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第9章统计章末综合提升学案含解析
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这是一份第9章统计章末综合提升学案含解析，共10页。
第九章 类型1 抽样方法1．高考对抽样方法考查的热点有二：一是两种抽样方法的判断问题，这就要求熟练地掌握两种抽样方法的特征；二是关于分层随机抽样的样本容量的计算问题，特别与其他的问题结合在一起的问题要引起重视．2．应用各种抽样方法抽样时要注意以下问题：(1)利用抽签法时要注意把号签放在不透明的容器中且搅拌均匀；(2)利用随机数法时注意编号位数要一致；(3)在分层随机抽样中，若在某一层按比例应该抽取的个体数不是整数，应在该层剔除部分个体，使抽取个体数为整数．【例1】 (1)利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为eq \f(1,3)，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,3) C．eq \f(5,14) D．eq \f(10,27)(2)假设要检查某企业生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500袋牛奶按000,001，…，499进行编号，使用随机数表中各个5位数组的后3位，选定第7行第5组数开始，取出047作为抽取的代号(从左向右读取数字)，随后抽到的5袋牛奶的号码分别是(下面摘取了某随机数表第7行至第9行)____________________．84421 75331 57245 50688 77047 44767 2176335025 83921 20676 63016 47859 16955 5671998105 07185 12867 35807 44395 23879 33211(1)C (2)025,016,105,185,395 [(1)根据题意，eq \f(9,n－1)＝eq \f(1,3)，解得n＝28．故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为eq \f(10,28)＝eq \f(5,14)．(2)由已知读取号码的初始值为第7行第5组数中的后3位，第一个号码为047．凡不在000～499中的数跳过去不取，前面已经取过的也跳过去不取，从而随后抽到的5袋牛奶的编号为025,016,105,185,395．]eq \o([跟进训练])1．某学校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层随机抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，若女学生一共抽取了80人，则n的值为( )A．193 B．192 C．191 D．190B [1 000×eq \f(n,200＋1 200＋1 000)＝80，求得n＝192．]2．某品牌白酒公司在甲、乙、丙三个地区分别有30个、120个、180个代理商．公司为了调查白酒销售的情况，需从这330个代理商中抽取一个容量为11的样本，记这项调查为①；在甲地区有10个特大型超市代理销售该品牌的白酒，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②．则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是__________________________．分层随机抽样，简单随机抽样 [由于甲、乙、丙三个地区有明显差异，所以在完成①时，需用分层随机抽样．在甲地区有10个特大型超市代理销售该品牌的白酒，没有显著差异，所以完成②宜采用简单随机抽样．] 类型2 频率分布直方图及应用1．频率分布直方图是高考的热点之一，难度比较小，考查根据频率分布直方图读取需要的数据，能够计算数字特征以及事件的概率，进而作出相应推断．2．解题常见结论：(1)频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示eq \f(频率,组距)，频率＝组距×eq \f(频率,组距)．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1．(2)eq \f(频数,样本量)＝频率，此关系式变形为eq \f(频数,频率)＝样本量，样本量×频率＝频数．【例2】 某花木公司为了调查某种树苗的生长情况，抽取了一个容量为100的样本，测得树苗的高度(cm)数据的分组及相应频数如下：[107,109)，3株；[109,111), 9株；[111,113)，13株；[113,115)，16株；[115,117)，26株；[117,119)，20株；[119,121)，7株；[121,123)，4株；[123,125]，2株．(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)据上述图表，估计数据在[109,121)范围内的可能性是百分之几？[解] (2)频率分布直方图如下：(3)由上述图表可知数据落在[109,121)范围内的频率为：0.94－0.03＝0.91，即数据落在[109,121)范围内的可能性是91%．在本例中由得到的频率分布直方图估计树苗的高度(cm)的平均数．[解] 由频率分布直方图可得树苗的高度(cm)的平均数的估计值为0.03×108＋0.09×110＋0.13×112＋0.16×114＋0.26×116＋0.20×118＋0.07×120＋0.04×122＋0.02×124＝115.46(cm)eq \o([跟进训练])3．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a＝________．若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为________．0.030 3 [∵0.005×10＋0.035×10＋a×10＋0.020×10＋0.010×10＝1，∴a＝0.030．设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生分别有x，y，z人，则eq \f(x,100)＝0.030×10，解得x＝30．同理，y＝20，z＝10．故从[140,150]的学生中选取的人数为eq \f(10,30＋20＋10)×18＝3．] 类型3 数据的集中趋势和离散程度的估计1．这类题目大多直接根据已知数字特征，如众数、中位数、平均数以及方差等的意义进行计算，考查学生对样本数字特征意义的理解，难度不大．2．解答这类利用数字特征估计总体的问题时要认真审题，注意平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义的合理运用．【例3】 (2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70．(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．[解] (1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35．b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10．(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05．乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00．eq \o([跟进训练])4．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为( )A．3 B．eq \f(2\r(10),5) C．3 D．eq \f(8,5)B [∵eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(100＋40＋90＋60＋10,100)＝3，∴s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq \o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq \o(x,\s\up6(－)))2]＝eq \f(1,100)(20×22＋10×12＋30×12＋10×22)＝eq \f(160,100)＝eq \f(8,5)⇒s＝eq \f(2\r(10),5)．]5．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84；乙：92 95 80 75 83 80 90 85．(1)求甲成绩的80%分位数；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．[解] (1)把甲的成绩按照从小到大的顺序排列可得：78 79 81 82 84 88 93 95因为一共有8个数据，所以8×80%＝6.4，不是整数，所以甲成绩的80%分位数是第7个数据93．(2)eq \o(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,8)(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，eq \o(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,8)(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85．seq \o\al(2,甲)＝eq \f(1,8)[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，seq \o\al(2,乙)＝eq \f(1,8)[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41，∵eq \x\to(x)甲＝eq \x\to(x)乙，seq \o\al(2,甲)
第九章 类型1 抽样方法1．高考对抽样方法考查的热点有二：一是两种抽样方法的判断问题，这就要求熟练地掌握两种抽样方法的特征；二是关于分层随机抽样的样本容量的计算问题，特别与其他的问题结合在一起的问题要引起重视．2．应用各种抽样方法抽样时要注意以下问题：(1)利用抽签法时要注意把号签放在不透明的容器中且搅拌均匀；(2)利用随机数法时注意编号位数要一致；(3)在分层随机抽样中，若在某一层按比例应该抽取的个体数不是整数，应在该层剔除部分个体，使抽取个体数为整数．【例1】 (1)利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为eq \f(1,3)，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,3) C．eq \f(5,14) D．eq \f(10,27)(2)假设要检查某企业生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500袋牛奶按000,001，…，499进行编号，使用随机数表中各个5位数组的后3位，选定第7行第5组数开始，取出047作为抽取的代号(从左向右读取数字)，随后抽到的5袋牛奶的号码分别是(下面摘取了某随机数表第7行至第9行)____________________．84421 75331 57245 50688 77047 44767 2176335025 83921 20676 63016 47859 16955 5671998105 07185 12867 35807 44395 23879 33211(1)C (2)025,016,105,185,395 [(1)根据题意，eq \f(9,n－1)＝eq \f(1,3)，解得n＝28．故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为eq \f(10,28)＝eq \f(5,14)．(2)由已知读取号码的初始值为第7行第5组数中的后3位，第一个号码为047．凡不在000～499中的数跳过去不取，前面已经取过的也跳过去不取，从而随后抽到的5袋牛奶的编号为025,016,105,185,395．]eq \o([跟进训练])1．某学校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层随机抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，若女学生一共抽取了80人，则n的值为( )A．193 B．192 C．191 D．190B [1 000×eq \f(n,200＋1 200＋1 000)＝80，求得n＝192．]2．某品牌白酒公司在甲、乙、丙三个地区分别有30个、120个、180个代理商．公司为了调查白酒销售的情况，需从这330个代理商中抽取一个容量为11的样本，记这项调查为①；在甲地区有10个特大型超市代理销售该品牌的白酒，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②．则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是__________________________．分层随机抽样，简单随机抽样 [由于甲、乙、丙三个地区有明显差异，所以在完成①时，需用分层随机抽样．在甲地区有10个特大型超市代理销售该品牌的白酒，没有显著差异，所以完成②宜采用简单随机抽样．] 类型2 频率分布直方图及应用1．频率分布直方图是高考的热点之一，难度比较小，考查根据频率分布直方图读取需要的数据，能够计算数字特征以及事件的概率，进而作出相应推断．2．解题常见结论：(1)频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示eq \f(频率,组距)，频率＝组距×eq \f(频率,组距)．频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1．(2)eq \f(频数,样本量)＝频率，此关系式变形为eq \f(频数,频率)＝样本量，样本量×频率＝频数．【例2】 某花木公司为了调查某种树苗的生长情况，抽取了一个容量为100的样本，测得树苗的高度(cm)数据的分组及相应频数如下：[107,109)，3株；[109,111), 9株；[111,113)，13株；[113,115)，16株；[115,117)，26株；[117,119)，20株；[119,121)，7株；[121,123)，4株；[123,125]，2株．(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)据上述图表，估计数据在[109,121)范围内的可能性是百分之几？[解] (2)频率分布直方图如下：(3)由上述图表可知数据落在[109,121)范围内的频率为：0.94－0.03＝0.91，即数据落在[109,121)范围内的可能性是91%．在本例中由得到的频率分布直方图估计树苗的高度(cm)的平均数．[解] 由频率分布直方图可得树苗的高度(cm)的平均数的估计值为0.03×108＋0.09×110＋0.13×112＋0.16×114＋0.26×116＋0.20×118＋0.07×120＋0.04×122＋0.02×124＝115.46(cm)eq \o([跟进训练])3．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如图)．由图中数据可知a＝________．若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为________．0.030 3 [∵0.005×10＋0.035×10＋a×10＋0.020×10＋0.010×10＝1，∴a＝0.030．设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生分别有x，y，z人，则eq \f(x,100)＝0.030×10，解得x＝30．同理，y＝20，z＝10．故从[140,150]的学生中选取的人数为eq \f(10,30＋20＋10)×18＝3．] 类型3 数据的集中趋势和离散程度的估计1．这类题目大多直接根据已知数字特征，如众数、中位数、平均数以及方差等的意义进行计算，考查学生对样本数字特征意义的理解，难度不大．2．解答这类利用数字特征估计总体的问题时要认真审题，注意平均数、标准差、最大值、中位数的定义和意义的合理运用．【例3】 (2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70．(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．[解] (1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35．b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10．(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05．乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00．eq \o([跟进训练])4．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为( )A．3 B．eq \f(2\r(10),5) C．3 D．eq \f(8,5)B [∵eq \o(x,\s\up6(－))＝eq \f(100＋40＋90＋60＋10,100)＝3，∴s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq \o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq \o(x,\s\up6(－)))2]＝eq \f(1,100)(20×22＋10×12＋30×12＋10×22)＝eq \f(160,100)＝eq \f(8,5)⇒s＝eq \f(2\r(10),5)．]5．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84；乙：92 95 80 75 83 80 90 85．(1)求甲成绩的80%分位数；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．[解] (1)把甲的成绩按照从小到大的顺序排列可得：78 79 81 82 84 88 93 95因为一共有8个数据，所以8×80%＝6.4，不是整数，所以甲成绩的80%分位数是第7个数据93．(2)eq \o(x,\s\up6(－))甲＝eq \f(1,8)(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，eq \o(x,\s\up6(－))乙＝eq \f(1,8)(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85．seq \o\al(2,甲)＝eq \f(1,8)[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，seq \o\al(2,乙)＝eq \f(1,8)[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41，∵eq \x\to(x)甲＝eq \x\to(x)乙，seq \o\al(2,甲)
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