数学必修 第二册10.1 随机事件与概率第一课时教案

这是一份数学必修 第二册10.1 随机事件与概率第一课时教案，共11页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。


教学基本信息
课题
10.1.1随机事件与概率（第一课时）
学科
数学
学段： 中学
年级
高一
教材
书名： 人教A版数学必修第二册 出版社：人教社 出版日期： 2019年 6月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义；会用集合语言与样本点描述一个随机事件.
结合具体实例，以随机现象数学化为导向，以不同语言的相互转化为手段，经历从随机试验到有限样本空间，再到随机事件这一概念抽象的过程，体现具体到抽象思想方法，发展数学抽象的素养；
在概念抽象的过程中，经历从文字到符号的过渡，提高应用数学语言表达与交流的能力.
教学重点：随机试验的样本空间及随机事件的概念.
教学难点：对于不同背景的随机试验，用适当的符号表示随机试验的结果，列举试验的样本空间.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
引入
今天开始我们一起来学习第十章《概率》， 初中我们已经学习了概率的一些知识，比如随机事件、必然事件、不可能事件，并且学习了在试验结果等可能的情形下求简单随机事件的概率，今天我们就来回顾并进一步的研究概率.
现实中，像日出东方，日落西方，这样的现象在一定条件下能预知结果称为确定性现象.
同时有一些现象，例如买彩票，可能中奖也可能不中奖；抛掷骰子，出现3点可能发生也可能不发生，这样的现象，在一定条件下事先不能预知结果，称它为不确定现象.生活中，不确定现象很多，有些过于复杂，以目前人类的能力，许多毫无规律，无法认知；而有一些不确定现象，现有的能力是可以研究它的规律的，那么如何研究呢？
上一章我们学习的用样本推断总体，当样本量较小时,每次得到的结果往往不同，但如果有足够多的数据，就可以从中发现一些规律.
比如抛掷一枚质地均匀的硬币一次, 出现的结果是具有偶然性的，可能是正面朝上，也可能是反面朝上，但是历史上有人做过这样的试验，大量重复地抛掷一枚硬币，记录下数据. 用折线图直观表示，不难发现，随着试验次数的增多，正面向上的比例在0.5处波动，具有稳定性.
像这样就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性，但在大量重复观测下，各个结果出现的频率却具有稳定性的现象叫做随机现象.
概率论就是研究随机现象数量规律的数学分支.概率是对随机事件发生可能大小的度量.
今天我们在初中的基础上，结合具体实例，继续研究刻画随机事件的方法.
让学生了解到随机现象在我们身边是大量存在的,我们学习有关概率知识的目的之一就是要了解和描述类似的现象；增加学生学习概率的兴趣,了解数学在解决实际问题中的广泛应用；提高学生应用数学知识提出问题、分析问题和解决问题的能力。
新课
引例1.
（1）体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同，分别标号0，1，2，…,9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码；
（2）抛掷一枚质地均匀的硬币，观察它落地时哪一面朝上；
（3）在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命；
二．新课
(一)随机试验.我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（randm experiment），简称试验，常用字母E表示.
问题1.请同学们观察，这三个随机试验具备哪些共同特点？
:体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同，分别标号0，1，2，…,9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码；
:抛掷一枚质地均匀的硬币，观察它落地时哪一面朝上；
:在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命；
随机试验的特点：
（1）试验可以在相同条件下重复进行；
（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
问题2. 你能写出下面随机试验所有的可能结果吗？
:体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同，分别标号0，1，2，…,9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码；
所有结果： “摇出0号球”，“摇出1号球”，…，“摇出9号球” 共有10种
:抛掷一枚质地均匀的硬币，观察它落地时哪一面朝上.
所有结果：“正面朝上”，“反面朝上” 共有2种
师：研究对象是试验的结果，根据集合的定义，可以用集合来表示试验的所有结果
所有的结果：{摇出0号球，摇出1号球，…,摇出9号球}.
所有的结果：{正面朝上，反面朝上}.
（二）样本点与样本空间.
1.把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间. 一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点.
2.有限样本空间：如果一个随机试验有个可能结果则称样本空间为有限样本空间.
师：前面的随机试验和，它们的样本空间就是有限样本空间. 当前，我们只讨论为有限集的情况，将来我们学习选修的内容时，会遇到样本空间为无限集的情况.
问题3：你能将前面的试验和的样本空间中的样本点利用符号表示么？
解：（1）设数字表示“摇出的球的号码为”，则
解：（2）随机试验的样本空间：{正面朝上，反面朝上}.
用数字1表示“正面朝上”，0表示“反面朝上”，则样本空间.
解：（2）用表示“正面朝上”，表示“反面朝上”，则样本空间.
师：通过上面的学习，我们发现写出试验的样本空间一般经历两步：
（1）把样本点先用文字语言描述，并用集合形式表示；
（2）对文字语言描述的结果用更简洁的符号（字母、数字）表示.
后续的学习中，对只有两个可能结果的试验，用0和1表示试验结果是有很多好处的..
例1.抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.
分析：所有可能的结果是出现1点，出现2点，…，出现6点，共6种；
可以将样本点“朝上面的点数”用字母表示，的可能结果是1，2，3，4，5，6.
解：用表示朝上面的“点数为”，
试验的样本空间可以表示为.
例2.（1）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次，观察它落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.
分析：根据试验的描述，我们分析出，连续抛掷两次硬币是一次随机试验，将两次抛掷的结果放在一起，就是这个试验的样本点，这两次抛掷的结果有顺序之分，因此，将第一次抛掷可能的基本结果用表示，第二次抛可能的基本结果用表示，那么试验的样本点可用有序对表示，这里可以利用树状图帮助我们分析（如图）：
解：（1）第一次抛掷可能的基本结果用表示，第二次抛掷可能的基本结果用表示，那么试验的样本点可用表示，则样本空间
={（正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}.
用1表示硬币“正面朝上”，用0表示“反面朝上”，则样本空间.
（2）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷两次，观察它落地时正面朝上的次数，写出试验的样本空间.
分析：不难发现，同样是连续抛掷一枚硬币两次，但是这一次试验的样本点是正面朝上的次数，所以
解：（2）用表示“落地时正面朝上的次数”，则样本空间为数集.
师：这两问的随机试验条件相同，但是由于观察的角度不同，结果是不同的，所以要关注随机试验是如何描述的，分析出试验的目的，准确的表达样本点.
师：有了样本空间，我们就清晰简洁的表示了随机试验的所有可能结果.但往往我们更关注的是随机试验的一些特定的结果，例如，前面讨论的体育彩票摇奖的试验，这10个可能摇出的号码中，我们更加关注哪些是能使我们中奖的号码？中奖的概率有多大？也就是我们更加关心随机事件和它发生的可能性大小，接下来我们来进一步研究随机事件.
问题4：在体育彩票摇号试验中：
摇出“球的号码为奇数”是随机事件吗？
师：初中我们已经学习了随机事件，我们知道，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，很显然，摇出“球的号码为奇数”是随机事件.
追问：如果这个随机事件发生，意味着试验可能出现哪些结果？
师：在一次试验中，摇出的号码是1，3，5，7，9中的任何一个，我们就说这个随机事件发生.
追问：你能否用集合的语言表示这个随机事件？
师：用表示随机事件“球的号码为奇数”，则事件发生等价于摇出的号码属于集合{1，3，5，7，9}；
问题5：在体育彩票摇号试验中：
（1）摇出“球的号码为3的倍数”是随机事件吗？
（2）你能否用集合的语言表示这个随机事件？
师：（1）很显然，这也是一个随机事件；
（2）用表示随机事件“球的号码为3的倍数”，则事件发生等价于摇出的号码属于集合{0，3，6，9}.
师：通过这两个问题，我们发现，和样本空间一样，我们可以用集合的语言来表示一个随机事件发生的结果.
问题6：这两个随机事件的集合与这个随机试验的样本空间有什么关系？
师：这个随机试验的样本空间为.
随机事件“球的号码为奇数”的集合；
随机事件“球的号码为3的倍数”的集合,.
容易看出，这两个随机事件的集合都是这个随机试验的样本空间的子集，即.
因此，我们推断出：一个随机试验中的任何一个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集表示，接下来我们用集合语言来刻画随机事件.
（三）随机事件.
1.定义:一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件.随机事件一般用大写字母,,…表示.
2.把只包含一个样本点的事件称为基本事件.
3.在每次随机试验中，当且仅当随机事件的集合中的某个样本点出现时，称为事件发生.
师：根据随机事件与样本点的关系，你能说说必然事件与不可能事件如何用集合语言表示吗？
4.必然事件：作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件.
5.不可能事件：空集不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生，我们称为不可能事件.
我们看出，可以将必然事件和不可能事件作为随机事件的极端情形，这样每个事件都是样本空间的一个子集.
举出身边熟悉的随机试验例子,为进一步的深入学习、研究随机事件的概率积累素材,引燃学生的思维火花。
【设计意图】鼓励学生先用“正”“反”、再用“1”“0”来描述对应的样本空间，体现数学抽象的层次性，发展学生的核心素养.
例题
例3.如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.
写出试验的样本空间；
用集合表示下列事件：
=“恰好两个元件正常”；
=“电路是通路”；
=“电路是断路”.
分析：（1）这个电路一共有三个电器元件，试验的结果是将三个元件是否正常的结果放到一起，如果用文字语言表示比较麻烦，可以这个试验结果可以抽象成一个三元数组.用1表示每个元件正常，用0表示每个元件不正常.这里情况较多，因此可以利用树状图来帮助我们列举，详细解答过程为：
解：（1）分别用和表示元件A,B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用表示.进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间.
分析：(2)事件发生等价于中恰有“两个1，一个0”的样本点出现
解：（2） “恰好两个元件正常”等价于，且中恰有两个为1，所以.
分析：事件发生意味着元件A一定正常，而元件B和C是并联关系，因此只要一个正常就可以，也就是说B和C至少有一个正常.
解：=“电路是通路”：
“电路是通路”等价于，,且中至少有一个是1，所以.
分析：（3）事件发生，可能情况分为两类，第一类是元件A失效，这时无论B和C是否正常，电路都为断路，第二类是元件A正常，此时B和C都不正常.
解：=“电路是断路”：
“电路是断路”等价于，，或,.所以.
练习：如图，抛掷一红一蓝两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数.
(1)写出试验的样本空间；
(2)用集合表示事件A=“两个点数之和等于8”，B=“至少有一颗骰子的点数为5”，C=“红色骰子上的点数大于4”.
分析：试验是抛掷一红一蓝两颗质地均匀的六面体骰子，试验结果是两枚骰子朝上的点数放到一起，用表示红色骰子的点数，用表示蓝色骰子的点数，用表示一次试验的结果,两颗骰子的点数分别都有六种，因为结果较多，可以用表格来表示如图：第一行表示红色骰子可能出现的点数，第一列表示蓝色骰子可能出现的点数，中间部分表示的是每一次试验可能出现的结果，例如有序数对（3，2）表示红色骰子点数为3，蓝色骰子点数为2的试验结果.利用表格我们可以将所有结果清晰的表达出来.

1
2
3
4
5
6
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
（1，6）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（2，6）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
（3，6）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
（4，6）
5
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
（5，6）
6
（6，1）
（6，2）
（6，3）
（6，4）
（6，5）
（6，6）
师：我们看到，这个试验共有36种可能结果，如果要一一列举出来是非常麻烦的，我们也可以尝试用描述法来表示这个集合.
解：（1）样本空间包含36个样本点，即.
第二问：事件A“两个点数之和等于8”，可以分类讨论，=2,3,4,5,6几种可能，观察表格可以挑选出满足条件的样本点，如图

1
2
3
4
5
6
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
（1，6）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（2，6）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
（3，6）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
（4，6）
5
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
（5，6）
6
（6，1）
（6，2）
（6，3）
（6，4）
（6，5）
（6，6）
解：（2）事件.
事件.
事件
小结：我们认识到，当试验的结果数较多时，采用树状图或者列表表示结果，更加直观清楚，在表示集合的时候可以采用描述法，更加简洁，抽象.
练习:在某届世界杯足球赛上，a,b,c,d四支球队进入了最后的比赛.在第一轮的两场比赛中，a对b,c对d,然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名.比赛的一种最终可能结果记为acbd(表示a胜b,c胜d,a胜c,b胜d).
（1）写出比赛所有可能结果构成的样本空间；
（2）设事件A表示a队获得冠军，写出A包含的所有可能结果；
（3）设事件B表示a队进入冠亚军决赛，写出B包含的所有可能结果.
分析：根据描述，比赛分为两轮，第二轮的比赛受到第一轮结果的影响，先来看第一轮的情况：
第一轮包含a,b和c,d两场比赛，各有两种结果，分别为a胜b,b胜a,c胜d,d胜c，因此第一轮的比赛结果有四种，分别是a胜b，c胜d；a胜b，d胜c；b胜a,c胜d；b胜a，d胜c.接下来进行第二轮比赛的情况讨论，问题比较复杂，为了更加清晰地展示所有情况，我们可以用表格表示，我们不妨以a和b两队的比赛结果分类，分为a胜b和b胜a两类.
每一类又包含c胜d,d胜c两种结果，这时第一轮比赛结束,开始第二轮的比赛，前一轮的胜者争夺冠亚军，负者决出第三名和第四名，用字母的前后顺序代表胜负，因此第二轮的比赛有四种对阵情况，如表格所示，每一种情况下又对应四种比赛的结果，例如：a对c，b对d的可能结果有四种，分别为acbd，acdb，cabd，cadb，其他的几种对阵结果可以类似的写出，因此样本空间包含16个样本点，可以将其一一列举出来.(PPT展示样本空间)
解：（1）
第一轮比赛的对阵及胜负情况
第二轮比赛的对阵情况
可能结果
a胜b
c胜d
a对c, b对d
acbd,acdb,
cabd,cadb
d胜c
a对d, b对c
adbc,adcb ,
dabc ,dacb
b胜a
c胜d
b对c, a对d
bcad,bcda,
cbad,cbda,
d胜c
b对d, a对c
bdac,bdca,
dbac,dbca
所以样本空间包含16个样本点
.
第二问分析：设事件A表示a队获得冠军，写出A包含的所有可能结果；
a队获得冠军的意思是结果中a排在第一位，事件A的集合的样本点是由所有结果中a排在第一位的结果构成的，因此
解：（2）.
第三问分析：第一轮比赛的胜者争夺冠亚军，因此，这个事件的发生代表着
a在第一轮比赛中获胜，对应着表格中第一行和第二行的所有结果（用文本框画出），因此，可以写出事件B的集合.
解：（3）.
师：由这道小题我们看出，写出试验的样本空间需要将随机试验分析清楚，每次试验要分为几个不同的步骤，每一步有几种不同的结果，并用表格或者树状图等清晰的表达出来，注意表示的时候有条理，有逻辑，不重不漏.
总结
师：通过这节课的学习，同学们能谈谈自己在知识和方法上的收获吗？
师：第一，这节课我们认识了随机试验、样本点与样本空间、有限样本空间、随机事件的概念，我们用有限样本空间、随机事件来描述一个随机试验，并且我们把随机事件看作样本空间的子集，这样，我们就能够用数学语言与方法研究随机现象了.
第二，在写出样本空间时我们经历了从文字语言到符号语言的过渡，理解了利用符号语言，也就是字母数字等表示样本点的简洁性，这一过程体现具体到抽象的方法，同时，在写出样本空间时需要借助树状图和表格等方法，体现分类讨论的思想。
课堂小结：
1.
随机试验、样本点与样本空间、有限样本空间、随机事件；
2.具体到抽象（文字语言到符号语言的转化），分类讨论.
作业
人教A版普通高中教科书必修二第229页练习：
1.写出下列各随机试验的样本空间：
(1)采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；
(2)采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO血型；
(3)随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；
(4)射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；
(5)射击靶3次，观察中靶的次数.
解:(1) ={男，女}或令m表示男生，f表示女生，则样本空间为={m,f}.
(2) ={O,A,B,AB}.
(3)用b表示“男孩”，g表示“女孩”，样本空间为Ω={bb,bg,gb,gg}.
(4)每次射击，中靶用1表示，脱靶用0表示，则3次射击的样本空间为
={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}.
(5) ={(0,1,2,3)}.
2.如图，由A,B两个元件分别组成串联电路（图(1))和并联电路(图(2)),观察两个元件正常或失效的情况.
(1)写出试验的样本空间；
(2)对串联电路，写出事件M=“电路是通路”包含的样本点；
(3)对并联电路，写出事件N=“电路是断路”包含的样本点.
解:(1)用1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为
={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.
(2)对于串联电路，M={(1,1)}.
(3)对于并联电路，N={(0,0)}.
3.袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,从中随机模出一个球.
(1)写出试验的样本空间；
(2)用集合表示事件A=“摸到球的号码小于5”，事件B=“摸到球的号码大于4”，事件C=“孩到球的号码是偶数”.
解:(1) ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
(2)A={1,2,3,4};
B=5,6,7,8,9;
C={2,4,6,8}.