高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念导学案，共6页。


16世纪，意大利数学家卡尔丹在讨论问题“将10分成两部分，使两者的乘积等于40”时，认为把答案写成“5＋eq \r(－15)和5－eq \r(－15)”就可以满足要求：
(5＋eq \r(－15))＋(5－eq \r(－15))＝5＋5＝10，
(5＋eq \r(－15))(5－eq \r(－15))
＝5×5－eq \r(－15)×eq \r(－15)
＝25－(－15)
＝40．
问题：eq \r(－15)能作为“数”吗？它真的是无意义的、虚幻的吗？
知识点1 复数的概念及其表示
1．复数的定义
我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．规定i·i＝i2＝－1．
2．复数的表示
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)．以后不作特殊说明时，复数z＝a＋bi都有a，b∈R，其中的a与b分别叫作复数z的实部与虚部．
(1)复数z＝3＋2i的虚部是2i还是2?
(2)实数5是复数吗？其虚部是什么？
[提示] (1)虚部是2；(2)5是复数，虚部为0．
1．复数z＝2＋5i的实部等于________，虚部等于________．
2 5 [复数z＝2＋5i的实部为2，虚部为5．]
2．若复数z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的实部与虚部相等，则a＝________．
4 [由已知得2a－1＝3＋a，解得a＝4．]
知识点2 复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d．
3．已知x，y∈R，若x＋3i＝(y－2)i，则x＋y＝________．
5 [因为x＋3i＝(y－2)i，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y－2＝3，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝5，))所以x＋y＝5．]
知识点3 复数的分类
(1)复数a＋bi(a，b∈R)
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0,非纯虚数a≠0))))
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示．
4．在下列数中，属于虚数的是__________，属于纯虚数的是________．
0,1＋i，πi，eq \r(3)＋2i，eq \f(1,3)－eq \r(3)i，eq \f(π,3)i．1＋i，πi，eq \r(3)＋2i，eq \f(1,3)－eq \r(3)i，eq \f(π,3)i πi，eq \f(π,3)i [根据虚数的概念知：1＋i，πi，eq \r(3)＋2i，eq \f(1,3)－eq \r(3)i，eq \f(π,3)i都是虚数；由纯虚数的概念知：πi，eq \f(π,3)i都是纯虚数．]
5．若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i是纯虚数，则实数m＝________．
2 [由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m－2＝0，,m＋1≠0，))解得m＝2．]
类型1 复数的概念
【例1】 给出下列说法：①复数2＋3i的虚部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数；③若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数；④若两个复数能够比较大小，则它们都是实数．其中错误说法的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C [复数2＋3i的虚部是3，①错；形如a＋bi(b∈R)的数不一定是虚数，②错；只有当a∈R，a＋3≠0时，(a＋3)i是纯虚数，③错；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，故④正确，所以有3个错误．]
判断复数概念方面的命题真假的注意点
(1)正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念，注意它们之间的区别与联系；
(2)注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同；
(3)注意通过列举反例来说明一些命题的真假．
eq \([跟进训练])
1．下列说法中正确的是( )
A．复数由实数、虚数、纯虚数构成
B．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0
C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数
D．若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i
C [选项A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；选项B错，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有y≠0，但可以x＝0；选项C正确，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是纯虚数，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，复数z一定不是纯虚数；选项D错，当a，b∈R时，a＋i与b＋i都是虚数，不能比较大小．]
类型2 复数的分类
【例2】 (对接教材P69例1)实数x分别取什么值时，复数z＝eq \f(x2－x－6,x＋3)＋(x2－2x－15)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
[解] (1)当x满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－15＝0，,x＋3≠0，))
即x＝5时，z是实数．
(2)当x满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－15≠0，,x＋3≠0，))即x≠－3且x≠5时，z是虚数．
(3)当x满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2－x－6,x＋3)＝0，,x2－2x－15≠0，,x＋3≠0，))即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．
利用复数的分类求参数的方法及注意事项
(1)利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，若不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解；
(2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解；
(3)要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0．
eq \([跟进训练])
2．已知m∈R，复数z＝lg m＋(m2－1)i，当m为何值时，
(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数．
[解] (1)当z为实数时，m需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－1＝0，,m＞0，))解得m＝1．
(2)当z为虚数时，m需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－1≠0，,m＞0，))解得m＞0，且m≠1．
(3)当z为纯虚数时，m需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg m＝0，,m2－1≠0，))无解，即不存在m使z为纯虚数．
类型3 复数相等的充要条件
【例3】 (1)若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于________．
(2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，求实数m的值．
1．由3>2能否推出3＋i>2＋i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？
[提示] 由3>2不能推出3＋i>2＋i，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小．
2．若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足什么条件？
[提示] 若复数z＝a＋bi>0，则实数a，b满足a>0，且b＝0．
(1)－3 [∵z<0，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－9＝0，,m＋1<0，))
∴m＝－3．]
(2)[解] 设a是原方程的实根，则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0，
所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，
所以a＝－eq \f(1,2)且eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(1,2)＋3m＝0，所以m＝eq \f(1,12)．
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
提醒：若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数．
eq \([跟进训练])
3．已知x，y∈R，i为虚数单位，且(x－2)＋yi＝－1＋i，则x＋y＝________．
2 [∵(x－2)＋yi＝－1＋i，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝－1，,y＝1，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))∴x＋y＝2．]
4．若x＝1是方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0的实数根，求复数m的值．
[解] 由题意可知，1＋1－2i ＋3m－i＝0，
即m＝－eq \f(2,3)＋i．
1．复数(2＋eq \r(3))i的实部是( )
A．2 B．eq \r(3) C．2＋eq \r(3) D．0
D [复数(2＋eq \r(3))i的实部是0，故选D．]
2．“a＝－2”是“复数z＝(a2－4)＋(a＋1)i(a，b∈R)为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A [当a＝－2时，z＝(22－4)＋(－2＋1)i＝－i是纯虚数；z为纯虚数时，a2－4＝0，且a＋1≠0，即a＝±2．
∴“a＝－2”可以推出“z为纯虚数”，反之不成立．故选A．]
3．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )
A．eq \r(2)，1 B．eq \r(2)，5 C．±eq \r(2)，5 D．±eq \r(2)，1
C [令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝2，,－2＋b＝3，))得a＝±eq \r(2)，b＝5．]
4．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x，y的值分别为________．
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1,y＝－1)) [∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－y2＝0，,2xy＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1.))]
5．如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞0，则实数m的值为________．
2 [因为当两个复数都是实数时，才能比较大小．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2－1＞0，,m2－2m＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＞1或m＜－1，,m＝0或m＝2))⇒m＝2．
所以m＝2时，(m2－1)＋(m2－2m)i＞0．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)复数的定义是什么？如何表示？
(2)复数相等的充要条件是什么？
(3)复数的分类是什么？复数、实数、虚数之间有什么关系？
学 习 任 务
核 心 素 养
1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．(重点)
2．理解复数的概念、表示法及相关概念．(重点)
3．掌握复数的分类及复数相等的充要条件．(重点、易混点)
1．通过学习数系的扩充，培养逻辑推理的素养．
2．借助复数的概念，提升数学抽象的素养．