第10章概率10.1.1有限样本空间与随机事件学案含解析

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10.1　随机事件与概率10.1.1　有限样本空间与随机事件观察几幅图片：事件一：常温下石头在一天内被风化．事件二：木柴燃烧产生热量．事件三：射击运动员射击一次中十环．问题：以上三个事件一定会发生吗？知识点1　有限样本空间1．随机试验的概念和特点(1)随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，常用字母E来表示．(2)随机试验的特点：①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．2．样本点和样本空间观察随机试验时，其可能出现的结果的数量一定是有限的吗？[提示]　不一定，也可能是无限的．如在实数集中，任取一个实数．1．下列现象中，是随机现象的有(　　)①在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆．②若a为整数，则a＋1为整数．③发射一颗炮弹，命中目标．④检查流水线上一件产品是合格品还是次品．A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个C　[当a为整数时，a＋1一定为整数，是确定性现象，其余3个均为随机现象．]2．从数字1,2,3中任取两个数字，则该试验的样本空间Ω＝________．{12,13,23}　[从数字1,2,3中任取两个数字，共有3个结果：(1,2)，(1,3)，(2,3)，所以Ω＝(1,2)，(1,3)，(2,3)．]知识点2　随机事件3．从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必然事件是(　　)A．3件都是正品B．至少有1件次品C．3件都是次品D．至少有1件正品D　[将抽到正品记为1，次品记为0，则样本空间Ω＝{(1,1,0)，(1,0,0)，(1,1,1)}，因此至少有1件正品为必然事件．]4．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①“在这200件产品中任意选9件，全部是一级品”；②“在这200件产品中任意选9件，全部都是二级品”；③“在这200件产品中任意选9件，不全是一级品”．其中________是随机事件；________是不可能事件．(填上事件的编号)①③　②　[因为二级品只有8件，故9件产品不可能全是二级品，所以②是不可能事件．] 类型1　事件类型的判断【例1】　下列事件：①任取一个整数，被2整除；②小明同学在某次数学测试中成绩一定不低于120分；③甲、乙两人进行竞技比赛，甲的实力远胜于乙，在一次比赛中甲一定获胜；④当圆的半径变为原来的2倍时，圆的面积是原来的4倍．其中随机事件的个数是(　　)A．1　　　　B．3　　　　C．0　　　　D．4B　[①②③均是可能发生也可能不发生的事件，为随机事件，④是一定发生的事件，为必然事件．故选B．]判断一个事件是哪类事件要看两点一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．eq \o([跟进训练])1．指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；(2)三角形的内角和为180°；(3)没有空气和水，人类可以生存下去；(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；(5)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签．[解]　(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．(2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．(5)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件． 类型2　确定试验的样本空间　样本点、样本空间【例2】　指出下列试验的样本空间：(1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；(2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差．1．如何确定试验的样本空间？[提示]　确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．2．写试验的样本空间要注意些什么？[提示]　要考虑周全，应想到试验的所有可能的结果，避免发生遗漏和出现多余的结果．[解]　(1)样本空间Ω＝{(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，黑球)}．(2)由题意可知： 1－3＝－2,3－1＝2，1－6＝－5,6－1＝5，1－10＝－9,10－1＝9，3－6＝－3,6－3＝3，3－10＝－7,10－3＝7，6－10＝－4,10－6＝4．即试验的样本空间Ω＝{－2,2，－5,5，－9,9，－3,3，－7,7，－4,4}．1．求本例(2)中试验的样本点的总数．[解]　样本点的总数为12．2．求本例(2)中满足“两个数的差大于0”的样本点有哪些？[解]　满足“两个数的差大于0”的样本点有：2,5,9,3,7,4，共6个．3．在本例(1)中，从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取1个小球，记下颜色后放回，连续取两次，指出试验的样本空间．[解]　样本空间Ω＝{(红球，红球)，(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，白球)，(白球，红球)，(白球，黑球)，(黑球，黑球)，(黑球，白球)，(黑球，红球)}．4．在本例(2)中，从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)分别作为平面内点的纵、横坐标，指出试验的样本空间．[解]　由题意可知：样本空间Ω＝{(1,3)，(1,6)，(1,10)，(3,1)，(3,6)，(3,10)，(6,1)，(6,3)，(6,10)，(10,1)，(10,3)，(10,6)}．　事件与样本空间【例3】　同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)(不考虑指针落在分界线上的情况)．①　　　　　　　②(1)写出这个试验的样本空间；(2)写出事件A：“x＋y＝5”和事件B：“x<3且y>1”的集合表示；(3)说出事件C＝{(1,4)，(2,2)，(4,1))，D＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)}所表示的含义．[解]　(1)这个试验的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．(2)事件A＝{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}；事件B＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)}．(3)事件C表示“xy＝4”，事件D表示“x＝y”．随机事件与样本空间问题的解题策略(1)用样本点表示随机事件，首先弄清试验的样本空间，不重不漏列出所有的样本点．然后找出满足随机事件要求的样本点，从而用这些样本点组成的集合表示随机事件．(2)随机事件可以用文字表示，也可以将事件表示为样本空间的子集，后者反映了事件的本质，且更便于今后计算事件发生的概率．eq \o([跟进训练])2．甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)．(1)写出样本空间；(2)用集合表示事件“甲赢”；(3)用集合表示事件“平局”．[解]　(1)Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}．(2)记“甲赢”为事件A，则A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．(3)记“平局”为事件B，则B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．1．下列事件不是随机事件的是(　　)A．东边日出西边雨　　　 B．下雪不冷化雪冷C．清明时节雨纷纷 D．梅子黄时日日晴B　[B是必然事件，其余都是随机事件．]2．(多选题)下列试验是随机事件的是(　　)A．当x是实数时，x－|x|＝2B．某班一次数学测试，及格率低于75%C．从分别标有0,1,2,3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数D．体育彩票某期的特等奖号码BCD　[由随机事件的定义知BCD是随机事件．]3．依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是(　　)A．第一枚是3点，第二枚是1点B．第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二枚是3点或两枚都是2点C．两枚都是4点D．两枚都是2点B　[依次投掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二枚是3点或两枚都是2点．故选B．]4．在1,2,3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于5”这一事件是(　　)A．必然事件 B．不可能事件C．随机事件 D．以上选项均有可能A　[从1,2,3，…，10这十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字和的最小值为1＋2＋3＝6，∴事件“这三个数字的和大于5”一定会发生，∴由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件．故选A．]5．从a，b，c，d中任取两个字母，写出该试验的样本空间及其包含的样本点数．[解]　该试验的结果中，含a的有ab，ac，ad；不含a，含b的有bc，bd；不含a，b，含c的有cd，∴Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}，即该试验的样本点数为6．回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)随机试验的概念、特点是什么？(2)样本点、样本空间及随机事件的定义是什么？(3)如何区分随机事件、必然事件和不可能事件？学 习 任 务核 心 素 养1．结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义．(重点)2．理解随机事件与样本点的关系．(重点、难点)1．通过对随机事件、必然事件、不可能事件概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过写出试验的样本空间，培养数学建模素养．定义字母表示样本点我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点用ω表示样本点样本空间全体样本点的集合称为试验E的样本空间用Ω表示样本空间有限样本空间如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}随机事件我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生必然事件Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件不可能事件空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件