北师大版九年级下册1 二次函数一课一练

这是一份北师大版九年级下册1 二次函数一课一练，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列函数中是二次函数的是( )
A．y＝x－1 B．y＝eq \f(1,x2) C．y＝(x－2)2－x2 D．y＝x(x－1)
2．抛物线y＝x2－4x＋3的对称轴是直线( )
A．x＝－2 B．x＝2 C．x＝－4 D．x＝4
3．对于二次函数y＝－(x－1)2的图象的特征，下列描述正确的是( )
A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上
4．将抛物线y＝x2－3向左平移2个单位长度，得到的新抛物线的表达式是( )
A．y＝x2－1 B．y＝x2－5 C．y＝(x＋2)2－3 D．y＝(x－2)2－3
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标是(－1，3)，且过点(0，5)，那么二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式为( )
A．y＝－2x2＋4x＋5 B．y＝2x2＋4x＋5
C．y＝－2x2＋4x－1 D．y＝2x2＋4x＋3
6．当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是( )
7．把一个物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，物体的上升高度h(m)与抛出时间t(s)之间满足h＝v0t－eq \f(1,2)gt2(其中g是常数，取10 m/s2)．某时，某同学在距地面1.5 m的O点，以11 m/s的初速度向上抛出一个小球，抛出2 s时，该小球距地面的高度是( )
A．1.5 m B．3.5 m C．0.95 m D．－0.95 m
8．滑雪者从山坡上滑下，其滑行距离s(单位：m)与滑行时间t(单位：s)之间的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示，根据图象，当滑行时间为4 s时，滑行距离为( )
A．40 m B．48 m
C．56 m D．72 m
9．点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，y2))，C(2，y3)都在抛物线y＝－eq \f(1,2)x2＋x－m上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y2＞y3＞y1 B．y3＞y2＞y1
C．y1＞y2＞y3 D．y2＞y1＞y3
10．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，现有以下结论：①b＞0；②abc＜0；③a－b＋c＞0；④a＋b＋c＞0；⑤b2－4ac＞0，其中正确的结论有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

(第10题) (第15题)
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．如果抛物线y＝(a－3)x2－2有最低点，那么a的取值范围是________．
12．请写出一个与y轴交点为(0，3)，对称轴为直线x＝－2的抛物线的表达式：____________________．
13．若抛物线y＝x2＋2x＋k与x轴只有一个交点，则k＝________．
14．用长20 m的篱笆围成一个矩形，则矩形的面积y(m2)与它的一边长x(m)之间的函数关系式是____________，自变量x的取值范围是____________．
15．如图，将函数y＝eq \f(1,2)(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到一个新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B′.若阴影部分的面积为9，则新图象所对应的函数表达式是____________________．
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16．(7分)一个二次函数的图象经过(－1，0)，(0，6)，(3，0)三点，求这个二次函数的表达式．
17．(8分)已知二次函数y＝2x2－4x－6.
(1)将y＝2x2－4x－6化成y＝a(x－h)2＋k的形式；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
(3)结合图象可知：当－1≤x≤2时，y的取值范围为____________．
18．(8分)如图，抛物线y＝(x＋2)2＋m与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，一次函数y＝kx＋b的图象与该抛物线交于点A(－1，0)和点B.
(1)求抛物线的表达式及点B的坐标；
(2)根据图象，写出满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围．
19．(8分)漪汾桥是太原首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小相等的抛物线形状．如图，单个桥拱在桥面上的跨度为OA＝60米，在水面的跨度为BC＝80米，桥面距水面的垂直距离为OE＝7米，以桥面所在水平线为x轴，OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求单个桥拱所在抛物线的表达式；
(2)求桥拱最高点到水面的距离．
20.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，设P，Q分别为AB，BC上的动点，点P自点A以2 cm/s的速度沿AB方向向点B移动，同时点Q自点B以1 cm/s的速度沿BC方向向点C移动．当点P到达点B时，点Q就停止移动，设P，Q移动的时间为t s.
(1)求出△PBQ的面积S(cm2)与时间t(s)之间的函数表达式，并写出t的取值范围．
(2)当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？

21．(10分)某公司为了宣传销售一种新产品，在某地先后举办了30场产品促销会．已知该产品每台成本为10万元，设第x场产品的销售量为y(台)．在销售过程中获得以下信息：
信息1：销售量y(台)与销售场次x(场)之间满足关系式y＝－x＋50；
信息2：每场销售单价p(万元)由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，浮动价与销售场次x(场)成正比．经统计后得到如下数据：
(1)求每场的基本价及p与x之间的函数关系式．
(2)在这30场产品促销会上，哪一场获得的利润最大？并求出最大利润．
22．(12分)下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务．
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象(称为抛物线)与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点，与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根，因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况．
下面根据抛物线的顶点坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))和一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac，分别对a>0和a<0两种情况进行分析：
(1)当a>0时，抛物线开口向上．
①当Δ＝b2－4ac>0时，有4ac－b2<0，
∴eq \f(4ac－b2,4a)<0，
∴顶点在x轴的下方，即抛物线与x轴有两个交点(如图①)，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；
②当Δ＝b2－4ac＝0时，有4ac－b2＝0，∴eq \f(4ac－b2,4a)＝0，
∴顶点在x轴上，即抛物线与x轴有一个交点(如图②)，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；
③当Δ＝b2－4ac<0时，
……
(2)当a<0时，抛物线开口向下．
……
任务：
(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是________(多选)；
A．数形结合思想 B．统计思想 C．分类讨论思想 D．转化思想
(2)请参照小论文中当a>0时①②的分析过程，将③补充完整，并画出相应的示意图；
(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学中还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例：_________________________________________________.
23．(12分)如图①，抛物线y＝－eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x＋2与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.点D在第一象限内的抛物线上．
(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
(2)若S△COD＝eq \f(1,3)S△OBD，求出点D的坐标；
(3)如图②，在(2)的条件下，连接BC交OD于点E.则BC是否平分线段OD？请说明理由．
答案
一、1.D 2.B 3.D 4.C 5.B
6．A 7.B 8.B 9.A 10.C
二、11.a＞3
12．y＝x2＋4x＋3(答案不唯一) 13.1
14．y＝－x2＋10x；0＜x＜10
15．y＝eq \f(1,2)(x－2)2＋4 点拨：∵函数y＝eq \f(1,2)(x－2)2＋1的图象过点A(1，m)，B(4，n)，
∴m＝eq \f(1,2)×(1－2)2＋1＝eq \f(3,2)，n＝eq \f(1,2)×(4－2)2＋1＝3，∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，B(4，3)．
过点A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(3,2)))，
∴AC＝4－1＝3.
∵阴影部分的面积为9，∴易知AC·AA′＝3AA′＝9，∴AA′＝3.
即将函数y＝eq \f(1,2)(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一个新函数的图象，
∴新图象所对应的函数表达式是y＝eq \f(1,2)(x－2)2＋4.
三、16.解：由题可设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－3)，将(0，6)代入，得－3a＝6，解得a＝－2，
所以这个二次函数的表达式为y＝－2(x＋1)(x－3)＝－2x2＋4x＋6.
17．解：(1)y＝2x2－4x－6＝2(x－1)2－8.
(2)如图．
(3)－8≤y≤0
18．解：(1)将(－1，0)代入y＝(x＋2)2＋m，得0＝1＋m，
解得m＝－1，
∴y＝(x＋2)2－1，
当x＝0时，y＝3，
∴点C的坐标为(0，3)，
∵点B与点C关于该抛物线的对称轴对称，且其对称轴为直线x＝－2，
∴点B的坐标为(－4，3)．
(2)∵点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(－4，3)，
∴由图象可知，(x＋2)2＋m≥kx＋b时，x≤－4或x≥－1.
19．解：(1)设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx，
由题易得B(－10，－7)，抛物线的对称轴为直线x＝30，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(100a－10b＝－7，,－\f(b,2a)＝30，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－0.01，,b＝0.6.))
故单个桥拱所在抛物线的表达式是y＝－0.01x2＋0.6x.
(2)∵y＝－0.01x2＋0.6x＝－0.01(x－30)2＋9，
∴当x＝30时，y取得最大值9.
9＋7＝16(米)，
故桥拱最高点到水面的距离是16米．
20．解：(1)由题意得AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(62＋82)＝10(cm)，
BQ＝t cm，BP＝(10－2t)cm.
如图①，过点P作PH⊥BC于点H.
∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴AC∥PH，
∴△BPH∽△BAC，∴eq \f(PH,AC)＝eq \f(BP,BA)，
∴eq \f(PH,6)＝eq \f(10－2t,10)，
∴PH＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6－\f(6,5)t))cm.
∴S＝eq \f(1,2)BQ·PH＝eq \f(1,2)teq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6－\f(6,5)t))＝－eq \f(3,5)t2＋3t(0＜t＜5)．
(2)当△PBQ为等腰三角形时，可分以下3种情况：
当BP＝BQ时，10－2t＝t，解得t＝eq \f(10,3)；
当BQ＝PQ时，如图②，作QE⊥AB于点E，
则BE＝eq \f(1,2)BP＝(5－t)cm.
∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠QEB＝90°，
∴△BQE∽△BAC，
∴eq \f(BQ,AB)＝eq \f(BE,BC)，即eq \f(t,10)＝eq \f(5－t,8)，
解得t＝eq \f(25,9)；
当BP＝PQ时，如图③，作PF⊥BC于点F，
则BF＝eq \f(1,2)BQ＝eq \f(1,2)t cm.
∵∠B＝∠B，∠PFB＝∠C＝90°，
∴△BPF∽△BAC，
∴eq \f(BP,AB)＝eq \f(BF,BC)，即eq \f(10－2t,10)＝eq \f(\f(t,2),8)，
解得t＝eq \f(80,21).
综上，当t＝eq \f(10,3)或eq \f(25,9)或eq \f(80,21)时，△PBQ为等腰三角形．
21．解：(1)设每场的基本价为b万元，p与x之间的函数关系式为p＝ax＋b，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3a＋b＝10.6，,10a＋b＝12，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0.2，,b＝10.))
∴每场的基本价为10万元，p与x之间的函数关系式为p＝0.2x＋10(1≤x≤30，且x为整数)．
(2)设每场获得的利润为w万元，根据题意，
得w＝(0.2x＋10－10)(－x＋50)＝－0.2x2＋10x＝－0.2(x－25)2＋125，
∵－0.2＜0，
∴当x＝25时，w取得最大值，最大值为125，
故第25场的利润最大，最大利润为125万元．
22．解：(1)ACD
(2)③当Δ＝b2－4ac<0时，有4ac－b2>0，
∴eq \f(4ac－b2,4a)>0，
∴顶点在x轴的上方，即抛物线与x轴无交点，如图，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．
(3)可用函数观点来认识二元一次方程组的解(答案不唯一)
23．解：(1)A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)．
(2)如图①，过点D分别作DG⊥x轴，DH⊥y轴，垂足分别为点G，H.
设点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，－\f(1,2)m2＋\f(3,2)m＋2))(m>0)，
∴易知S△DCO＝eq \f(1,2)OC·DH＝eq \f(1,2)×2×m，
S△BOD＝eq \f(1,2)OB·DG＝eq \f(1,2)×4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)m2＋\f(3,2)m＋2))，
∵S△COD＝eq \f(1,3)S△OBD，
∴eq \f(1,2)×2×m＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)m2＋\f(3,2)m＋2))，
解得m1＝2，m2＝－2(舍去)．
当m＝2时，－eq \f(1,2)m2＋eq \f(3,2)m＋2＝3，
∴点D的坐标为(2，3)．
(3)BC平分线段OD.理由如下：
如图②，过点D作DQ∥y轴，并且交直线BC于点Q，则点Q的横坐标为2，∠OCE＝∠DQE，
设直线BC的表达式为y＝kx＋b，
把点B(4，0)，C(0，2)的坐标代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4k＋b＝0，,b＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,2)，,b＝2.))
∴直线BC的表达式为y＝－eq \f(1,2)x＋2.
把x＝2代入y＝－eq \f(1,2)x＋2，得y＝1，
∴点Q(2，1)．
∴DQ＝3－1＝2.
∴DQ＝OC＝2.
又∵∠CEO＝∠QED，
∴△COE≌△QDE，
∴OE＝DE.
∴BC平分线段OD.
x(场)
3
10
p(万元)
10.6
12