高中数学7.2 复数的四则运算教学设计

这是一份高中数学7.2 复数的四则运算教学设计，共8页。


教学基本信息
课题
7．2.1复数的加、减运算及其几何意义
学科
数学
学段： 高中
年级
高一
教材
书名：普通高中教科书《数学》必修第二册
出版社： 人民教育出版社 出版日期：2019 年6 月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
1、知识与技能目标：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义。
2、过程与方法目标：在问题探究过程中，体会和学习类比，数形结合等数学思想方法，感悟运算形成的基本过程。
3、情感、态度与价值观目标：通过探究学习,培养学生观察、理解、推理论证的能力。在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神.
教学重点：理解和掌握复数加减运算的两种运算形式及加法运算律，准确进行加减运算，初步运用加减法的几何意义解决简单问题。
教学难点：复数加减法的几何意义及其应用
教学方法：探究法
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
复习回顾
教师：复数产生的背景:为了解决方程在实数范围无解的问题,引入了虚数单位;引入虚数单位后，方程无解的问题得意解决，而数集也随之扩大，实数集扩大到复数集。
复习
1．什么是复数？对于形如的数叫做复数。其中叫做虚数单位，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部，
2.两个复数相等的条件是什么？
当且仅当
3．复数几何意义
4．复数的模：，从几何上来看复数的模表示点到原点的距离。
通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫.
新课
探究
师：我们知道实数有加、减、乘、除等运算，且有运算律：
加法：
乘法：

那么，复数是否也具有这些运算及其运算律呢？
探究一:复数的加法
复数的加法法则
我们规定,复数的加法法则如下:
设，()是任意两个复数,那么：
提出问题：
()两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗?
()当时,与实数加法法则一致吗?
()它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法?
学生明确:
()两个复数的和仍然是个复数,且是一个确定的复数，它可以推广到多个复数相加;
()当时, 复数的加法与实数加法法则一致;
()实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项．
师：实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗?
对任意的,有
（交换律）,
（结合律）.
证明：设，()



∴.
同理可证
因此复数的加法满足交换律、结合律，即
对任意的,有
（交换律）,
（结合律）.
师：我们规定了复数的加法法则，复数的减法法则又该如何呢？
类比复数的加法法则,你能试着推导复数减法法则吗?
复数的减法法则。
探究二:复数的减法
类比实数减法的意义，我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足

的复数叫做复数减去复数的差,记作.
根据复数相等的定义,有
,
因此 ,
所以 ,
即 .
两个复数的差是一个确定的复数. 这就是复数的减法法则,
因此复数的减法法则为：
设，则
提醒：我们在推导两个复数减法的运算法则时，应用了待定系数法，即，这种方法也是确定未知复数实部与虚部经常用的一种方法.
归纳总结：
（1）两个复数的和与差仍然是个复数,且是一个确定的复数。
（2）两个复数的和与差实质是实部与实部相加减作为实部, 虚部与虚部相加减作为虚部,类似于实数运算中的合并同类项；
（3）复数的加、减法与实数加、减法法则一致，且加法满足实数的运算率。
我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量有一一对
应的关系。而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此
出发讨论复数加法的几何意义吗？
设及分别与复数复数对应，
则，由平面向量的坐标运算法则，
得
而
这说明两个向量与的和就是与复数
对应的向量。
由图可以看出，以与为邻边的平行四边形，
其对角线所表示的向量就是复数。
因此复数的加法与向量的加法相对应,复数加法可以按照向量的
加法来进行(如图）,这就是复数加法的几何意义.
师：类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？
y
O
x
探究四:复数减法运算的几何意义：
设及分别与复数对应，
则，，
=-=
这说明两个向量于的差向量 就是与复数
对应的向量。因此复数的减法与向量的减法
相对应,复数减法可以按照向量的减法来进行(如图）, 这
就是复数减法的几何意义.
说明:的几何意义就是复数对应复平面上两点间的距离。
在复平面上，这个结论你能证明吗？
加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣．
提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力．
复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了转化的数学思想方法,是学生体会数学思想的素材.考查学生的类比思想,提高学生主动发现问题,探究问题的能力．
加深对复数加(减)法法则的理解,从不同的角度总结,既学到知识,又学到了数学方法,使知识更加系统化,学生的思维将上升到一个更高的层面,为准确地运用新知,作必要的铺垫.培养学生的归纳概括能力,
通过向量的知识,让学生体会从数形结合的角度来认识复数的加减法法则,训练学生的形象思维能力,加深复数几何意义的理解，也培养了学生的数形结合思想.
复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了转化的数学思想方法.
例题
例1.（1）已知复数，试求它们的和

（2）计算：;
（详解见PPT）
变式训练
（1）若,求复数；
（2）已知复数
；
（3）已知复数满足,求复数.
（详解见PPT）
例2 根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点之间的距离。
（详解见PPT）
例3 已知复平面内一平行四边形AOBC的点A、O、B对应复
数是 -3+2i ，0 , 2+i，求：
① 点C对应的复数； ② 向量对应的复数；
③ A，B两点间的距离。
（详解见PPT）
在巩固复数加、减运算。
变式（1）意在巩固减法是加法的逆运算；（2）（3）在渗透待定系数法，把复数问题实数化。 三个变式既复习了概念,又锻炼了学生的计算能力和解决问题的能力
例2利用复数及其几何意义研究复平面内两点的距离问题，将复平面内两点之间的距离转化为，使得几何问题代数化。
例3巩固复数的几何意义,加深对几何意义的理解。
总结
（1）复数代数形式的加法、减法的运算法则。
复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减;
（2）复数加法减法的几何意义.
复数的加法可以按照向量的加法（平行四边形法则）来进行，复数的减法可以按照向量的减法（三角形法则）来进行。
通过课堂小结,增强学生对复数代数形式的加法、减法的运算法则及几何意义的理解, 引导学生自我反馈、自我总结,并对所学知识进行提炼升华,使知识系统化.让学生学会学习,学会内化知识的方法与经验,促进学习目标的完成.
作业
1.计算
2．向量对应的复数是,分别作出下列运算的结果对应的向量；
3．四边形ABCD是复平面内的
平行四边形，A，B，C三点
对应的复数分别是1+3i ，-i ,
2+i，求点D对应的复数.