2023年安徽省合肥市庐阳区寿春中学中考数学一模试卷

这是一份2023年安徽省合肥市庐阳区寿春中学中考数学一模试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）（2020•龙口市模拟）下列图书馆的标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）（2023•五华县一模）将抛物线y＝3x2﹣2先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的新抛物线解析式为（ ）
A．y＝3（x+3）2﹣4B．y＝3（x﹣3）2
C．y＝3（x﹣3）2﹣4D．y＝3（ x+3）2
3．（4分）（2023•庐阳区校级一模）若双曲线y=1-kx的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1B．k＞1C．0＜k＜1D．k≤1
4．（4分）（2023•庐阳区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（3，1），则sinα的值为（ ）
A．13B．1010C．103D．31010
5．（4分）（2023•庐阳区校级一模）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元B．1080元C．720元D．2160元
6．（4分）（2021•汉台区一模）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于（ ）
A．33°B．57°C．67°D．66°
7．（4分）（2022•梧州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在AB上取点D（不与点A，B重合），连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（ ）
A．60°B．62°C．72°D．73°
8．（4分）（2022•包河区一模）如图，点A在双曲线y=6x（x＞0）上，点B在双曲线y=kx（x＞0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是15，则k的值为（ ）
A．21B．18C．15D．9
9．（4分）（2018•定兴县二模）如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（ ）
A．23cmB．3cmC．233cmD．1cm
10．（4分）（2021•蚌埠一模）如图，半圆O的直径AB长为4，C是弧AB的中点，连接CO、CA、CB，点P从A出发沿A→O→C运动至C停止，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F．设点P运动的路程为x，则四边形CEPF的面积y随x变化的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）（2023•庐阳区校级一模）已知线段a＝9，b＝4，则线段a和b的比例中项为 ．
12．（5分）（2015•贵港）如图，已知圆锥的底面⊙O的直径BC＝6，高OA＝4，则该圆锥的侧面展开图的面积为 ．
13．（5分）（2023•庐阳区校级一模）如图，AB、BC是以AC为直径的⊙O的两条弦，延长AC至点D，使CD＝BC，则当∠D＝15°时，AD与AB之间的数量关系为：AD＝ AB．
14．（5分）（2023•庐阳区校级一模）在平面直角坐标系中，已知矩形OABC中，点A（0，3），C（4，0），点E、D分别是线段OC、AC上的动点，且四边形DEFB也是矩形．
（1）DBDE= ；
（2）若△BCD是等腰三角形，CF＝ ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）（2022•天宁区模拟）计算：2tan45°-1sin30°-2sin260°．
16．（8分）（2023•庐阳区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝26，EB＝8，求弦CD的长．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）（2023•庐阳区校级一模）由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧地面上探测点A、B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C的深度．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，结果精确到0.1）
18．（8分）（2023•庐阳区校级一模）如图，在⊙O中，直径为MN，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°．
（1）若AB＝2，求PD的长度；
（2）若半径是5，求正方形ABCD的边长．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）（2023•庐阳区校级一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC＝50°，∠BAC＝30°，经过点A，B的圆的圆心在边AC上．
（1）线段AB的长等于 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的圆上，画出一个点D，使其满足∠ADB的度数小于∠ACB的度数，并说明理由；
（3）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
20．（10分）（2023•庐阳区校级一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，CE与⊙O相切于点C，连接BD交AC于点P．
（1）求证：∠DCE＝∠DBC；
（2）若CE=5，AD＝4，求tan∠ABD的值．
六、（本题满分12分）
21．（12分）（2023•庐阳区校级一模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，点D在AB上，且AC＝AD，OC＝8，弧BC的度数是60°．
（1）求线段OD的长；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．
七、（本题满分12分）
22．（12分）（2023•庐阳区校级一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C，点E是抛物线对称轴与直线BC的交点
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：BE＝2CE；
（3）若点P是第四象限内抛物线上的一动点，设点P的横坐标为x，以点B、E、P为顶点的△BEP的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求S的最大值．
八、（本题满分14分）
23．（14分）（2023•庐阳区校级一模）【问题提出】如图1，AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某个确定的圆上运动呢？
【问题探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若AB＝4，线段AB上方一点C满足∠ACB＝45°，为了画出点C所在的圆，小芳以AB为底边构造了一个Rt△AOB，再以点O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【模型应用】
（1）若AB＝6，平面内一点C满足∠ACB＝60°，若点C所在圆的圆心为O，则∠AOB＝ ，劣弧AB的长为 ．
（2）如图3，已知正方形ABCD以AB为腰向正方形内部作等腰△ABE，其中AB＝AE，过点E作EF⊥AB于点F，若点P是△AEF的内心．
①求∠BPE的度数；
②连接CP，若正方形ABCD的边长为4，求CP的最小值．
2023年安徽省合肥市庐阳区寿春中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）（2020•龙口市模拟）下列图书馆的标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
2．（4分）（2023•五华县一模）将抛物线y＝3x2﹣2先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的新抛物线解析式为（ ）
A．y＝3（x+3）2﹣4B．y＝3（x﹣3）2
C．y＝3（x﹣3）2﹣4D．y＝3（ x+3）2
【分析】由抛物线y＝3x2﹣2先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位可得y＝3（x﹣3）2﹣2﹣2．
【解答】解：将抛物线y＝3x2﹣2先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的新抛物线解析式为y＝3（x﹣3）2﹣2﹣2＝3（x﹣3）2﹣4，
故选：C．
3．（4分）（2023•庐阳区校级一模）若双曲线y=1-kx的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1B．k＞1C．0＜k＜1D．k≤1
【分析】反比例函数的图象是双曲线，当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．
【解答】解：∵双曲线y=1-kx的图象的一支位于第三象限，
∴1﹣k＞0，
∴k＜1；
故选：A．
4．（4分）（2023•庐阳区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（3，1），则sinα的值为（ ）
A．13B．1010C．103D．31010
【分析】过点A作AB⊥x轴，根据点A的坐标得到OA，再根据正弦的定义可得答案．
【解答】解：过点A作AB⊥x轴，
∵点A坐标为（3，1），
∴AB＝1，OB＝3，OA=12+32=10，
∴sinα=ABOA=110=1010．
故选：B．
5．（4分）（2023•庐阳区校级一模）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ）
A．360元B．1080元C．720元D．2160元
【分析】直接利用相似多边形的性质进而得出答案．
【解答】解：∵将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
∴面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的成本为：120×9＝1080（元）．
故选：B．
6．（4分）（2021•汉台区一模）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径．若∠DBC＝33°，则∠A等于（ ）
A．33°B．57°C．67°D．66°
【分析】连接CD，如图，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角得到∠BCD＝90°，则利用互余可计算出∠D＝57°，然后根据圆周角定理即可得到∠A的度数．
【解答】解：连接CD，如图，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
而∠DBC＝33°，
∴∠D＝90°﹣33°＝57°，
∴∠A＝∠D＝57°．
故选：B．
7．（4分）（2022•梧州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在AB上取点D（不与点A，B重合），连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（ ）
A．60°B．62°C．72°D．73°
【分析】利用等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝72°，从而利用圆内接四边形的性质可求出∠D＝108°，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠C＝108°，
∴∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠D＝72°，
故选：C．
8．（4分）（2022•包河区一模）如图，点A在双曲线y=6x（x＞0）上，点B在双曲线y=kx（x＞0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是15，则k的值为（ ）
A．21B．18C．15D．9
【分析】延长BA交y轴于E，根据反比例函数k的几何意义即可求出k的值．
【解答】解：延长BA交y轴于E，如图所示：
则有S矩形BCOE＝|k|，S矩形ADOE＝|6|＝6，
∵矩形ABCD的面积为15，
∴S矩形BCOE﹣S矩形ADOE＝15，
即|k|﹣6＝15，
∵k＞0，
∴k＝21．
故选A．
9．（4分）（2018•定兴县二模）如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（ ）
A．23cmB．3cmC．233cmD．1cm
【分析】根据正六边形的内角度数可得出∠1＝30°，再通过解直角三角形即可得出12a的值，进而可求出a的值，此题得解．
【解答】解：∵正六边形的任一内角为120°，
∴∠1＝30°（如图），
∴12a＝2cs∠1=3，
∴a＝23．
故选：A．
10．（4分）（2021•蚌埠一模）如图，半圆O的直径AB长为4，C是弧AB的中点，连接CO、CA、CB，点P从A出发沿A→O→C运动至C停止，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F．设点P运动的路程为x，则四边形CEPF的面积y随x变化的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝22，可得AB＝4，根据CO⊥AB于点O．可得AO＝BO＝2，CO平分∠ACB，点P从点A出发，沿A→O→C的路径运动，运动到点C停止，分两种情况讨论：根据PE⊥AC，PF⊥BC，可得四边形CEPF是矩形和正方形，设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，进而可得能反映y与x之间函数关系式，从而可以得函数的图象．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC=22，
∴AB＝4，∠A＝45°，
∵CO⊥AB于点O，
∴AO＝BO＝2，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四边形CEPF是矩形，
∴CE＝PF，PE＝CF，
∵点P运动的路程为x，
∴当点P从点A出发，沿A→O路径运动时，
即0＜x＜2时，
AP＝x，
则AE＝PE＝x•sin45°=22x，
∴CE＝AC﹣AE=22-22x，
∵四边形CEPF的面积为y，
∴y＝PE•CE=22x(22-22x)=-12x2+2x=-12(x-2)2+2，
∴当0＜x＜2时，抛物线开口向下；
当点P沿O→C路径运动时，
即2≤x＜4时，
∵CO是∠ACB的平分线，
∴PE＝PF，
∴四边形CEPF是正方形，
∵AO＝2，PO＝x﹣2，
∴CP＝4﹣x，
∴y=12(x-4)2=12(4-x)2，
∴当2≤x＜4时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）（2023•庐阳区校级一模）已知线段a＝9，b＝4，则线段a和b的比例中项为 6 ．
【分析】根据比例中项的概念，当两个比例内项相同时，就叫比例中项，再列出比例式即可得出结果．
【解答】解：设线段a和b的比例中项为c，
∵a＝9，b＝4，
∴ac=cb，
∴c2＝ab＝4×9＝36，
解得：c＝±6，
又∵线段不能是负数，
∴﹣6舍去，
∴c＝6，
故答案为：6．
12．（5分）（2015•贵港）如图，已知圆锥的底面⊙O的直径BC＝6，高OA＝4，则该圆锥的侧面展开图的面积为 15π ．
【分析】根据已知和勾股定理求出AB的长，根据扇形面积公式求出侧面展开图的面积．
【解答】解：∵OB=12BC＝3，OA＝4，
由勾股定理，AB=OB2+OA2=32+42=5，
侧面展开图的面积S＝πrl＝3π×5＝15π．
故答案为：15π．
13．（5分）（2023•庐阳区校级一模）如图，AB、BC是以AC为直径的⊙O的两条弦，延长AC至点D，使CD＝BC，则当∠D＝15°时，AD与AB之间的数量关系为：AD＝ （2+3） AB．
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠CBD＝∠D＝15°，根据三角形外角性质得出∠ACB＝∠D+∠CBD＝30°，根据圆周角定理得出∠ABC＝90°，解直角三角形求出AC＝2AB，BC=3AB，再求出答案即可．
【解答】解：∵∠D＝15°，CD＝BC，
∴∠CBD＝∠D＝15°，
∴∠ACB＝∠D+∠CBD＝30°，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴AC＝2AB，BC=3AB，
∵BC＝CD，
∴CD=3AB，
∴AD＝AC+CD＝2AB+3AB＝（2+3）AB，
故答案为：（2+3）．
14．（5分）（2023•庐阳区校级一模）在平面直角坐标系中，已知矩形OABC中，点A（0，3），C（4，0），点E、D分别是线段OC、AC上的动点，且四边形DEFB也是矩形．
（1）DBDE= 43 ；
（2）若△BCD是等腰三角形，CF＝ 32或158或2120 ．
【分析】（1）通过证明点B，点C，点E，点D四点共圆，可得∠BED＝∠ACB，由锐角三角函数可求解；
（2）通过证明△ABD∽△CBF，可得CF=34AD，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）连接BE，
∵矩形OABC中，点A（0，3），C（4，0），
∴AO＝BC＝3，AB＝OC＝4，
∴AC=AO2+OC2=9+16=5，
∵∠BDE＝90°＝∠BCO，
∴点B，点C，点E，点D四点共圆，
∴∠BED＝∠ACB，
∴tan∠BED＝tan∠ACB=ABBC=DBDE，
∴DBDE=43，
故答案为：43；
（2）∵DBDE=43，
∴DBBF=43=ABBC，
∵∠ABC＝∠DBF＝90°，
∴∠ABD＝∠CBF，
∴△ABD∽△CBF，
∴ABBC=ADCF=43，
∴CF=34AD，
当BC＝CD＝3时，则AD＝2，
∴CF=32，
当BD＝CD时，则点D在BC的中垂线上，即点D是AC的中点，
∴AD=52，
∴CF=158，
当BD＝BC时，如图，过点B作BH⊥AC于H，
∴DH＝CH，
∵cs∠BCH=CHBC=BCAC，
∴CH3=35，
∴CH=95，
∴CD=185，
∴AD=75，
∴CF=2120，
综上所述：CF的长为32或158或2120，
故答案为：32或158或2120．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）（2022•天宁区模拟）计算：2tan45°-1sin30°-2sin260°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而化简得出答案．
【解答】解：原式＝2×1-112-2×（32）2
＝2﹣2﹣2×34
＝2﹣2-32
=-32．
16．（8分）（2023•庐阳区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝26，EB＝8，求弦CD的长．
【分析】连接OC，根据垂径定理得到CE＝ED，根据AB＝26求出OC、OB的长，根据EB＝8求出OE的长，利用勾股定理求出CE，即可得到CD的长．
【解答】解：连接OC，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE=12CD，OC=OB=12AB=13，
∴OE＝OB﹣EB＝13﹣8＝5，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE=OC2-OE2=12，
∴CD＝2CE＝24．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）（2023•庐阳区校级一模）由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧地面上探测点A、B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30°和60°（如图所示），试确定生命所在点C的深度．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，结果精确到0.1）
【分析】根据锐角三角函数可以求得点C到地面的距离，从而可以解答本题．
【解答】解：如图所示，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，
由题意可知，∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，
设CD＝x米，
则BD=xtan60°，AD=xtan30°，
∵AB＝2米，AD＝AB+BD，
∴AD＝2+BD，
∴2+xtan60°=xtan30°，
解得，x≈1.7
即生命所在点C的深度是1.7米．
18．（8分）（2023•庐阳区校级一模）如图，在⊙O中，直径为MN，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM＝45°．
（1）若AB＝2，求PD的长度；
（2）若半径是5，求正方形ABCD的边长．
【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，得DC＝BC＝AB＝1，则∠DCO＝∠ABC＝90°，又∠POM＝45°，CO＝DC＝1，求出OD，再连接OA，构造直角三角形，求出AB和BO的长，然后利用勾股定理即可求出圆的半径，可得PD．
（2）证出△DCO是等腰直角三角形，得出DC＝CO，求出BO＝2AB，连接AO，得出AO＝5，再根据勾股定理求出AB的长即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴DC＝BC＝AB＝2，∠DCO＝∠ABC＝90°，
∵∠POM＝45°，
∴CO＝DC＝2，
∴OD=2CO=22，
连接AO，则△ABO为直角三角形，
∴AO=AB2+BO2=22+42=25，
∴即⊙O的半径为25，
∴PD=OP-OD=25-22；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，
∴∠DCO＝90°，
∵∠POM＝45°，
∴∠CDO＝45°，
∴CD＝CO，
∴BO＝BC+CO＝BC+CD，
∴BO＝2AB，
∵MO＝NO＝5，
∴AO＝5，
在Rt△ABO中，AB2+BO2＝AO2，
即AB2+（2AB）2＝52，
解得：AB=5，
则正方形ABCD的边长为5．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）（2023•庐阳区校级一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC＝50°，∠BAC＝30°，经过点A，B的圆的圆心在边AC上．
（1）线段AB的长等于 172 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的圆上，画出一个点D，使其满足∠ADB的度数小于∠ACB的度数，并说明理由；
（3）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 取圆与网格线的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与点B，O的连线相交于点P，连接AP，
则点P满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB． ．
【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）在直线AC上方的弧上找一点D，使得点C在△ABD内，连接AD，BD，延长AC，与BD交于E，根据外角的性质可得大小；
（3）取圆与网格的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与B，O的连线相交于点P，连接AP，于是得到结论．
【解答】解：（1）由勾股定理可得：AB=22+(12)2=172；
故答案为：172；
（2）如图，点D即为所求；
连接AD，BD，延长AC，与BD交于E，
∵∠ACB＝∠CBE+∠CEB，
∴∠ACB＞∠CEB，
∵∠CEB＝∠DAE+∠D，
∴∠ACB＞∠CEB＞∠D；
（3）如图，取圆与网格线的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与点B，O的连线相交于点P，连接AP，
则点P满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB．
理由：第一步：连接EF得圆心，因为∠EAF＝90°，所以EF是直径．
第二步：D点根据网格相似比，可以知道D为AB的中点，所以QD是垂径．
第三步：连接QC并延长，交OB于P，OB是半径等于OA，所以∠OBA＝∠BAC＝30°，
∴∠PBC＝20°，∠AOB＝∠AOQ＝∠BOQ＝120°，
∴∠COQ＝60°＝∠BOC，又OB＝OQ，OC＝OC，
∴△OCQ≌△OCB（SAS），
∴∠Q＝∠PBC＝20°，
∴∠OPQ＝180°﹣120°﹣20°＝40°，
∴∠PCB＝40°﹣20°＝20°，
又∵OA＝OQ，OP＝OP，∠AOP＝∠POQ＝120°，
∴△OPQ≌△OPA（SAS），
∴∠PAC＝∠Q＝20°，
∴∠PAC＝∠PBC＝∠PCB．
故答案为：取圆与网格线的交点E，F，连接EF与AC交于一点，则这一点是圆心O，AB与网格线相交于D，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接QC并延长，与点B，O的连线相交于点P，连接AP，
则点P满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB．
20．（10分）（2023•庐阳区校级一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，CE与⊙O相切于点C，连接BD交AC于点P．
（1）求证：∠DCE＝∠DBC；
（2）若CE=5，AD＝4，求tan∠ABD的值．
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到∠ADC＝90°，根据切线的性质得到∠ACE＝90°，根据余角的性质得到∠DCE＝∠CAD，根据同弧所对的圆周角相等可得∠DBC＝∠CAD，从而证明；
（2）证明△ACE∽△ADC，得到AC4=AEAC，设DE＝x，得到AC2＝4（4+x）＝42+4x＝AD2+CD2，从而可得CD2＝4x，利用勾股定理列出方程，求出x值，得到DE，求出CD，最后根据tan∠ABD=tan∠ACD=ADDC可得结果．
【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∵CE与⊙O相切，
∴∠ACE＝90°，
∴∠DCE+∠ACD＝90°，
∴∠DCE＝∠CAD，
∵∠DBC＝∠CAD，
∴∠DCE＝∠DBC；
（2）解：∵∠CAE+∠E＝90°，∠CAE+∠ACD＝90°，
∴∠E＝∠ACD，
又∠ACE＝∠ADC＝90°，
∴△ACE∽△ADC，
∴ACAD=AEAC=CECD，即AC4=AEAC，
设DE＝x，则AC4=4+xAC，
∴AC2＝4（4+x）＝42+4x＝AD2+CD2，
∴CD2＝4x，
∵CD2+DE2＝CE2，
∴4x+x2＝5，
解得：x＝1或x＝﹣5（舍），
∴DE＝1，
∴CD=CE2-DE2=2，
∴tan∠ABD=tan∠ACD=ADDC=42=2．
六、（本题满分12分）
21．（12分）（2023•庐阳区校级一模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，点D在AB上，且AC＝AD，OC＝8，弧BC的度数是60°．
（1）求线段OD的长；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．
【分析】（1）过C作CE⊥AD于E，根据已知得到∠COD＝60°，根据直角三角形的性质得到CE，求得AC根据线段的和差即可得到结论；
（2）根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）过C作CE⊥AD于E，
∵弧BC的度数是60°，
∴∠BOC＝60°，又OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵OC＝8，
∴OE＝4∴CE=82-42=43，
∴AC=83，
∵AD=AC=83，OA＝OC＝8，
∴OD=AD-OA=83-8；
（2）S阴影=S扇形BOC-S△OCD=60⋅π×82360-12×(83-8)×43=32π3-48+163．
七、（本题满分12分）
22．（12分）（2023•庐阳区校级一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C，点E是抛物线对称轴与直线BC的交点
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：BE＝2CE；
（3）若点P是第四象限内抛物线上的一动点，设点P的横坐标为x，以点B、E、P为顶点的△BEP的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求S的最大值．
【分析】（1）将点A、B坐标代入y＝ax2+bx﹣3列方程求出a、b即可得；
（2）由OD＝1、BD＝2且DE∥OC，利用平行线分线段成比例定理可得BECE=BDOD=2；
（3）利用待定系数法求得直线BC解析式，从而求得点E的坐标，作PF⊥y轴于点F，EG⊥y轴于点G，设点P（x，x2﹣2x﹣3）（0＜x＜3），根据△BEP的面积为S＝S梯形BOFP﹣S梯形BOGE﹣S梯形EGFP列出函数解析式，配方成顶点式可得答案．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
得：a-b-3=09a+3b-3=0，
解得：a=1b=-2，
则抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
则OD＝1、BD＝2，
∵DE∥OC，
∴BECE=BDOD=2，即BE＝2CE；
（3）∵点B（3，0）、C（0，﹣3），
∴设直线BC解析式为y＝mx+n，
则3m+n=0n=-3，
解得：m=1n=-3，
∴y＝x﹣3；
当x＝1时，y＝﹣2，
∴E（1，﹣2），
如图，作PF⊥y轴于点F，EG⊥y轴于点G，
设点P（x，x2﹣2x﹣3）（0＜x＜3），
则△BEP的面积为S＝S梯形BOFP﹣S梯形BOGE﹣S梯形EGFP
=12×（x+3）（﹣x2+2x+3）-12×（1+3）×2-12×（1+x）（﹣x2+2x+3﹣2）
＝﹣x2+3x
＝﹣（x-32）2+94，
∴当x=32时，S取得最大值，最大值为94．
八、（本题满分14分）
23．（14分）（2023•庐阳区校级一模）【问题提出】如图1，AB为⊙O的一条弦，点C在弦AB所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道∠ACB的度数不变．爱动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，那么点C是不是在某个确定的圆上运动呢？
【问题探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若AB＝4，线段AB上方一点C满足∠ACB＝45°，为了画出点C所在的圆，小芳以AB为底边构造了一个Rt△AOB，再以点O为圆心，OA为半径画圆，则点C在⊙O上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段AB的长度已知，∠ACB的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型．
【模型应用】
（1）若AB＝6，平面内一点C满足∠ACB＝60°，若点C所在圆的圆心为O，则∠AOB＝ 120° ，劣弧AB的长为 433π ．
（2）如图3，已知正方形ABCD以AB为腰向正方形内部作等腰△ABE，其中AB＝AE，过点E作EF⊥AB于点F，若点P是△AEF的内心．
①求∠BPE的度数；
②连接CP，若正方形ABCD的边长为4，求CP的最小值．
【分析】（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过O作OM⊥AB，求得∠AOB＝120°，进而求得∠OAM＝30°，根据AO=AMcs∠OAM可求得AO，根据∠AOB＝120°即可求出劣弧AB的长度；
（2）①根据已知条件可得∠APE=180°-(∠PAE+∠PEA)=180°-12(∠EAF+∠AEF)，证明△APE≌△APB，即可求得∠BPA，根据三角形内角和定理即可求出∠BPE；
②如图，作△APB的外接圆，圆Q，连接AQ，BQ，CQ，过Q作QN⊥BC交的CB延长线于点N，由题意的由“定弦定角”模型，可知∠APB＝135°，AB＝4，作出△APB的外接圆，圆Q，设圆的半径为r，则PC的最小值即为CQ﹣r，根据勾股定理即可求得r，CQ，从而求得最小值．
【解答】解：（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过O作OM⊥AB，
∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，OM⊥AB，
∴∠AOM=12∠AOB=60°，AM=BM=12AB=3，
∴∠OAM＝30°，
∴AO=AMcs∠OAM=332=23，
∴劣弧AB的长为120°360°×2π×AO=433π
故答案为：120°，433π；
（2）①∵EF⊥AB，
∴∠EFA＝90°，
∴∠EAF+∠AEF＝90°，
∵点P是△AEF的内心，
∴PA，PE平分∠EAF，∠AEF，
∴∠PAE=12∠EAF，∠PEA=12∠AEF，
∴∠APE=180°-(∠PAE+∠PEA)=180°-12(∠EAF+∠AEF)=180°-45°=135°，
∵AE＝AB，∠EAP＝∠BAP，AP＝AP，
∴△APE≌△APB（SAS），
∴∠BPA＝∠APE＝135°，
∴∠BPE＝360°﹣∠BPA﹣∠APE＝90°；
②如图，作△APB的外接圆，圆Q，连接AQ，BQ，CQ，过Q作QN⊥BC交的CB延长线于点N，
由题意的由“定弦定角”模型，可知∠APB＝135°，AB＝4，
作出△APB的外接圆，圆心为Q，设圆的半径为r，则PC的最小值即为CQ﹣r，
∵∠APB＝135°，
设优弧AB所对的圆心角优角为α，
则α＝270°，
∴∠AQB＝90°，
∵QA＝QB，
∴∠ABQ＝∠BAQ＝45°，
∵AB＝4，
∴QA=AB⋅sin45°=22，
∵QN⊥BC，四边形ABCD是正方形，
∴AB⊥BC，
∴AB∥QN，
∴∠BQN＝∠ABQ＝45°，
∵QB=22，
∴QN＝NB＝2，
∴CN＝BC+BN＝6，
∴CQ=QN2+CN2=22+62=210，
∴PC≥CQ-PQ=CQ-r=210-22．
∴PC的最小值为210-22．
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