福建省莆田市2023-2024学年高一上学期期末数学试卷（Word版附解析）

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1. 如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数定义即可求解.
【详解】由题意及图示可知，点的横坐标为，
所以.
故选：.
2. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由对数函数、指数函数单调性即可比较大小.
【详解】由题意得.
故选：A.
3. 函数的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的单调性，结合零点存在性定理，即可判断选项.
【详解】在上单调递增，也是单调递增函数，所以在上单调递增，
当时，，，所以，则在上无零点.
因为，，，，
所以，则根据零点存在性定理可知，在上有零点.
故选：D
4. 计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式计算即可.
【详解】
.
故选：A.
5. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用同角三角函数基本关系化弦为切即可求解.
【详解】由可得，
解得：，
故选：C.
6. 已知某种放射性元素在一升液体中的放射量（单位：）与时间（单位：年）近似满足关系式且.已知当时，；当时，，则据此估计，这种放射性元素在一升液体中的放射量为10时，大约为（ ）（参考数据：）
A. 50B. 52C. 54D. 56
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知列方程组先求出的值，然后利用对数运算可得.
【详解】由题知，，解得，
所以，
由，得.
故选：B
7. 已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可.
【详解】解：因为命题“，”为假命题，
所以，命题“，”为真命题，
因为集合，集合
所以，当时，，此时成立，
当时，由“，”得，解得，
综上，实数的取值范围为
故选：A.
8. 将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象变换得的解析式，则利用函数单调性列不等式即可求得的取值范围.
【详解】函数的图像先向右平移个单位长度，得到再把所得函数图像上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，
令，，
整理得，，
由于函数在上单调递增，
故，，
解得，，
所以，．
故选：B．
二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用指数幂和对数的运算法则即可求解.
【详解】对于选项A，，故选项A正确；
对于选项B，，故选项B不正确；
对于选项C，，故选项C正确；
对于选项D，，故选项D不正确.
故选：AC.
10. 下列命题是真命题的有（ ）
A. 函数的值域为
B. 的定义域为
C. 函数的零点所在的区间是
D. 对于命题，使得，则，均有
【答案】AC
【解析】
【分析】根据三角函数的值域、函数的定义域、零点存在性定理、存在量词命题的否定等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，
令，则的开口向下，对称轴为，
所以当时，取得最大值为；
当时，取得最小值为，所以的值域为，A选项正确.
B选项，对于函数，
由得，解得，
所以的定义域为，B选项错误.
C选项，在上单调递增，
，
所以函数的零点所在的区间是，C选项正确.
D选项，命题，使得，
其否定是，均有，D选项错误.
故选：AC
11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在单调递减
D. 该图象向右平移个单位可得的图象
【答案】BD
【解析】
【分析】根据给定的三角函数的图象，得到函数的解析式为，结合三角函数的性质，以及三角函数的图象变换，逐项判定，即可求解.
【详解】解：根据函数的部分图象，
可得，可得，
由，解得，所以，
对于A中，当，可得，
所以不是函数的对称中心，所以A错误；
对于B中，当时，可得，即函数的最小值，
所以函数的图象关于直线对称，所以B正确；
对于C中，当，可得，
根据余弦函数的性质，可得在函数在先减后增，所以C不正确；
对于D中，将函数该图象向右平移个单位，
可得的图象，所以D正确.
故选：BD.
12. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 关于点对称
C. 在是上单调递增
D. 若在区间上存在最大值，则实数a的取值范围为
【答案】CD
【解析】
【分析】首先化简函数，再结合函数的性质求，并结合函数的性质，判断选项.
【详解】因为，
所以把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
因为关于y轴对称，所以，即，
又因为，所以，
A.对于，故A错误；
B.，故B错误；
C，由，得，
所以当时，的单调递增区间为，又因为，
所以在上单调递增，故C正确；
D，若函数在上存在最大值，由选项C可知，在上单调递增，且，即在时取得最大值，所以，即实数a的取值范围为，故D正确．
故选：CD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的最小正周期为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据最小正周期公式“”可求解.
【详解】由于，所以.
故答案是：.
14. 已知，，则________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.
【详解】因为，，所以，
又因为，所以，
故答案为:
15. 已知且，则的最小值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据“1”的代换，化简整理可得，然后根据基本不等式，求解即可得出答案.
【详解】
，
当且仅当，即时等号成立.
所以，的最小值为.
故答案为：.
16. 已知函数，且函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】作出函数的图象，把函数的零点转化为直线与函数图象交点问题解决.
【详解】由得，即函数的零点是直线与函数图象交点横坐标，
当时，是增函数，函数值从1递增到2(1不能取)，当时，是增函数，函数值为一切实数，
在坐标平面内作出函数的图象，如图，
观察图象知，当时，直线与函数图象有2个交点，即函数有2个零点，
所以实数的取值范围是：.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）用集合交集，补集的运算可得；
（2）由条件可得是Q的真子集，再分集合是否为空集讨论求出结果即可
【小问1详解】
当时，集合，可得或，
因为，所以
【小问2详解】
若“”是“”充分不必要条件，所以是Q的真子集，
当时，即时，此时，满足是的真子集，
当时，则满足且不能同时取等号，解得，
综上，实数的取值范围为.
18. 已知，，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由同角三角函数关系，结合两角差的正弦公式求解；
（2）由二倍角公式，结合两角和的余弦公式求解．
【小问1详解】
因为，所以，
则，，
又因为，，
所以，，
所以
，
因为，所以；
【小问2详解】
由（1）知，，，
故，
，
所以．
19. 已知函数.
（1）若对一切实数都成立，求的值；
（2）已知，令，求在上的最小值.
【答案】（1）0 （2）.
【解析】
【分析】（1）根据根判别式得到不等式，求出答案；
（2）求出，利用基本不等式求出最值，得到答案.
【小问1详解】
，即恒成立，
，
解得，所以的值为0
【小问2详解】
由已知有，
当时，，
当且仅当，即时取得最小值，
故在上最小值为.
20. 已知函数，且.
（1）求的值及的定义域；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1），定义域为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，直接利用，即可求得参数的值，继而可求得函数的定义域；
（2）变化不等式，利用函数的单调性列出不等式组，解出即可.
【小问1详解】
因为，
解得．
所以，
由题意可得解得，
故的定义域为．
【小问2详解】
不等式等价于，
即，
由于在上单调递增，
则解得．
故不等式的解集为．
21. 已知，求：
（1）的最小正周期及单调递增区间；
（2）时，恒成立，求实数的范围．
【答案】（1）最小正周期，单调递增区间为，
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简的解析式，再根据最小正周期及单调递增区间的公式求解出结果；
（2）先求出在上的最小值，从而可知的最小值，再将问题转化为“”，由此求解出的取值范围.
【小问1详解】
，
的最小正周期，
由，，
可得，，
函数的单调递增区间为，．
【小问2详解】
，，
在上单调递增，在上单调递减，且，
，，
当即，，
要使恒成立，则，即，可得，
故实数的范围是．
22. 已知函数.
（1）求实数的值，使得为偶函数；
（2）当为偶函数时，设，若，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，结合，化简得到恒成立，即可求解；
（2）根据题意，求得，令，结合指数函数的性质，求得，，结合二次函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
解：由函数为上的偶函数，则，
即，
即，即恒成立，
所以.
【小问2详解】
解：由（1）知，
可得，
令，因为函数在都是增函数，
所以函数在上为递增函数，则，
所以，
因为函数的对称轴为，所以函数在递增，
所以，当时，，
要使得，都有成立，则，即实数取值范围.