福建省龙岩市莲东中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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闭卷考（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题．（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）
1. 下列四个图形是国际通用的交通标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可．
【详解】A、是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，掌握两种对称图形的概念是关键．
2. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 图象开口向上B. 图象的对称轴是直线
C. 图象的顶点坐标是D. 当时，y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意把二次函数化为顶点式的形式是解答此题的关键．根据二次函数的性质和图象上点的坐标特征进行解答．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，y随x的增大而减小，
故A，B，C选项错误，D选项正确．
故选：D．
3. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A. 1B. C. 1或D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的根，方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于a的方程，从而求得a的值．
【详解】解：把代入方程得到：，
解得：，
，
，
故选：B．
4. 学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】第一年共植树400棵，第二年植树400（1+x）棵，第三年植树400（1+x）²棵，再根据题意列出方程即可．
【详解】第一年植树为400棵，第二年植树为400（1+x）棵，第三年400（1+x）²棵，根据题意列出方程：．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的常规应用题，解决此类题目要多理解、练习增长率相关问题．
5. 如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（ ）

A. 138°B. 121°C. 118°D. 112°
【答案】C
【解析】
【分析】由圆内接四边形的性质得，再由圆周定理可得．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴
∵
∴
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键
6. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数平移法则：左加右减(x），上加下减(y)可知， 进而得出变化后的解析式．
【详解】抛物线的顶点坐标为，
将抛物线左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后的顶点坐标为，
得到的抛物线的解析式为，故A正确．
故选：A
【点睛】此题主要考查了二次函数图像与几何变换，熟记平移规律“左加右减，上加下减”，是解题的关键．
7. 如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（ ）
A. 3B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】利用圆的周长先求出圆的半径，正六边形的边长等于圆的半径，正六边形一条边与圆心构成等边三角形，根据边心距即为等边三角形的高用勾股定理求出OG．
【详解】∵圆O的周长为，设圆的半径为R，
∴
∴R=3
连接OC和OD，则OC=OD=3
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD=，
∴△OCD是等边三角形，OG垂直平分CD，
∴OC=OD=CD，
∴
故选 C
【点睛】本题考查了正多边形，熟练掌握圆内接正多边形的相关概念是解题的关键．
8. 如图．抛物线经过点，对称轴为直线，则当时，的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及函数性质，是基础题型，熟记二次函数的各种性质是解题的关键．
由条件抛物线经过点，对称轴为直线，可求出抛物线和x轴的另一个交点，结合函数的图象即可求出当时，x的取值范围．
【详解】解：∵抛物线经过点，对称轴为直线，
∴抛物线和x轴的另一个交点为，
∴时，x的取值范围是或，
故选：C．
9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝105°，将△ABC绕着点C顺时针方向旋转到△，经过点 A．若＝AC，则∠B的度数为（ ）
A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°
【答案】B
【解析】
【分析】设∠B=x，AB与B'C交点为M，用x的代数式表示出∠BAB'、∠BAC、∠CAA'的度数，利用平角为180°即可列出方程．
【详解】解：设∠B＝x，AB与B'C交点为M，如图，
∵AB'＝AC，
∴∠B'＝∠ACB'＝∠B，
∵∠ACB＝105°，
∴∠B+∠BCB'＝105°，
∴∠BMC＝180﹣∠B﹣∠BCB'＝75°＝∠AMB'，
∴∠BAB'＝180﹣∠AMB'﹣∠B'＝105°﹣x，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝75°﹣x＝∠A'，
又∵AC＝A'C，
∴∠CAA'＝∠A'＝75°﹣x，
∵点A在线段A'B'上，
∴（105°﹣x）+（75°﹣x）+（75°﹣x）＝180°，
解得x＝25°，即∠B＝25°，
故选：B
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理等知识，设∠B=x，用x的代数式表示出∠BAB'、∠BAC、∠CAA'的度数是解题的关键．
10. 如图，抛物线交轴分别于点，交轴正半轴于点，抛物线顶点为．下列结论：①；②；③时，；④当是等腰直角三角形时；⑤点是抛物线对称轴上的一点，若，则周长的最小值为．其中，错误的个数为（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质，勾股定理，根据对称性先求出抛物线对称轴为直线，再由对称性计算公式得到，由此可判断①；根据当时，即可判断②；当时，有最大值，最大值，则，据此可判断③；当是等腰直角三角形时，则 ，设，则，解方程求出点C坐标，进而利用待定系数法求出a的值即可判断④；如图，连接交抛物线的对称轴于，连接，由对称性可得，则当三点共线时，最小，即此时的周长最小，利用勾股定理求出的长即可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线交轴分别于点，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，即，故①正确；
∵当时，，
∴，故②正确；
∵抛物线开口向下，称轴为直线，
∴时，有最大值，最大值，
∵，
∴，
∴，故③正确，
当是等腰直角三角形时，则 ，
设，
∴，
∴（负值舍去）；
∴，
∴抛物线的解析式为，
把代入得到，故④错误，
如图，连接交抛物线对称轴于，连接，
由对称性可得，
∴的周长，
∴当三点共线时，最小，即此时的周长最小，
∴的周长最小值，
∵，，
∴周长最小值为，故⑤错误．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案填入答题卡的相应位置）
11. 若将一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0化成（x﹣m）2＝p（m，p为常数）的形式，则m+p的值为__________．
【答案】11
【解析】
【分析】依据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方求解可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴m=2，p=9，
∴m+p=11，
故答案为：11．
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
12. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，点为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点坐标关于原点对称规律，由规律得，即可求解；掌握坐标变化规律“关于原点的对称点坐标为”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
点与点关于原点对称，
，
解得：，
，
故答案：．
13. 已知扇形面积为，半径为6，则扇形构成圆锥的底面半径长为_______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积公式，扇形与对应圆锥的关系；设圆锥的底面半径长，扇形弧长为，由扇形面积公式得，可求出，再由扇形与对应圆锥的关系即可求解；理解扇形的弧长是对应圆锥底面圆的周长是解题的关键．
【详解】解：设圆锥的底面半径长，扇形弧长为，则有
，
解得：，
，
解得：，
故答案：．
14. 如图，，是的两条切线，切点分别为，，直径，，求的长_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，正方形的判定及性质；由切线的性质得，，由正方形的判定方法得四边形是正方形，即可求解；掌握切线的性质，正方形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：如图
，是的两条切线，切点分别为，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
故答案：．
15. 在如图所示的平面直角坐标系中，有一个抛物线形拱桥，其最大高度为，跨度为，此抛物线的解析式为_______．
【答案】+16
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能熟练掌握并能利用待定系数法求二次函数解析式是关键．
依据题意，根据图象得到：顶点坐标是，因而可以利用顶点式求解析式．
【详解】解：由题意，设解析式：，
根据题意得：，
解得．
∴函数关系式.
故答案为：.
16. 在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为、、，点E是的外接圆上一点，BE交线段AC于点D，若，则点D的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接CE，过E作EF⊥AC于F，根据已知条件得到OA=OB=2，OC=4，得到△OBA是等腰直角三角形，得到∠BAC=45°，根据圆周角定理得到∠BEC=∠BAC=45°，推出△BCE是等腰直角三角形，求得BC=CE，根据全等三角形的性质得到E（2，﹣4），待定系数法得到直线BE的解析式为y=﹣3x+2，于是得到结论．
【详解】连接CE，过E作EF⊥AC于F．
∵点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2）、（4，0），∴OA=OB=2，OC=4，∴△OBA是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠BEC=∠BAC=45°．
∵∠DBC=45°，∴∠BCE=90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴BC=CE．
∵∠CBO+∠BCO=∠BOC+∠ECF=90°，∴∠OBC=∠FCE．
在△OBC与△FCE中，∵，∴△OBC≌△FCE（AAS），∴CF=OB=2，EF=OC=4，∴OF=2，∴E（2，﹣4），设直线BE的解析式为y=kx+b，∴，∴，∴直线BE的解析式为y=﹣3x+2，当y=0时，x，∴D（，0）．
故答案为（，0）．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：，
，
，
或，
，；
【小问2详解】
解：，
，
或，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18. 二次函数的图像如图所示，根据图像解答下列问题：
（1）写出不等式的解集；
（2）当时，写出函数值y的取值范围．
（3）若方程有两个不相等的正实数根，写出k的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数图像中的数据可以得到的范围；
（2）根据图像中的数据可以得到当时，函数值y的取值范围；
（3）根据图像中的数据可以得到方程有两个不相等的正实数根时，k的取值范围．
【小问1详解】
由图像可得，
当或时，；
【小问2详解】
由图像可知，
当时，函数值 y的取值范围；
【小问3详解】
由图像可知，
函数的最小值是，
当 时，，
故方程有两个不相等的正实数根， k 的取值范围是．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
19. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为、，且，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）或
【解析】
【分析】（1）表示出根的判别式，判断其正负即可作出判断；
（2）利用根与系数的关系表示出两根之积与两根之和，已知等式变形代入代入计算即可求出的值．
【小问1详解】
解：证明：关于的一元二次方程，
，
，
则方程有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
由根与系数的关系可得：，，
，
，即，
整理得：，即，
所以或，
解得：或．
【点睛】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
20. 如图，在边长为的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点、、的坐标分别是、、．

（1）将向下平移个单位，则点的对应点坐标为 ；
（2）将绕点逆时针旋转后得到，请在图中作出；
（3）求的面积．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）由平移的性质可得答案；
（2）根据旋转的性质作图即可；
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【小问1详解】
解：由题意得，点的对应点坐标为，
故答案为：．
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
【小问3详解】
解：的面积为．
【点睛】本题考查作图——旋转变换，平移的性质，网格中三角形的面积，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键．
21. 如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点，且∠DBC＝∠A＝60°，连接OE并延长与⊙O相交于点F，与BC相交于点C．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6cm，求弦BD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）弦BD的长为6．
【解析】
【分析】（1）连接OB，由垂径定理的推论得出BE=DE，OE⊥BD，，由圆周角定理得出∠BOE=∠A，证出∠OBE+∠DBC=90°，得出∠OBC=90°即可；
（2）由勾股定理求出OC，由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长．
【详解】（1）证明：连接OB，如图所示：
∵E是弦BD的中点，
∴BE＝DE，OE⊥BD，，
∴∠BOE＝∠A，∠OBE+∠BOE＝90°，
∵∠DBC＝∠A，
∴∠BOE＝∠DBC，
∴∠OBE+∠DBC＝90°，
∴∠OBC＝90°，
即BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵OB＝6，∠DBC＝∠A＝60°，BC⊥OB，
∴OC＝12，
∵△OBC的面积＝OC•BE＝OB•BC，
∴BE＝，
∴BD＝2BE＝6，
即弦BD的长为6．
【点睛】本题考查了切线判定、垂径定理的推论、圆周角定理、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握垂径定理的推论和圆周角定理是解决问题的关键．
22. 对某一个函数给出如下定义：对于函数，若当，函数值满足，且满足，则称此函数为“系和谐函数”．
（1）已知正比例函数为“系和谐函数”，则的值为 ；
（2）若一次函数为“3系和谐函数”，求的值；
（3）已知二次函数，当时，是“系和谐函数”，求的取值范围．
【答案】（1）2 （2）
（3）
【解析】
【分析】直接利用“系和谐函数”的定义即可得出结论；
分两种情况：利用“系和谐函数”的定义即可得出结论；
分四种情况，各自确定出最大值和最小值，最后利用“系和谐函数”的定义即可得出结论；
【小问1详解】
解：正比例函数，当时，，
，
，
故答案为；
【小问2详解】
解：由题意得，当时，，解得，
当时，，解得，
综上所述，的值为或；
【小问3详解】
二次函数的对称轴为，
当时，；
当时，；
当，；
如图，当时，当，有，，，
，
即，
，
如图，当时，当，有；当，，
，即，
；
如图，当时，当，有；当，有，
，
即，
；
如图，当时，当，有，当时，有；
，
即，
；
综上所述，的取值范围为．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了的新定义的理解和应用，二次函数的性质，一次函数的性质，分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
．
23. 某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本价为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应：销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售量利润为y元．
（1）每天的销售量为___瓶，每瓶洗手液的利润是___元；（用含x的代数式表示）
（2）若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？
（3）当销售单价上涨多少元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为多少元？
【答案】（1），；（2）应上涨2元或6元；（3）当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为320元．
【解析】
【分析】（1）根据销售单价上涨x元，每天销售量减少瓶即可得，再根据“每瓶的利润售价成本价”即可得；
（2）结合（1）的结论，根据“这款洗手液的日销售利润y达到300元”可建立关于x的一元二次方程，再解方程即可得；
（3）根据“每天的利润（每瓶的售价每瓶的成本价）每天的销售量”可得y与x的函数关系式，再利用二次函数的性质求最值即可得．
【详解】（1）由题意得：当销售单价上涨x元时，每天销售量会减少瓶，
则每天的销售量为瓶，
每瓶洗手液的利润是（元），
故答案为：，；
（2）由题意得：，
解得，，
答：销售单价应上涨2元或6元；
（3）由题意得：，
化成顶点式为，
由二次函数的性质可知，当时，y取得最大值，最大值为320，
答：当销售单价上涨4元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为320元．
【点睛】本题考查了一元二次方程应用、二次函数的应用，依据题意，正确建立方程和函数关系式是解题关键．