第7章复数7.2.1复数的加减运算及其几何意义学案含解析

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7.2　复数的四则运算7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义乘飞机从上海到香港约2.5小时，从香港到台北约4小时，因此从上海经香港转航到台北约6.5小时．在两岸同胞的共同努力下，现在实现两岸直航，上海到台北只需约1.5小时，比直航前节省约5小时，有关航行节时的多少，体现了实数集内的代数运算．问题：复数集内可进行复数的四则运算吗？知识点1　复数的加、减运算1．复数加法、减法的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则有：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i．2．复数加法的运算律设z1，z2，z3∈C，则有：交换律：z1＋z2＝z2＋z1；结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)复数加法的运算法则类同于实数的加法法则． (　　)(2)复数与复数相加减后结果为复数． (　　)[答案]　(1)√　(2)√2．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝(　　)A．8i　　　B．6　　　C．6＋8i　　　D．6－8iB　[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6．]3．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)A．－1＋i B．1－i C．i D．－iA　[(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i．故选A．]知识点2　复数加减法的几何意义如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为eq \o(OZ,\s\up7(→))1，eq \o(OZ,\s\up7(→))2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量eq \o(OZ,\s\up7(→))与复数z1＋z2对应，向量eq \o(Z2Z1,\s\up7(→))与复数z1－z2对应．类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？[提示]　|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．4．已知向量eq \o(OZ,\s\up7(→))1对应的复数为2－3i，向量eq \o(OZ,\s\up7(→))2对应的复数为3－4i，则向量eq \o(Z1Z2,\s\up7(→))对应的复数为________．1－i　[eq \o(Z1Z2,\s\up7(→))＝eq \o(OZ2,\s\up7(→))－eq \o(OZ1,\s\up7(→))＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i．] 类型1　复数代数形式的加、减运算【例1】　(对接教材P76例1)(1)计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,2)i))＋(2－i)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－\f(3,2)i))；(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z．[解]　(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,2)i))＋(2－i)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－\f(3,2)i))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋2－\f(4,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1＋\f(3,2)))i＝1＋i．(2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i．法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i．解决复数加、减运算的思路两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减)．eq \o([跟进训练])1．(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________．(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________．(1)－2－i　(2)eq \r(2)　[(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i．(2)z1－z2＝[(3x－4y)＋(y－2x)i]－[(－2x＋y)＋(x－3y)i]＝[(3x－4y)－(－2x＋y)]＋[(y－2x)－(x－3y)]i＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5x－5y＝5，,－3x＋4y＝－3，))解得x＝1，y＝0，所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，则z1＋z2＝1－i，所以|z1＋z2|＝eq \r(2)．] 类型2　复数代数形式加、减运算的几何意义【例2】　(1)复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝eq \r(2)．则|z1－z2|＝________．(2)如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：①eq \o(AO,\s\up7(→))所表示的复数，eq \o(BC,\s\up7(→))所表示的复数；②对角线eq \o(CA,\s\up7(→))所表示的复数；③对角线eq \o(OB,\s\up7(→))所表示的复数及eq \o(OB,\s\up7(→))的长度．(1)eq \r(2)　[由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝eq \r(2)，知z1，z2，z1＋z2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z1－z2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z1－z2|＝eq \r(2)．](2)[解]　①eq \o(AO,\s\up7(→))＝－eq \o(OA,\s\up7(→))，∴eq \o(AO,\s\up7(→))所表示的复数为－3－2i．∵eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \o(AO,\s\up7(→))，∴eq \o(BC,\s\up7(→))所表示的复数为－3－2i．②∵eq \o(CA,\s\up7(→))＝eq \o(OA,\s\up7(→))－eq \o(OC,\s\up7(→))，∴eq \o(CA,\s\up7(→))所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i．③对角线eq \o(OB,\s\up7(→))＝eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(OC,\s\up7(→))，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i, |eq \o(OB,\s\up7(→))|＝eq \r(12＋62)＝eq \r(37)．利用复数加、减运算的几何意义解题有哪些技巧？[提示]　(1)形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．(2)数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．eq \o([跟进训练])2．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．[解]　设复数z1，z2，z3在复平面内所对应的点分别为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图．则eq \o(AD,\s\up7(→))＝eq \o(OD,\s\up7(→))－eq \o(OA,\s\up7(→))＝(x，y)－(1,2)＝(x－1，y－2)．eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \o(OC,\s\up7(→))－eq \o(OB,\s\up7(→))＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)．∵eq \o(AD,\s\up7(→))＝eq \o(BC,\s\up7(→))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1＝1，,y－2＝－3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1，))故点D对应的复数为2－i． 类型3　复数模的最值问题【例3】　(1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　)A．1　　　　B．eq \f(1,2)　　　　C．2　　　　D．eq \r(5)(2)若复数z满足|z＋eq \r(3)＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．1．满足|z|＝1的所有复数z对应的点组成什么图形？[提示]　满足|z|＝1的所有复数z对应的点在以原点为圆心，半径为1的圆上．2．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点组成什么图形？[提示]　∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．(1)A　[设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2, |Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2．问题转化为动点Z在线段Z1Z2上移动，则求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1．所以|z＋i＋1|min＝1．](2)[解]　如图所示， 设eq \o(OM,\s\up7(→))＝－eq \r(3)－i，则|eq \o(OM,\s\up7(→))|＝eq \r(－\r(3)2＋－12)＝2．所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1． |z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.eq \o([跟进训练])3．已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值．[解]　因为|z|＝1且z∈C，作图如图：所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝2eq \r(2)－1．1．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为(　　)A．1＋i　　　B．2＋i　　　C．3　　　D．－2－iD　[由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2＋a＝0，,b＋1＝0，)) 得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1.)) ∴a＋bi＝－2－i．]2．已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为(　　)A．1 B．2 C．－2 D．－2或1C　[由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－2＋a＝0，,a2－3a＋2≠0，)) 得a＝－2．]3．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________．5　[|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝eq \r(32＋42)＝5．]4．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________．－1　[z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－a－2＝0，,a2＋a－6≠0，))解得a＝－1．]5．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是eq \o(OA,\s\up7(→))与eq \o(OB,\s\up7(→))，其中O是原点，则向量eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(OB,\s\up7(→))＝________，则eq \o(BA,\s\up7(→))对应的复数为________，A，B两点间的距离为________．2　－8－2i　2eq \r(17)　[向量eq \o(OA,\s\up7(→))＋eq \o(OB,\s\up7(→))对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2．∵eq \o(BA,\s\up7(→))＝eq \o(OA,\s\up7(→))－eq \o(OB,\s\up7(→))，∴向量eq \o(BA,\s\up7(→))对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i．∴A，B两点间的距离为|－8－2i|＝eq \r(－82＋－22)＝2eq \r(17)．]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)复数加法、减法的运算律是什么？复数的加法满足哪些运算律？(2)复数的加法、减法的几何意义是什么？(3)如何利用数形结合思想求复数模的最值？学 习 任 务核 心 素 养1．掌握复数代数形式的加、减运算法则．(重点)2．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(易错点)1．通过复数代数形式的加、减运算的几何意义，培养数学直观的素养．2．借助复数代数形式的加、减运算，提升数学运算的素养．