(→))＝(－6，－3)，eq \o(BD,\s\up7(→))＝(x－3，y－2)．∵点D在直线BC上，即eq \o(BD,\s\up7(→))与eq \o(BC,\s\up7(→))共线，∴存在实数λ，使eq \o(BD,\s\up7(→))＝λeq \o(BC,\s\up7(→))，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3＝－6λ，,y－2＝－3λ，))∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0． ①又∵AD⊥BC，∴eq \o(AD,\s\up7(→))·eq \o(BC,\s\up7(→))＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，即2x＋y－3＝0． ②由①②可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即D点坐标为(1,1)，eq \o(AD,\s\up7(→))＝(－1,2)，∴|eq \o(AD,\s\up7(→))|＝eq \r(－12＋22)＝eq \r(5)，综上，|eq \o(AD,\s\up7(→))|＝eq \r(5)，D(1,1)．1．将本例(1)中的条件“a＝(2,1)”改为“a＝(－2,1)”，“锐角”改为“钝角”，求实数k的取值范围．[解] 当a与b共线时，－2k－1＝0，k＝－eq \f(1,2)，此时a与b方向相反，夹角为180°，所以要使a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，且a与b不反向．由a·b＝－2＋k＜0得k＜2．由a与b不反向得k≠－eq \f(1,2)，所以k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))．2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“eq \f(π,4)”，求k的值．[解] coseq \f(π,4)＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2＋k,\r(5)·\r(1＋k2))，即eq \f(\r(2),2)＝eq \f(2＋k,\r(5)·\r(1＋k2))，整理得3k2－8k－3＝0，解得k＝－eq \f(1,3)或3．1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．(2)求模．利用|a|＝eq \r(x2＋y2)计算两向量的模．(3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))求夹角余弦值．(4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．2．涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助a⊥b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决．eq \o([跟进训练])3．已知三点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度．[解] (1)∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴eq \o(AB,\s\up7(→))＝(1,1)，eq \o(AD,\s\up7(→))＝(－3,3)，则eq \o(AB,\s\up7(→))·eq \o(AD,\s\up7(→))＝1×(－3)＋1×3＝0，∴eq \o(AB,\s\up7(→))⊥eq \o(AD,\s\up7(→))，即AB⊥AD．(2)∵eq \o(AB,\s\up7(→))⊥eq \o(AD,\s\up7(→))，四边形ABCD为矩形，∴eq \o(AB,\s\up7(→))＝eq \o(DC,\s\up7(→))．设点C的坐标为(x，y)，则eq \o(DC,\s\up7(→))＝(x＋1，y－4)，从而有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1＝1，,y－4＝1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝5，))∴点C的坐标为(0,5)．∴eq \o(AC,\s\up7(→))＝(－2,4)，|eq \o(AC,\s\up7(→))|＝eq \r(－22＋42)＝2eq \r(5)，故点C的坐标为(0,5)，矩形ABCD的对角线的长度为2eq \r(5)．1．已知向量a＝(2,0)，a－b＝(3,1)，则下列结论正确的是( )A．a·b＝2 B．a∥bC．b⊥(a＋b) D．|a|＝|b|C [因为向量a＝(2,0)，a－b＝(3,1)，设b＝(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2－x＝3，,0－y＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，))所以b＝(－1，－1)，a＋b＝(1，－1)，b·(a＋b)＝－1×1＋(－1)×(－1)＝0，所以b⊥(a＋b)．]2．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为( )A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,3) D．eq \f(π,2)B [a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a|＝eq \r(32＋－12)＝eq \r(10)，|b|＝eq \r(12＋－22)＝eq \r(5)，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(5,\r(10)×\r(5))＝eq \f(\r(2),2)．又0≤θ≤π，∴θ＝eq \f(π,4)．]3．设a＝(2,4)，b＝(1,1)，若b⊥(a＋mb)，则实数m＝________．－3 [a＋mb＝(2＋m,4＋m)，∵b⊥(a＋mb)，∴(2＋m)×1＋(4＋m)×1＝0，得m＝－3．]4．设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________．－2 [法一：a＋b＝(m＋1,3)，又|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，∴(m＋1)2＋32＝m2＋1＋5，解得m＝－2．法二：由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a·b＝0，即m＋2＝0，解得m＝－2．]5．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R．(1)若a⊥b，则x＝________；(2)若a∥b，则|a－b|＝________．(1)－1或3 (2)2或2eq \r(5) [(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3．(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2．当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2．当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，|a－b|＝eq \r(,4＋16)＝2eq \r(,5)．综上，|a－b|＝2或2eq \r(,5)．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何求a·a，|a|以及向量a与b的夹角θ的余弦值cos θ？(2)若a⊥b，则a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)应满足什么条件？向量的数量积与三角形的面积在平面直角坐标系xOy中，给定A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设O，A，B不在同一条直线上，如图1所示，你能用A，B的坐标表示出△OAB的面积吗？图1一般地，利用向量的数量积可以方便地求出△OAB的面积为S＝eq \f(1,2)|x1y2－x2y1|．事实上，如图2所示，记t＝|OA|，a＝eq \f(1,t)(－y1，x1)，则容易验证，a是与eq \o(OA,\s\up7(→))垂直的单位向量．图2过B作OA的垂线BC．因为a为单位向量，所以由向量数量积的几何意义可知|BC|＝|a·eq \o(OB,\s\up7(→))|，因此，△OAB的面积为S＝eq \f(1,2)|AO|×|BC|＝eq \f(1,2)|AO|×|a·eq \o(OB,\s\up7(→))|＝eq \f(1,2)t×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)－y1，x1·x2，y2))＝eq \f(1,2)|(－y1，x1)·(x2，y2)|＝eq \f(1,2)|x1y2－x2y1|．由此也可以看出，如图3所示，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，而且O，A，B三点不共线，则以OA，OB为邻边的平行四边形OACB的面积为图3S＝|x1y2－x2y1|．由此你能体会到向量数量积的作用之大了吗？ 学 习 任 务核 心 素 养1．掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点)2．会运用向量的坐标运算求解向量垂直、向量的夹角等相关问题．(难点)3．分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点)4．能用向量方法证明两角差的余弦公式．(重点)1．通过平面向量数量积的坐标表示，培养数学运算和数据分析的核心素养．2．借助向量的坐标运算求向量的夹角、长度以及论证垂直问题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养．条件向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)坐标表示a·b＝x1x2＋y1y2文字叙述两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和条件结论a＝(x，y)|a|＝eq \r(x2＋y2)表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)|a|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示“不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞，给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示，它能使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究．问题：在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3,2)，b＝(2,1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？知识点 平面向量数量积的坐标表示1．平面向量数量积的坐标表示2．平面向量数量积的坐标表示的结论已知向量a＝(x，y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？[提示] 设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±eq \f(1,|a|)a＝±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,|a|)，\f(y,|a|)))＝±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,\r(,x2＋y2))，\f(y,\r(,x2＋y2))))，其中正号、负号分别表示与a同向和反向．易知b＝(－y，x)和a＝(x，y)垂直，所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－y,\r(,x2＋y2))，\f(x,\r(,x2＋y2))))，其中正、负号表示不同的方向．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0． ( )(2)a·b＜0⇔a与b的夹角为钝角． ( )(3)若a·b≠0，则a与b不垂直． ( )(4)|eq \o(AB,\s\up7(→))|表示A，B两点之间的距离． ( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．已知a＝(2，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝______，|a＋b|＝________．1 2eq \r(5) [a·b＝2×2＋(－1)×3＝1，a＋b＝(4,2)，|a＋b|＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5)．]3．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，m)，若a⊥b，则m＝______．eq \f(2,3) [因为a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0，解得m＝eq \f(2,3)．]4．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为________．eq \f(63,65) [因为a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝eq \r(32＋42)＝5，|b|＝eq \r(52＋122)＝13，所以a与b夹角的余弦值为eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(63,5×13)＝eq \f(63,65)．] 类型1 平面向量数量积的坐标运算【例1】 (1)如图，在矩形ABCD中，AB＝eq \r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若eq \o(AB,\s\up7(→))·eq \o(AF,\s\up7(→))＝eq \r(2)，则eq \o(AE,\s\up7(→))·eq \o(BF,\s\up7(→))的值是________．(2)已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10．①求a的坐标；②若c＝(2，－1)，求a·(b·c)及(a·b)·c．(1)eq \r(2) [以A为坐标原点，直线AB为x轴、直线AD为y轴，建立平面直角坐标系，则B(eq \r(2)，0)，D(0,2)，C(eq \r(2)，2)，E(eq \r(2)，1)．可设F(x,2)，因为eq \o(AB,\s\up7(→))·eq \o(AF,\s\up7(→))＝(eq \r(2)，0)·(x,2)＝eq \r(2)x＝eq \r(2)，所以x＝1，所以eq \o(AE,\s\up7(→))·eq \o(BF,\s\up7(→))＝(eq \r(2)，1)·(1－eq \r(2)，2)＝eq \r(2)．](2)[解] ①设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．②∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10，∴a·(b·c)＝0·a＝0，(a·b)·c＝10(2，－1)＝(20，－10)．数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．eq \o([跟进训练])1．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，eq \o(AB,\s\up7(→))＝(1，－2)，eq \o(AD,\s\up7(→))＝(2,1)，则eq \o(AD,\s\up7(→))·eq \o(AC,\s\up7(→))＝( )A．5 B．4 C．3 D．2A [由eq \o(AC,\s\up7(→))＝eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→))＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得eq \o(AD,\s\up7(→))·eq \o(AC,\s\up7(→))＝(2,1)·(3，－1)＝5．] 类型2 向量模的坐标表示【例2】 (1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于( )A．4 B．5 C．3eq \r(5) D．4eq \r(5)(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求：①向量a的模；②与a平行的单位向量的坐标；③与a垂直的单位向量的坐标．(1)D [由a∥b得y＋4＝0，∴y＝－4，b＝(－2，－4)，∴2a－b＝(4,8)，∴|2a－b|＝4eq \r(5)．故选D．](2)[解] ①∵a＝eq \o(AB,\s\up7(→))＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)，∴|a|＝eq \r(42＋－32)＝5．②与a平行的单位向量是±eq \f(a,|a|)＝±eq \f(1,5)(4，－3)，即坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))．③设与a垂直的单位向量为e＝(m，n)，则a·e＝4m－3n＝0，∴eq \f(m,n)＝eq \f(3,4)．又∵|e|＝1，∴m2＋n2＝1．解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(4,5)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝－\f(3,5)，,n＝－\f(4,5)，))∴e＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))或e＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))．求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝eq \r(x2＋y2)．eq \o([跟进训练])2．已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)．(1)求a－2b及其模的大小；(2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|．[解] (1)a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)，|a－2b|＝eq \r(,72＋32)＝eq \r(,58)．(2)a·b＝(3,5)·(－2,1)＝3×(－2)＋5×1＝－1，∴c＝a－(a·b)·b＝(3,5)＋(－2,1)＝(1,6)，∴|c|＝eq \r(,1＋62)＝eq \r(,37)． 类型3 向量的夹角与垂直问题【例3】 (1)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是( )A．(－2，＋∞) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C．(－∞，－2) D．(－2,2)(2)已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|eq \o(AD,\s\up7(→))|与点D的坐标．设a，b都是非零向量，a＝x1，y1，b＝x2，y2，θ是a与b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？[提示] (1)B [当a与b共线时，2k－1＝0，k＝eq \f(1,2)，此时a，b方向相同，夹角为0°，所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不同向．由a·b＝2＋k>0得k>－2，且k≠eq \f(1,2)，即实数k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，选B．](2)[解] 设点D的坐标为(x，y)，则eq \o(AD,\s\up7(→))＝(x－2，y＋1)，eq \o(BC,\s\up7(→))＝(－6，－3)，eq \o(BD,\s\up7(→))＝(x－3，y－2)．∵点D在直线BC上，即eq \o(BD,\s\up7(→))与eq \o(BC,\s\up7(→))共线，∴存在实数λ，使eq \o(BD,\s\up7(→))＝λeq \o(BC,\s\up7(→))，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3＝－6λ，,y－2＝－3λ，))∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0． ①又∵AD⊥BC，∴eq \o(AD,\s\up7(→))·eq \o(BC,\s\up7(→))＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，即2x＋y－3＝0． ②由①②可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即D点坐标为(1,1)，eq \o(AD,\s\up7(→))＝(－1,2)，∴|eq \o(AD,\s\up7(→))|＝eq \r(－12＋22)＝eq \r(5)，综上，|eq \o(AD,\s\up7(→))|＝eq \r(5)，D(1,1)．1．将本例(1)中的条件“a＝(2,1)”改为“a＝(－2,1)”，“锐角”改为“钝角”，求实数k的取值范围．[解] 当a与b共线时，－2k－1＝0，k＝－eq \f(1,2)，此时a与b方向相反，夹角为180°，所以要使a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，且a与b不反向．由a·b＝－2＋k＜0得k＜2．由a与b不反向得k≠－eq \f(1,2)，所以k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))．2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“eq \f(π,4)”，求k的值．[解] coseq \f(π,4)＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(2＋k,\r(5)·\r(1＋k2))，即eq \f(\r(2),2)＝eq \f(2＋k,\r(5)·\r(1＋k2))，整理得3k2－8k－3＝0，解得k＝－eq \f(1,3)或3．1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．(2)求模．利用|a|＝eq \r(x2＋y2)计算两向量的模．(3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))求夹角余弦值．(4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．2．涉及非零向量a，b垂直问题时，一般借助a⊥b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决．eq \o([跟进训练])3．已知三点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度．[解] (1)∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴eq \o(AB,\s\up7(→))＝(1,1)，eq \o(AD,\s\up7(→))＝(－3,3)，则eq \o(AB,\s\up7(→))·eq \o(AD,\s\up7(→))＝1×(－3)＋1×3＝0，∴eq \o(AB,\s\up7(→))⊥eq \o(AD,\s\up7(→))，即AB⊥AD．(2)∵eq \o(AB,\s\up7(→))⊥eq \o(AD,\s\up7(→))，四边形ABCD为矩形，∴eq \o(AB,\s\up7(→))＝eq \o(DC,\s\up7(→))．设点C的坐标为(x，y)，则eq \o(DC,\s\up7(→))＝(x＋1，y－4)，从而有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1＝1，,y－4＝1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝5，))∴点C的坐标为(0,5)．∴eq \o(AC,\s\up7(→))＝(－2,4)，|eq \o(AC,\s\up7(→))|＝eq \r(－22＋42)＝2eq \r(5)，故点C的坐标为(0,5)，矩形ABCD的对角线的长度为2eq \r(5)．1．已知向量a＝(2,0)，a－b＝(3,1)，则下列结论正确的是( )A．a·b＝2 B．a∥bC．b⊥(a＋b) D．|a|＝|b|C [因为向量a＝(2,0)，a－b＝(3,1)，设b＝(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2－x＝3，,0－y＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，))所以b＝(－1，－1)，a＋b＝(1，－1)，b·(a＋b)＝－1×1＋(－1)×(－1)＝0，所以b⊥(a＋b)．]2．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为( )A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,3) D．eq \f(π,2)B [a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a|＝eq \r(32＋－12)＝eq \r(10)，|b|＝eq \r(12＋－22)＝eq \r(5)，设a与b的夹角为θ，则cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(5,\r(10)×\r(5))＝eq \f(\r(2),2)．又0≤θ≤π，∴θ＝eq \f(π,4)．]3．设a＝(2,4)，b＝(1,1)，若b⊥(a＋mb)，则实数m＝________．－3 [a＋mb＝(2＋m,4＋m)，∵b⊥(a＋mb)，∴(2＋m)×1＋(4＋m)×1＝0，得m＝－3．]4．设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________．－2 [法一：a＋b＝(m＋1,3)，又|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，∴(m＋1)2＋32＝m2＋1＋5，解得m＝－2．法二：由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a·b＝0，即m＋2＝0，解得m＝－2．]5．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R．(1)若a⊥b，则x＝________；(2)若a∥b，则|a－b|＝________．(1)－1或3 (2)2或2eq \r(5) [(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3．(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2．当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2．当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)，|a－b|＝eq \r(,4＋16)＝2eq \r(,5)．综上，|a－b|＝2或2eq \r(,5)．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何求a·a，|a|以及向量a与b的夹角θ的余弦值cos θ？(2)若a⊥b，则a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)应满足什么条件？向量的数量积与三角形的面积在平面直角坐标系xOy中，给定A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设O，A，B不在同一条直线上，如图1所示，你能用A，B的坐标表示出△OAB的面积吗？图1一般地，利用向量的数量积可以方便地求出△OAB的面积为S＝eq \f(1,2)|x1y2－x2y1|．事实上，如图2所示，记t＝|OA|，a＝eq \f(1,t)(－y1，x1)，则容易验证，a是与eq \o(OA,\s\up7(→))垂直的单位向量．图2过B作OA的垂线BC．因为a为单位向量，所以由向量数量积的几何意义可知|BC|＝|a·eq \o(OB,\s\up7(→))|，因此，△OAB的面积为S＝eq \f(1,2)|AO|×|BC|＝eq \f(1,2)|AO|×|a·eq \o(OB,\s\up7(→))|＝eq \f(1,2)t×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)－y1，x1·x2，y2))＝eq \f(1,2)|(－y1，x1)·(x2，y2)|＝eq \f(1,2)|x1y2－x2y1|．由此也可以看出，如图3所示，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，而且O，A，B三点不共线，则以OA，OB为邻边的平行四边形OACB的面积为图3S＝|x1y2－x2y1|．由此你能体会到向量数量积的作用之大了吗？ 学 习 任 务核 心 素 养1．掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点)2．会运用向量的坐标运算求解向量垂直、向量的夹角等相关问题．(难点)3．分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点)4．能用向量方法证明两角差的余弦公式．(重点)1．通过平面向量数量积的坐标表示，培养数学运算和数据分析的核心素养．2．借助向量的坐标运算求向量的夹角、长度以及论证垂直问题，提升逻辑推理和数学运算的核心素养．条件向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)坐标表示a·b＝x1x2＋y1y2文字叙述两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和条件结论a＝(x，y)|a|＝eq \r(x2＋y2)表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)|a|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))
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