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人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行教案设计
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行教案设计，共7页。教案主要包含了情景引入，探究新知，例题精讲，巩固练习，课堂小结，课时作业等内容，欢迎下载使用。
教学基本信息
课题
8.5.1直线与直线平行
学科
数学
学段： 高中
年级
高一
教材
书名： 普通高中教科书 数学 必修第二册（A版）
出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019 年 6月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
1．通过观察与类比理解基本事实4，并会用其解决两直线平行问题；
2．通过类比平面几何中的等角定理，探究并理解空间等角定理，并会用定理解决角相等或互补问题.
教学难点及支持条件：
1．教学重点： 平行线的传递性和等角定理.
2．教学难点：应用基本事实4和等角定理解决问题.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
一、情景引入
在平面几何的学习中，我们研究过两条直线的位置关系，重点研究了两条直线平行，得到了这种特殊位置关系的性质，以及判定两条直线平行的定理．类似地，空间中直线、平面间的平行关系在生产和生活中有着广泛的应用，也是我们要重点研究的内容．从本节课起我们研究空间中直线、平面的平行关系，重点研究这些平行关系的判定和性质．
知识回顾：
（1）平面几何中判断两条直线平行的方法有哪些？
（2）空间三种平行关系的定义；
（3）基本事实及其推论.
【问题1】我们知道，在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线，并且当两条直线都与第三条直线平行时，这两条直线互相平行.在空间中，是否也有类似的结论？
师生活动：
1．引导学生回顾平面几何中两条平行直线的性质.
2．引导学生思考这些在平面几何中成立的性质，推广到空间中，是否还能成立呢？
提出问题，调动学生思考，引入课题.培养学生观察、实验、猜想等合情推理的能力.
二、探究新知
观察：
如图8.5-1，在长方体中，，，
与平行吗？
师生活动：
1.教师布置任务，学生小组合作，观察、猜想、多数同学应该可以发现.
2.学生直观感知、小组交流，用数学语言概括平行线的传递性.
追问：观察你所在的教室，你能找到类似的实例吗？
师生活动：
1.师生布置任务，学生再观察我们所在的教室（图8.5-2），黑板边所在直线和门框所在直线都平行于墙与墙的交线，那么. 师生共同概括总结，这说明空间中的平行直线具有与平面内的平行直线类似的性质.我们把它作为基本事实.
2.学生直观感知、小组交流，用数学语言概括平行线的传递性.
这样，我们就得到了
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行
基本事实4表明，空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行.它给出了判断空间两条直线平行的依据.基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性.
培养学生观察能力、语言表达能力.
三、例题精讲
例 如图8.5-3，空间四边形中，分别是边
的中点.求证：四边形是平行四边形.
分析：要证明四边形是平行四边形，只需证明它的一组对边平行且相等.而分别是∆和∆的中位线，从而它们都与平行且等于的一半.应用基本事实4，即可证明.
追问：在本例中，如果再加上条件，那么四边形是什么图形？
师生活动：
1.引导学生注意空间图形与平面图形之间的联系与区别.
2.学生小组交流，归纳总结，展示成果，教师板书证明过程.
通过动手操作、观察使学生形成对基本事实4的直观感知，然后从理性层面上确认，例题和探究是基本事实4的应用，培养学生的空间想象能力和推理能力.
思考：
在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.在空间中，这一结论是否仍然成立呢？
师生活动：
1.引导学生思考平面图形的情况，不难发现与平面中的情况类似，当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图8.5-4所示的两种位置.
2.学生梳理概括定理内容并试着给出证明.
分析：对于图8.5-4（1），我们可以构造两个全等三角形，使和是它们的对应角，从而证明=.
这样，我们就得到了下面的定理：
定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
由此可以看出，平面中的等角定理推广到空间依然成立，为我们证明空间中两角相等提供了理论依据．
例 填空：
1.如果OA//O′A′ ， OB//O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′ ；
若∠AOB=30°,则∠A′O′B′= ；
2.已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α= 45°，则β= ；
3.“一个角的两边和另一个角的两边分别平行”是“两个角相等”的 条件．
例 正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N 分别是棱CD，AD的中点．求证：
（1）四边形MNA1C1是梯形；
（2）∠DNM =∠D1A1C1．
师生活动：
1.学生结合对基本事实4和等角定理的理解作答，并给出合理解释.
2.教师及时评价并板书证明过程.
【问题2】在本节中，对于平面中两条平行线，如果直线与其中一条直线平行，那么与另一条也平行，这个性质推广到空间中，这个性质依然成立，那么是不是对于平面中的几何性质，推广到空间中是否都成立呢？
首先，判断下列命题的真假：
1.垂直于同一条直线的两条直线平行；
2.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线
也互相平行；
3.四边都相等的四边形是菱形；
4.过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．
师生活动：
1.通过引导学生对上述问题进行思考，看学生能否举出一些可以成立的，再举出一些不能成立的例子.例如，垂直于两条垂直直线中的一条，也垂直于另一条.
2.师生共同总结，对于平面图形中存在的性质，在推广到空间中，能否成立，要经过证明，不能直接使用.
类比初中所学平面内等角定理的学习过程，探究空间等角定理，培养学生的类比迁移能力、空间想象能力和推理能力.
巩固学生对基本事实4和等角定理的理解和应用.
引导学生关注平面图形的性质推广到空间时，有的性质成立，有的性质不成立，不能简单进行推广.
四、巩固练习
1.如图，把一张矩形纸片对折几次，然后打开，得到的折痕互相平行吗？为什么？
2.如图，在长方体中，与棱平行的棱共有几条？分别是什么？
3.如图，不共面，且，.求证：∆≅∆.
4.如图，在四面体中，分别为上的点. 若
，则∆和∆有什么关系？为什么？
5.如图，正方体中，.
求证：,且.
A
B
C
D
B1
C1
D1
E1
E
A1
6.如图， E、E1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1 的棱AB、A1B1的中点，求证：∠BEC=∠B1E1C1．
动手操作、直观感知基本事实4，初步了解平行线的传递性.
进一步理解基本事实4与等角定理.
五、课堂小结
请你回忆得到基本事实4和等角定理的方法和过程，你还有哪些感想和疑惑？
梳理本节课内容，提升学生的语言表达能力.
六、课时作业
如图，在长方体中，面上有一点,怎样过点画一条直线与棱平行？
2.如图，在长方体中，的中点，求证.
近一步巩固本节课所学知识,提升直观想象素养和逻辑推理素养.
教学基本信息
课题
8.5.1直线与直线平行
学科
数学
学段： 高中
年级
高一
教材
书名： 普通高中教科书 数学 必修第二册（A版）
出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019 年 6月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
1．通过观察与类比理解基本事实4，并会用其解决两直线平行问题；
2．通过类比平面几何中的等角定理，探究并理解空间等角定理，并会用定理解决角相等或互补问题.
教学难点及支持条件：
1．教学重点： 平行线的传递性和等角定理.
2．教学难点：应用基本事实4和等角定理解决问题.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
一、情景引入
在平面几何的学习中，我们研究过两条直线的位置关系，重点研究了两条直线平行，得到了这种特殊位置关系的性质，以及判定两条直线平行的定理．类似地，空间中直线、平面间的平行关系在生产和生活中有着广泛的应用，也是我们要重点研究的内容．从本节课起我们研究空间中直线、平面的平行关系，重点研究这些平行关系的判定和性质．
知识回顾：
（1）平面几何中判断两条直线平行的方法有哪些？
（2）空间三种平行关系的定义；
（3）基本事实及其推论.
【问题1】我们知道，在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线，并且当两条直线都与第三条直线平行时，这两条直线互相平行.在空间中，是否也有类似的结论？
师生活动：
1．引导学生回顾平面几何中两条平行直线的性质.
2．引导学生思考这些在平面几何中成立的性质，推广到空间中，是否还能成立呢？
提出问题，调动学生思考，引入课题.培养学生观察、实验、猜想等合情推理的能力.
二、探究新知
观察：
如图8.5-1，在长方体中，，，
与平行吗？
师生活动：
1.教师布置任务，学生小组合作，观察、猜想、多数同学应该可以发现.
2.学生直观感知、小组交流，用数学语言概括平行线的传递性.
追问：观察你所在的教室，你能找到类似的实例吗？
师生活动：
1.师生布置任务，学生再观察我们所在的教室（图8.5-2），黑板边所在直线和门框所在直线都平行于墙与墙的交线，那么. 师生共同概括总结，这说明空间中的平行直线具有与平面内的平行直线类似的性质.我们把它作为基本事实.
2.学生直观感知、小组交流，用数学语言概括平行线的传递性.
这样，我们就得到了
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行
基本事实4表明，空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行.它给出了判断空间两条直线平行的依据.基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性.
培养学生观察能力、语言表达能力.
三、例题精讲
例 如图8.5-3，空间四边形中，分别是边
的中点.求证：四边形是平行四边形.
分析：要证明四边形是平行四边形，只需证明它的一组对边平行且相等.而分别是∆和∆的中位线，从而它们都与平行且等于的一半.应用基本事实4，即可证明.
追问：在本例中，如果再加上条件，那么四边形是什么图形？
师生活动：
1.引导学生注意空间图形与平面图形之间的联系与区别.
2.学生小组交流，归纳总结，展示成果，教师板书证明过程.
通过动手操作、观察使学生形成对基本事实4的直观感知，然后从理性层面上确认，例题和探究是基本事实4的应用，培养学生的空间想象能力和推理能力.
思考：
在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.在空间中，这一结论是否仍然成立呢？
师生活动：
1.引导学生思考平面图形的情况，不难发现与平面中的情况类似，当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图8.5-4所示的两种位置.
2.学生梳理概括定理内容并试着给出证明.
分析：对于图8.5-4（1），我们可以构造两个全等三角形，使和是它们的对应角，从而证明=.
这样，我们就得到了下面的定理：
定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
由此可以看出，平面中的等角定理推广到空间依然成立，为我们证明空间中两角相等提供了理论依据．
例 填空：
1.如果OA//O′A′ ， OB//O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′ ；
若∠AOB=30°,则∠A′O′B′= ；
2.已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α= 45°，则β= ；
3.“一个角的两边和另一个角的两边分别平行”是“两个角相等”的 条件．
例 正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N 分别是棱CD，AD的中点．求证：
（1）四边形MNA1C1是梯形；
（2）∠DNM =∠D1A1C1．
师生活动：
1.学生结合对基本事实4和等角定理的理解作答，并给出合理解释.
2.教师及时评价并板书证明过程.
【问题2】在本节中，对于平面中两条平行线，如果直线与其中一条直线平行，那么与另一条也平行，这个性质推广到空间中，这个性质依然成立，那么是不是对于平面中的几何性质，推广到空间中是否都成立呢？
首先，判断下列命题的真假：
1.垂直于同一条直线的两条直线平行；
2.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线
也互相平行；
3.四边都相等的四边形是菱形；
4.过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．
师生活动：
1.通过引导学生对上述问题进行思考，看学生能否举出一些可以成立的，再举出一些不能成立的例子.例如，垂直于两条垂直直线中的一条，也垂直于另一条.
2.师生共同总结，对于平面图形中存在的性质，在推广到空间中，能否成立，要经过证明，不能直接使用.
类比初中所学平面内等角定理的学习过程，探究空间等角定理，培养学生的类比迁移能力、空间想象能力和推理能力.
巩固学生对基本事实4和等角定理的理解和应用.
引导学生关注平面图形的性质推广到空间时，有的性质成立，有的性质不成立，不能简单进行推广.
四、巩固练习
1.如图，把一张矩形纸片对折几次，然后打开，得到的折痕互相平行吗？为什么？
2.如图，在长方体中，与棱平行的棱共有几条？分别是什么？
3.如图，不共面，且，.求证：∆≅∆.
4.如图，在四面体中，分别为上的点. 若
，则∆和∆有什么关系？为什么？
5.如图，正方体中，.
求证：,且.
A
B
C
D
B1
C1
D1
E1
E
A1
6.如图， E、E1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1 的棱AB、A1B1的中点，求证：∠BEC=∠B1E1C1．
动手操作、直观感知基本事实4，初步了解平行线的传递性.
进一步理解基本事实4与等角定理.
五、课堂小结
请你回忆得到基本事实4和等角定理的方法和过程，你还有哪些感想和疑惑？
梳理本节课内容，提升学生的语言表达能力.
六、课时作业
如图，在长方体中，面上有一点,怎样过点画一条直线与棱平行？
2.如图，在长方体中，的中点，求证.
近一步巩固本节课所学知识,提升直观想象素养和逻辑推理素养.
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