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人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算教案
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算教案，共30页。教案主要包含了【单元目标】，【单元知识结构框架】，【学情分析】，【教学设计思路/过程】，【教学问题诊断分析】，【教学成果自我检测】等内容，欢迎下载使用。
（1）借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加、减运算及运算规则，理解其几何意义。
（2）通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及运算规则，理解其几何意义。理解两个平面共线的含义。
（3）了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。
（4）通过物理中的“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。
（5）通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义。
（6）会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
二、【单元知识结构框架】
三、【学情分析】
学生已具备了一定的观察问题、分析问题的学习习惯，以及能从简单的物理背景及生活背景中抽象出数学概念的能力，这些都是学生学习本单元的基础．
从物理背景引出向量运算的过程对学生来说仍然存在困难．特别是向量既有大小，也有方向，在向量的线性运算中，对于方向如何参与运算，学生没有直接的经验．另外，向量的运算性质的探究过程是类比实数的运算性质．类比数的运算，学生能够想到向量的线性运算可能会有一些类似的运算性质，虽然名称相同，但运算的原理、方法、运算规律都有较大的区别，学生很容易带着实数运算的思维定势来理解平面向量运算，导致学生对向量的运算偏于形式化记忆，对于平面向量的线性运算概念、算理的理解不深刻．再有，向量的加法的定义是用作图语言来刻画的，对直接通过作图定义向量运算的这种处理方法，学生是第一次接触，在理解上会有一定的困难．
向量的每一种运算都具有二重性，既表现为过程操作，又表现为一种对象、结构．这对学生整体理解每一种向量的运算也带来一定的困难．平面向量的加法具有丰富的物理背景，平面向量的线性运算蕴含着特定的几何意义，学生们原有的物理学习、几何学习的差异性也会直接影响他们对向量线性运算的学习．
两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区．同时利用向量的数量积，可以解决两向量垂直问题，要深刻理解两向量垂直的充要条件，应用的时候才能得心应手．
向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义，用途广泛．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量，这个不同点沟通了向量运算与数量之间的关系．
对于向量的数量积运算，学生容易受实数乘法运算性质的负迁移的影响。
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约6 课时
第1课时：向量的加法运算；
第2课时：向量的减法运算
第3课时：向量的数乘运算；
第4课时：共线向量与向量数乘运算的关系；
第5课时：平面向量数量积的物理背景及其含义；
第6课时：平面向量数量积的运算律．
教学重点： 向量加、减运算的运算法则及其几何意义，向量数乘运算的定义及其几何意义，向量数量积的概念与运算律。
教学难点：对向量加法运算法则与向量减法运算法则的理解，对向量数量积的概念及运算律的理解，向量数量积的应用。
五、【教学问题诊断分析】
6.2.1向量的加法运算
引言：我们知道，实数有了运算，威力无穷．向量是否能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算．本节我们就来研究平面向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用。
问题1：位移、力是向量，它们可以合成．我们看看能否从位移的合成、力的合成中得到启发引进向量的运算．我们先来看一个与位移有关的问题。
如图1，某质点M从点A经过点B到点C，质点M的位移如何表示？
用具有较大的开放性和统摄性的问题开场，有利于帮助学生站在数学知识的整体高度认识问题、思考问题，并知道探究向量的运算从哪里开始，要到哪里去。
【破解方法】这容易让我们想到向量可以这样作加法运算，点明本节课首先研究向量的加法运算。启发学生由位移的合成引入向量的加法。
问题2：由位移的合成，你认为如何进行两个向量的加法运算？
【破解方法】学生借助位移的合成引入向量与向量之间的一种运算——向量的加法运算．教师要关注全体学生对这个问题的理解，鼓励学生独立思考后，进行交流．最后，教师给出向量加法的定义及向量加法的三角形法则．对于向量加法的三角形法则，教师要关注学生对它的意义的理解，强调向量的和的方向。
问题3：对于矢量的合成，物理学中还有其他方法吗？请看下面的问题：
如图2，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力的作用，你能作出这个物体所受的合力F吗？由此你能给出向量加法的另一个法则吗？
【破解方法】学生独立思考，动手操作后，小组交流，最后师生由力的合成引入向量加法的平行四边形法则．
问题4：向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？
【破解方法】学生画图探索，学生代表展示并发表见解，师生共同归纳结论：向量加法的三角形法则和平行四边形法则本质上是一致的，解决具体的向量加法问题时，可以有选择地使用。
问题5：例1 如图3，已知向量a，b，求作向量a+b．
【破解方法】学生先尝试，通过独立思考和动手操作，经过同学交流，教师让不同的学生代表展示向量加法的两个法则的作法．必要时，师生一起通过几何画板等信息技术工具，改变向量a，b的大小和方向，求作向量a+b，教师强调向量的和的方向，帮助学生明确向量加法的几何意义．
追问1：在向量加法的作图中，你认为用三角形法则作图应注意什么？用平行四边形法则作图呢？
【破解方法】学生思考回答，教师概括：在向量加法作图时，向量起点可以在平面上任意选取，用向量的三角形法则作图时，两个向量首尾相连；而用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起；当两个向量共线时，采用三角形法则作两个向量的和。
问题6：如图4，（1）已知向量a，b共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能作出向量a+b吗？
（2）结合例1探索|a+b|，|a|，|b|之间的关系．
【破解方法】（1）学生自主探究，可以类比数的加法，也可以看成是三角形法则的特例，当两个向量共线时也符合“首尾相接，首尾连”的三角形法则．必要时可以借助多媒体手段演示作图过程，使学生有更直观的认识．
（2）学生思考、动手操作，由例1，借助三角形的性质（任意两边的和大于第三边）容易得到，当a，b不共线时，有|a+b|＜|a|+|b|成立．进一步发现，当a，b方向相反时，|a+b|＜|a|+|b|；当且仅当a，b方向相同时，|a+b|=|a|+|b|．从而有|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立
问题7：请你用文字语言、符号语言、图形语言分别描述如何求两个向量的和．
【破解方法】学生思考、交流．教师组织多个学生用三种数学语言表述如何求向量的加法，教师关注学生对向量加法的理解，帮助学生完整准确地理解向量的加法法则．
问题8： 从代数运算的角度理解，向量的加法是一种新的运算，定义了一种新的运算，自然要研究其运算律的问题．类比数的加法的运算律，你认为向量的加法是否也有运算律？先猜测有哪些运算律，再说明理由．
【破解方法】学生自主探究，猜想并互相交流．
对于向量加法的结合律的证明，学生可能存在一定困难，需要教师引导学生通过作图证明，并理解作图方法的多样性．借助多媒体手段，演示作图的两个路径（实际上是质点运动选择的路径不同，异曲同工而已）．
师生借助如图5（1），（2）分别证明向量加法的交换律和结合律．
问题9：例2 如图6，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，一艘船从长江南岸A地出发，航行的速度的大小为15 km/h，方向为垂直于对岸的方向，同时江水的速度为向东6 km/h．
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小（保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到）．
【破解方法】学生作出几何图形，将问题转化为向量加法问题，并依据向量加法定义及平面几何知识求解，给出解答过程和结果．这是首个将实际问题转化为向量问题的题目，对有困难的学生，教师可以引导学生阅读题意，思考问题中有哪些数据，能否画出图形，与所学的哪些向量知识有联系等等，并适当规范学生的书写。
6.2.2向量的减法运算
问题1 （1）类比实数x的相反数是-x，对于向量a，你能定义“相反向量”-a吗？它有哪些性质？
（2）你认为向量的减法该怎样定义？
（1）类比实数x的相反数是-x，定义相反向量，为帮助学生探讨向量的减法法则做准备．（2）引导学生类比数的减的减法定义向量的减法．
问题2 已知向量a和b，a-b的几何意义是什么？
．
最后师生共同概括向量减法的作图步骤：
如图2，已知向量a，b，在平面内任取一点O，作,即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
在此过程中教师需要强调向量减法的结果的方向，明确向量减法的几何意义．
追问1：（1）在图2中，如果从a的终点到b的终点作向量，那么所得向量是什么？
（2）如果改变图2中向量a的方向，使a∥b，怎样作出a－b呢？
【破解方法】让学生明确向量减法的几何意义．
问题3： 例3 如图3（1），已知向量a，b，c，d，求作向量a-b，c-d．
【破解方法】理解向量减法的几何意义，掌握作两个向量的差的基本方法．
问题4：例4.如图，在□ABCD中，AB=a，AD=b，你能用a，b表示向量AC，DB吗？
【破解方法】让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量．
6.2.3（1）向量的数乘运算
引言：我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？
问题1 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+ (-a)+ (-a)，它们的长度和方向是怎样的？
【破解方法】类比数的加法运算，用向量加法运算法则，计算3个向量a（或-a）的和，用简约的方式表示计算的结果，进而提出向量数乘运算的概念，发展学生的运算素养．
问题2 如果把非零向量a的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量b，向量b该如何表示？向量a，b之间的关系怎样？
【破解方法】通过用向量a表示结果，探讨结果的长度与方向，巩固向量数乘运算的概念．
问题3 我们知道实数的乘法有很好的运算律，那么向量数乘运算有哪些运算律呢？请你写出来并加以验证．
【破解方法】学生类比数的运算律自行猜想出向量数乘运算的运算律，并借助向量数乘运算的定义及其几何意义加以验证．帮助学生积累从运算的定义出发，发现数学运算的一些性质的学习经验．
例5 计算：
（1）(-3)×4a；
（2）3(a+b)-2(a-b)-a；
（3）(2a+3b-c)- (3a-2b+c)．
解：(1)原式=(−3×4)a=−12a；
(2)原式=3a+3b−2a+2b−a=5b；
(3)原式=2a+3b−c−3a+2b−c=−a+5b−2c.
【破解方法】帮助学生巩固向量数乘的概念及运用向量数乘的运算律进行计算，理解其中的算理，发展学生的数学运算素养．
例6.如图，□ABCD的两条对角线相交于点M，且AB=a，AD=b，用a，b表示MA，MB，MC和MD.
【破解方法】巩固向量加法、减法及向量数乘运算的定义，会用两个向量表示其他向量，渗透用向量研究几何问题的意识，为后继学习平面向量基本定理奠定基础．
6.2.3（2）共线向量与向量数乘运算的关系
例7.如图，已知任意两个非零向量a，b，试作OA=a+b，OB=a+2b，OC=a+3b.猜想A,B,C三点之间的位置关系，并证明你的猜想.
【破解方法】通过操作、观察，让学生掌握利用向量共线判断三点共线的方法，提高学生综合运用向量知识解决问题的能力，发展直观想象和逻辑推理数学素养．
例8.已知a，b是两个不共线的向量，向量b−ta，12a−32b共线，求实数t的值.
【破解方法】让学生熟练运用共线向量定理，体会知识间的联系．
6.2.4向量的数量积（1）
引言：前面我们学习了向量的加、减运算．类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义呢？
【破解方法】用具有较大的开放性和统摄性的问题开场，有利于帮助学生站在数学知识的整体高度认识问题、思考问题，并知道探究向量的运算从哪里开始，要到哪里去．
问题1 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s（如图所示），那么力F所做的功为，其中θ是F与s的夹角．
功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定．这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？
【破解方法】启发学生由物理中功的概念引入向量的数量积的概念，通过例题巩固数量积的概念．
问题2 定义：设是两个非零向量，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别做所在直线的垂线，垂足分别为,得到，我们称上述变换为叫做向量在上的投影（prjectin）．叫做向量在上的投影向量。
问题3 根据数量积的概念，数量积有哪些性质？
师生活动：教师与学生一起总结：
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
（1）a·e= e·a =|a|csθ．
（2）．（与任意向量垂直）
（3）当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=－|a||b|．
特别地，．
此外，由|csθ|≤1还可以得到
|a·b|≤|a||b|．
补充（5）
【破解方法】结合数量积、投影的概念和几何意义，让学生自己尝试得到数量积的性质，培养学生独立思考的能力．
6.2.4向量的数量积（2）
问题1 向量a与b的数量积的含义是什么？向量的数量积具有哪些运算性质？
a·b=|a||b|csθ，其中θ为向量a与b的夹角．
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
①a·e= e·a =|a|csθ．
②．
③当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|．
特别地，．
④|a·b|≤|a||b|．
补充 = 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤
与向量的线性运算一样，定义了向量的数量积后，就要研究数量积运算是否满足一些运算律．
【破解方法】引导学生复习数量积的概念，为后续学习运算律打基础．
问题2 类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量a，b，c和实数λ，有
①a·b= b·a；
②(λa)·b=λ（a·b）= a·(λb)；
③(a+b)·c=a·c + b·c．
证明：如图，任取一点O，作．
设a，b，a+b与c的夹角分别为它们在c上的投影分别为，与c方向相同的单位向量为e， 则
因为a=，即
整理，得
所以．
所以．
因此(a+b)·c=a·c+b·c．
所以向量的数量积运算满足分配律．
（3）教师追问：设a，b，c是向量，(a·b)c=a(b·c)一定成立吗？为什么？
【破解方法】有了运算方法就有运算律，通过问题让学生理解平面向量数量积运算律，并运用投影向量的性质证明数量积的分配律．
（1）；
（2）.
解：（1）；
（2）．
因此，上述结论是成立的．
例12 已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60，求(a+2b)·(a-3b)．
解：(a+2b)·(a-3b)=a·a-3a·b+2b·a-6b·b
=
=
=
=-72．
例13 已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线．当k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直？
解：a+kb与a-kb互相垂直的充要条件是(a+kb)·(a-kb)=0，即．因为
．
a+kb与a-kb互相垂直．
【破解方法】通过例题，让学生熟悉向量数量积的运算．
六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.
1．（2022春•温州期中）等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用向量的加法、减法法则求解．
【解答】解：＝﹣＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查了向量的加法、减法运算，属于基础题．
2．（2022春•河南月考）设O为△ABC的重心，M为△ABC所在平面内任意一点，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，由重心的性质可得++＝，又由＝+++++，变形可得答案．
【解答】解：根据题意，如图：设△ABC中，D、E、F分别为三边BC、AC和AB的中点，
又由O为△ABC的重心，则AD、BE、CF相交于点O，且++＝，
则＝+++++＝3，
故选：D．
【点评】本题考查向量的线性运算，涉及向量的加减运算，属于基础题．
3．（2022春•台州期末）的化简结果为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由平面向量的线性运算法则即可求得答案．
【解答】解：＝6﹣3﹣2﹣6＝4﹣9．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
4．（2022春•江岸区期末）已知，是平面内两个不共线向量，＝m+2，＝3﹣，A，B，C三点共线，则m＝（ ）
A．﹣B．C．﹣6D．6
【分析】根据共线向量和平面向量基本定理即可得出m的值．
【解答】解：∵A，B，C三点共线，
∴与共线，
∴存在λ，使，
∴，且不共线，
∴，解得m＝﹣6．
故选：C．
【点评】本题考查了共线向量和平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．
5．（2022春•聊城期末）若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态．已知|F1|＝1N，|F3|＝2N，F1与F3的夹角为120°，则F2的大小为（ ）
A．1NB．NC．ND．3N
【分析】由三力平衡，知||＝|+|，将其两边平方，并结合平面向量的数量积进行运算，得解．
【解答】解：由题意知，||＝|+|，
所以||2＝|+|2＝||2+2•+||2＝1+2×1×2×cs120°+4＝3，
所以||＝．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量数量积的物理应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
6．（2022春•雨花台区校级月考）已知向量＝（2，0），＝（﹣1，﹣1），则下列结论正确的是（ ）
A．•＝﹣3B．∥C．⊥（+）D．||＝||
【分析】根据向量的数量积的坐标运算，向量垂直与平行的性质，向量的模的定义即可分别求解．
【解答】解：∵＝（2，0），＝（﹣1，﹣1），
∴，∴A错误；
又2×（﹣1）﹣（﹣1）×0≠0，∴与不平行，∴B错误；
∵＝＝﹣2+2＝0，∴⊥（+），∴C正确；
∵||＝2，||＝，∴||≠||，∴D错误．
故选：C．
【点评】本题考查向量的数量积的坐标运算，向量垂直与平行的性质，向量的模的定义，属基础题．
7．（2022春•丹东期末）设向量＝（4，0），＝（﹣1，），则在上的投影的数量为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．1D．2
【分析】根据已知条件，结合向量的投影公式，即可求解．
【解答】解：∵＝（4，0），＝（﹣1，），
∴，，
∴在上的投影的数量为．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量的投影公式，属于基础题．
8．（2022春•长清区校级月考）连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量（m，n）与向量（﹣1，1）的夹角的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，以及列举法，即可求解．
【解答】解：由题意可知，向量（m，n）的可能组合有36种，
要使向量（m，n）与向量（﹣1，1）的夹角，
则（m，n）•（﹣1，1）＝n﹣m＜0，即n＜m，
满足条件的情况如下：
当m＝2时，n∈{1}，
当m＝3时，n∈{1，2}，
当m＝4时，n∈{1，2，3}，
当m＝5时，n∈{1，2，3，4}，
当m＝6时，n∈{1，2，3，4，5}，
综上所述，共有15种，
故向量（m，n）与向量（﹣1，1）的夹角的概率是．
故选：D．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积公式，以及列举法，属于基础题．
9．（2022春•常熟市校级期中）已知向量＝（1，2），+＝（m，3），若⊥，则m＝（ ）
A．﹣3B．﹣1C．﹣2D．3
【分析】根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：∵＝（1，2），+＝（m，3），
∴＝（m﹣1，1），
∵⊥，
∴1×（m﹣1）+1×2＝0，解得m＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
2．课堂检测
设计意图：进一步理解与巩固
一．选择题（共7小题）
1．（2022春•雨花台区校级月考）已知向量＝（2，0），＝（﹣1，﹣1），则下列结论正确的是（ ）
A．•＝﹣3B．∥C．⊥（+）D．||＝||
【分析】根据向量的数量积的坐标运算，向量垂直与平行的性质，向量的模的定义即可分别求解．
【解答】解：∵＝（2，0），＝（﹣1，﹣1），
∴，∴A错误；
又2×（﹣1）﹣（﹣1）×0≠0，∴与不平行，∴B错误；
∵＝＝﹣2+2＝0，∴⊥（+），∴C正确；
∵||＝2，||＝，∴||≠||，∴D错误．
故选：C．
【点评】本题考查向量的数量积的坐标运算，向量垂直与平行的性质，向量的模的定义，属基础题．
2．（2022春•重庆期中）下列等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用向量的加减运算逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
＝，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查向量的加减运算，是基础题．
3．（2022春•滑县期末）如图为正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用向量的加法运算求解即可．
【解答】解：∵正八边形ABCDEFGH，
∴＝++＝+＝+＝，
故选：A．
【点评】本题考查向量的加法运算，属于基础题．
4．（2023秋•张家港市月考）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，N为线段BC的中点，M为线段AC上靠近点A的三等分点，两条直线AN与BM相交于点P，则•＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的线性运算求解即可．
【解答】解：设，，
又，
则，
又N为线段BC的中点，M为线段AC上靠近点A的三等分点，
则，
又，不共线，
则，
即，
即，
则•＝＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属基础题．
5．（2022春•鼓楼区校级月考）若向量，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用向量的夹角运算和向量的模的运算的应用求出结果．
【解答】解：对于向量，
所以，
由于θ∈[0，π]，
所以：．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：向量的夹角运算，向量的模，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
6．（2022春•秦淮区校级月考）已知、、为单位向量，且满足，则与的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【分析】根据题意，设向量与的夹角为θ，由，数量积的计算公式变形可得2+2•+2＝2，变形计算可得csθ＝﹣，结合θ的范围，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设向量与的夹角为θ，
又由，则有（+）2＝（）2，
2+2•+2＝2，
又由，，是单位向量，即||＝||＝||＝1，
即有csθ＝﹣；
则θ＝120°，
故选：D．
【点评】本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量的数量积的计算公式，属基础题．
7．（2022春•太仓市校级月考）已知为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围为（ ）
A．（0，+∞）B．（0，10）∪（10，+∞）
C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，0）
【分析】利用向量垂直、单位向量、向量夹角余弦公式、向量平行的性质，能求出λ的取值范围．
【解答】解：∵为互相垂直的单位向量，，
∴＝﹣4+（λ﹣2），
∵与的夹角为锐角，
∴＝4+2（λ﹣2）＞0，且与不平行，
解得λ＞0，
当∥（）时，，解得λ＝10，
∴与的夹角为锐角时，λ的取值范围为（0，10）∪（10，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查二倍角的三角函数、同角三角函数的基本关系式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2022春•滨江区校级期中）已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角为30°
D．向量在上的投影向量为
【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算及投影向量的运算逐一判断即可得解．
【解答】解：已知平面向量，，
对于选项A，，则，即选项A错误；
对于选项B，，即选项B正确；
对于选项C，向量与的夹角的余弦值为＝，则向量与的夹角为60°，即选项C错误；
对于选项D，向量在上的投影向量为＝，即选项D正确，
故选：BD．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算及投影向量的运算，属基础题．
（多选）9．（2022春•秦淮区校级月考）已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．＝﹣1C．D．
【分析】利用向量数量积公式、向量垂直、向量的模、向量夹角公式直接求解．
【解答】解：|+|2＝3，∴2+2•+2＝3，∴1+2•+4＝3，
∴•＝﹣1，故B正确；
∴cs＜，＞＝＝＝﹣，∴与夹角为，与不共线，故A错误；
∴（﹣）＝2﹣•＝2，故C错误；
∴|﹣|2＝2﹣2•+2＝7，∴|﹣|＝，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查向量数量积公式、向量垂直、向量的模、向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（2022春•运城月考）已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的夹角为60°
C．在上的投影向量为
D．在上的投影向量为
【分析】利用向量的坐标运算以及向量垂直定义，向量夹角公式，投影向量的定义求解逐一判断即可．
【解答】解：因为，
所以＝3×1+1×3＝6，||＝||＝，
所以（）•（）＝＝10﹣10＝0，
故，A显然正确；
设θ为的夹角，则由向量夹角公式可得，B显然错误；
在上的投影向量为||csθ＝，C显然正确；
在上的投影向量为||csθ•＝，D显然错误．
故选：AC．
【点评】本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量垂直、向量夹角公式以及投影向量，属于中档题．
三．填空题（共6小题）
11．（2022春•秦淮区校级月考）化简：﹣+＝ ．
【分析】直接根据向量的加减法求解即可．
【解答】解：∵﹣＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查向量的加减混合运算，属于基础题．
12．（2022春•长清区校级月考）已知向量，满足||＝1，||＝3，且|2+|＝，则||与||的夹角θ为 ．
【分析】将||＝7两边平行，求出，夹角的余弦值，由此能求出两个向量的夹角．
【解答】解：∵向量，满足||＝1，||＝3，且|2+|＝，
，夹角为θ，θ∈[0，π]，
∴＝4+4+＝7，
∴4+4×1×3×csθ+9＝7，
解得csθ＝﹣，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的模、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13．（2022春•太仓市校级月考）已知△ABC满足，则csA＝ ，若，则＝ ．
【分析】由平面向量数量积的运算，结合两角和、差的余弦公式求解即可．
【解答】解：设|AB|＝c，|AC|＝b，|BC|＝a，
由题意可得3a2＝2bc，
即3sin2A＝2sinBsinC，
又，
即，
即，
又，
则csBcsC+sinBsinC＝csA，
即，
即9cs2A+6csA﹣8＝0，
即csA＝（舍）或csA＝，
即；
因为csA＝，
即cs（B﹣C）＝1，
又﹣π＜B﹣C＜π，
则B﹣C＝0，
即B＝C，
即b＝c＝1，a＝，
又，
则csB＝，
则＝accs（π﹣B）＝，
故答案为：；．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了两角和、差的余弦公式，属基础题．
14．（2022春•太仓市校级月考）已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点P在BC上（包括端点），则的取值范围是 [2，4] ．
【分析】先建系，求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解即可．
【解答】解：已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，
则AC＝2，BD＝，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则B（﹣，0），C（0，1），A（0，﹣1），
设，0≤λ≤1，
则，
则，，
则＝＝4﹣2λ，
又0≤λ≤1，
即2≤≤4，
故答案为：[2，4]．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．
15．（2022春•常熟市校级月考）在△ABC中，，点D满足，且对任意x∈R，恒成立，则cs∠ABC＝ ．
【分析】根据向量的线性运算，数形结合思想即可求解．
【解答】解：∵∀x∈R，恒成立，
∴∀t∈R，|﹣t|≥BD，（t＝﹣x），
设，（t∈R），则点P在直线AC上，
∴∀t∈R，|﹣|≥BD，
∴BP≥BD，
∴BD⊥AC，又，
设AD＝2，则DC＝1，BC＝，
又∠BAC＝，∴BD＝2，
设∠ABD＝φ，∠CBD＝θ，
则φ＝，csθ＝，sinθ＝，
∴cs∠ABC＝cs（θ+φ）＝cs（θ+）
＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的线性运算，数形结合思想，属中档题．
16．（2022春•惠山区校级月考）已知向量满足，，则的最大值为 2 ．
【分析】根据向量模的求法及数量积的定义求解．
【解答】解：设向量，的夹角为θ，θ∈[0，π]，
因为，
所以，，
所以，
则，
所以y2的最大值是20，y＞0，y的最大值是，
即的最大值是．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：向量的模的最值得求法，三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
四．解答题（共3小题）
17．（2022春•富拉尔基区校级月考）如图，在梯形ABCD中，E为DC的中点，AD∥BC，∠BAD＝，∠BDA＝，BC＝BD．
（1）求•；
（2）求与夹角的余弦值．
【分析】（1）先结合题意建立平面直角坐标系，然后求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解即可；
（2）由平面向量数量积的坐标运算，结合与夹角的余弦值为求解即可．
【解答】解：（1）由题意建立如图所示的平面直角坐标系，
设AD＝1，
又在梯形ABCD中，E为DC的中点，AD∥BC，∠BAD＝，∠BDA＝，BC＝BD，
则A（0，0），D（1，0），B（0，），C（2，），E（，），
则＝＝；
（2）由（1）可得，，
则，，，
则与夹角的余弦值为＝．
【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了平面向量的夹角的求法，属基础题．
18．（2022春•滨江区校级期中）已知半圆圆心为O点，直径AB＝2，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若，求与夹角的大小；
（3）试求点P的坐标，使取得最小值，并求此最小值．
【分析】（1）结合题意求出点A、B、C的坐标即可；
（2）由，结合平面向量数量积的坐标运算求解即可；
（3）由平面向量数量积的坐标运算，结合二次函数最值的求法求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知：A（﹣1，0），B（1，0），C（cs，sin），
即点A、B、C的坐标为A（﹣1，0），B（1，0），C（﹣，）；
（2）由，
则＝，
又＝，
则＝，
又，，
则＝，
又，
则，
即与夹角的大小为；
（3）设，
即，0≤λ≤1，
则，
则＝，
又0≤λ≤1，
当，即时，取得最小值，且最小值为．
【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了平面向量夹角的运算，属中档题．
19．（2022春•鼓楼区校级月考）已知，向量与的夹角为．
（1）求；
（2）求令向量与垂直的实数m的值．
【分析】（1）根据向量数量积的性质与定义即可求解；
（2）根据向量垂直的性质建立方程即可求解．
【解答】解：（1）∵
＝4﹣6×2×3×（）+9×9＝103，
∴||＝；
（2）∵与垂直，
∴，
∴，
∴8m﹣3（m+8）+36＝0，
解得m＝．
【点评】本题考查量数量积的性质与定义，向量垂直的性质，方程思想，属基础题．
3．课后作业
设计意图：巩固提升.
课本习题6.2复习巩固、综合运用、拓展探索
（1）借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加、减运算及运算规则，理解其几何意义。
（2）通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及运算规则，理解其几何意义。理解两个平面共线的含义。
（3）了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。
（4）通过物理中的“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。
（5）通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义。
（6）会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
二、【单元知识结构框架】
三、【学情分析】
学生已具备了一定的观察问题、分析问题的学习习惯，以及能从简单的物理背景及生活背景中抽象出数学概念的能力，这些都是学生学习本单元的基础．
从物理背景引出向量运算的过程对学生来说仍然存在困难．特别是向量既有大小，也有方向，在向量的线性运算中，对于方向如何参与运算，学生没有直接的经验．另外，向量的运算性质的探究过程是类比实数的运算性质．类比数的运算，学生能够想到向量的线性运算可能会有一些类似的运算性质，虽然名称相同，但运算的原理、方法、运算规律都有较大的区别，学生很容易带着实数运算的思维定势来理解平面向量运算，导致学生对向量的运算偏于形式化记忆，对于平面向量的线性运算概念、算理的理解不深刻．再有，向量的加法的定义是用作图语言来刻画的，对直接通过作图定义向量运算的这种处理方法，学生是第一次接触，在理解上会有一定的困难．
向量的每一种运算都具有二重性，既表现为过程操作，又表现为一种对象、结构．这对学生整体理解每一种向量的运算也带来一定的困难．平面向量的加法具有丰富的物理背景，平面向量的线性运算蕴含着特定的几何意义，学生们原有的物理学习、几何学习的差异性也会直接影响他们对向量线性运算的学习．
两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区．同时利用向量的数量积，可以解决两向量垂直问题，要深刻理解两向量垂直的充要条件，应用的时候才能得心应手．
向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义，用途广泛．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量，这个不同点沟通了向量运算与数量之间的关系．
对于向量的数量积运算，学生容易受实数乘法运算性质的负迁移的影响。
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约6 课时
第1课时：向量的加法运算；
第2课时：向量的减法运算
第3课时：向量的数乘运算；
第4课时：共线向量与向量数乘运算的关系；
第5课时：平面向量数量积的物理背景及其含义；
第6课时：平面向量数量积的运算律．
教学重点： 向量加、减运算的运算法则及其几何意义，向量数乘运算的定义及其几何意义，向量数量积的概念与运算律。
教学难点：对向量加法运算法则与向量减法运算法则的理解，对向量数量积的概念及运算律的理解，向量数量积的应用。
五、【教学问题诊断分析】
6.2.1向量的加法运算
引言：我们知道，实数有了运算，威力无穷．向量是否能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算．本节我们就来研究平面向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用。
问题1：位移、力是向量，它们可以合成．我们看看能否从位移的合成、力的合成中得到启发引进向量的运算．我们先来看一个与位移有关的问题。
如图1，某质点M从点A经过点B到点C，质点M的位移如何表示？
用具有较大的开放性和统摄性的问题开场，有利于帮助学生站在数学知识的整体高度认识问题、思考问题，并知道探究向量的运算从哪里开始，要到哪里去。
【破解方法】这容易让我们想到向量可以这样作加法运算，点明本节课首先研究向量的加法运算。启发学生由位移的合成引入向量的加法。
问题2：由位移的合成，你认为如何进行两个向量的加法运算？
【破解方法】学生借助位移的合成引入向量与向量之间的一种运算——向量的加法运算．教师要关注全体学生对这个问题的理解，鼓励学生独立思考后，进行交流．最后，教师给出向量加法的定义及向量加法的三角形法则．对于向量加法的三角形法则，教师要关注学生对它的意义的理解，强调向量的和的方向。
问题3：对于矢量的合成，物理学中还有其他方法吗？请看下面的问题：
如图2，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力的作用，你能作出这个物体所受的合力F吗？由此你能给出向量加法的另一个法则吗？
【破解方法】学生独立思考，动手操作后，小组交流，最后师生由力的合成引入向量加法的平行四边形法则．
问题4：向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？
【破解方法】学生画图探索，学生代表展示并发表见解，师生共同归纳结论：向量加法的三角形法则和平行四边形法则本质上是一致的，解决具体的向量加法问题时，可以有选择地使用。
问题5：例1 如图3，已知向量a，b，求作向量a+b．
【破解方法】学生先尝试，通过独立思考和动手操作，经过同学交流，教师让不同的学生代表展示向量加法的两个法则的作法．必要时，师生一起通过几何画板等信息技术工具，改变向量a，b的大小和方向，求作向量a+b，教师强调向量的和的方向，帮助学生明确向量加法的几何意义．
追问1：在向量加法的作图中，你认为用三角形法则作图应注意什么？用平行四边形法则作图呢？
【破解方法】学生思考回答，教师概括：在向量加法作图时，向量起点可以在平面上任意选取，用向量的三角形法则作图时，两个向量首尾相连；而用平行四边形法则作图时应强调向量的起点放在一起；当两个向量共线时，采用三角形法则作两个向量的和。
问题6：如图4，（1）已知向量a，b共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能作出向量a+b吗？
（2）结合例1探索|a+b|，|a|，|b|之间的关系．
【破解方法】（1）学生自主探究，可以类比数的加法，也可以看成是三角形法则的特例，当两个向量共线时也符合“首尾相接，首尾连”的三角形法则．必要时可以借助多媒体手段演示作图过程，使学生有更直观的认识．
（2）学生思考、动手操作，由例1，借助三角形的性质（任意两边的和大于第三边）容易得到，当a，b不共线时，有|a+b|＜|a|+|b|成立．进一步发现，当a，b方向相反时，|a+b|＜|a|+|b|；当且仅当a，b方向相同时，|a+b|=|a|+|b|．从而有|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立
问题7：请你用文字语言、符号语言、图形语言分别描述如何求两个向量的和．
【破解方法】学生思考、交流．教师组织多个学生用三种数学语言表述如何求向量的加法，教师关注学生对向量加法的理解，帮助学生完整准确地理解向量的加法法则．
问题8： 从代数运算的角度理解，向量的加法是一种新的运算，定义了一种新的运算，自然要研究其运算律的问题．类比数的加法的运算律，你认为向量的加法是否也有运算律？先猜测有哪些运算律，再说明理由．
【破解方法】学生自主探究，猜想并互相交流．
对于向量加法的结合律的证明，学生可能存在一定困难，需要教师引导学生通过作图证明，并理解作图方法的多样性．借助多媒体手段，演示作图的两个路径（实际上是质点运动选择的路径不同，异曲同工而已）．
师生借助如图5（1），（2）分别证明向量加法的交换律和结合律．
问题9：例2 如图6，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，一艘船从长江南岸A地出发，航行的速度的大小为15 km/h，方向为垂直于对岸的方向，同时江水的速度为向东6 km/h．
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小（保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到）．
【破解方法】学生作出几何图形，将问题转化为向量加法问题，并依据向量加法定义及平面几何知识求解，给出解答过程和结果．这是首个将实际问题转化为向量问题的题目，对有困难的学生，教师可以引导学生阅读题意，思考问题中有哪些数据，能否画出图形，与所学的哪些向量知识有联系等等，并适当规范学生的书写。
6.2.2向量的减法运算
问题1 （1）类比实数x的相反数是-x，对于向量a，你能定义“相反向量”-a吗？它有哪些性质？
（2）你认为向量的减法该怎样定义？
（1）类比实数x的相反数是-x，定义相反向量，为帮助学生探讨向量的减法法则做准备．（2）引导学生类比数的减的减法定义向量的减法．
问题2 已知向量a和b，a-b的几何意义是什么？
．
最后师生共同概括向量减法的作图步骤：
如图2，已知向量a，b，在平面内任取一点O，作,即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
在此过程中教师需要强调向量减法的结果的方向，明确向量减法的几何意义．
追问1：（1）在图2中，如果从a的终点到b的终点作向量，那么所得向量是什么？
（2）如果改变图2中向量a的方向，使a∥b，怎样作出a－b呢？
【破解方法】让学生明确向量减法的几何意义．
问题3： 例3 如图3（1），已知向量a，b，c，d，求作向量a-b，c-d．
【破解方法】理解向量减法的几何意义，掌握作两个向量的差的基本方法．
问题4：例4.如图，在□ABCD中，AB=a，AD=b，你能用a，b表示向量AC，DB吗？
【破解方法】让学生借助向量的加、减运算用已知向量表示其他向量．
6.2.3（1）向量的数乘运算
引言：我们知道数是可以做乘法的，平面向量既有大小，又有方向，平面向量可以做乘法吗？它和实数可以做乘法吗？
问题1 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+ (-a)+ (-a)，它们的长度和方向是怎样的？
【破解方法】类比数的加法运算，用向量加法运算法则，计算3个向量a（或-a）的和，用简约的方式表示计算的结果，进而提出向量数乘运算的概念，发展学生的运算素养．
问题2 如果把非零向量a的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量b，向量b该如何表示？向量a，b之间的关系怎样？
【破解方法】通过用向量a表示结果，探讨结果的长度与方向，巩固向量数乘运算的概念．
问题3 我们知道实数的乘法有很好的运算律，那么向量数乘运算有哪些运算律呢？请你写出来并加以验证．
【破解方法】学生类比数的运算律自行猜想出向量数乘运算的运算律，并借助向量数乘运算的定义及其几何意义加以验证．帮助学生积累从运算的定义出发，发现数学运算的一些性质的学习经验．
例5 计算：
（1）(-3)×4a；
（2）3(a+b)-2(a-b)-a；
（3）(2a+3b-c)- (3a-2b+c)．
解：(1)原式=(−3×4)a=−12a；
(2)原式=3a+3b−2a+2b−a=5b；
(3)原式=2a+3b−c−3a+2b−c=−a+5b−2c.
【破解方法】帮助学生巩固向量数乘的概念及运用向量数乘的运算律进行计算，理解其中的算理，发展学生的数学运算素养．
例6.如图，□ABCD的两条对角线相交于点M，且AB=a，AD=b，用a，b表示MA，MB，MC和MD.
【破解方法】巩固向量加法、减法及向量数乘运算的定义，会用两个向量表示其他向量，渗透用向量研究几何问题的意识，为后继学习平面向量基本定理奠定基础．
6.2.3（2）共线向量与向量数乘运算的关系
例7.如图，已知任意两个非零向量a，b，试作OA=a+b，OB=a+2b，OC=a+3b.猜想A,B,C三点之间的位置关系，并证明你的猜想.
【破解方法】通过操作、观察，让学生掌握利用向量共线判断三点共线的方法，提高学生综合运用向量知识解决问题的能力，发展直观想象和逻辑推理数学素养．
例8.已知a，b是两个不共线的向量，向量b−ta，12a−32b共线，求实数t的值.
【破解方法】让学生熟练运用共线向量定理，体会知识间的联系．
6.2.4向量的数量积（1）
引言：前面我们学习了向量的加、减运算．类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义呢？
【破解方法】用具有较大的开放性和统摄性的问题开场，有利于帮助学生站在数学知识的整体高度认识问题、思考问题，并知道探究向量的运算从哪里开始，要到哪里去．
问题1 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s（如图所示），那么力F所做的功为，其中θ是F与s的夹角．
功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定．这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？
【破解方法】启发学生由物理中功的概念引入向量的数量积的概念，通过例题巩固数量积的概念．
问题2 定义：设是两个非零向量，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别做所在直线的垂线，垂足分别为,得到，我们称上述变换为叫做向量在上的投影（prjectin）．叫做向量在上的投影向量。
问题3 根据数量积的概念，数量积有哪些性质？
师生活动：教师与学生一起总结：
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
（1）a·e= e·a =|a|csθ．
（2）．（与任意向量垂直）
（3）当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=－|a||b|．
特别地，．
此外，由|csθ|≤1还可以得到
|a·b|≤|a||b|．
补充（5）
【破解方法】结合数量积、投影的概念和几何意义，让学生自己尝试得到数量积的性质，培养学生独立思考的能力．
6.2.4向量的数量积（2）
问题1 向量a与b的数量积的含义是什么？向量的数量积具有哪些运算性质？
a·b=|a||b|csθ，其中θ为向量a与b的夹角．
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
①a·e= e·a =|a|csθ．
②．
③当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|．
特别地，．
④|a·b|≤|a||b|．
补充 = 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤
与向量的线性运算一样，定义了向量的数量积后，就要研究数量积运算是否满足一些运算律．
【破解方法】引导学生复习数量积的概念，为后续学习运算律打基础．
问题2 类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量a，b，c和实数λ，有
①a·b= b·a；
②(λa)·b=λ（a·b）= a·(λb)；
③(a+b)·c=a·c + b·c．
证明：如图，任取一点O，作．
设a，b，a+b与c的夹角分别为它们在c上的投影分别为，与c方向相同的单位向量为e， 则
因为a=，即
整理，得
所以．
所以．
因此(a+b)·c=a·c+b·c．
所以向量的数量积运算满足分配律．
（3）教师追问：设a，b，c是向量，(a·b)c=a(b·c)一定成立吗？为什么？
【破解方法】有了运算方法就有运算律，通过问题让学生理解平面向量数量积运算律，并运用投影向量的性质证明数量积的分配律．
（1）；
（2）.
解：（1）；
（2）．
因此，上述结论是成立的．
例12 已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60，求(a+2b)·(a-3b)．
解：(a+2b)·(a-3b)=a·a-3a·b+2b·a-6b·b
=
=
=
=-72．
例13 已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线．当k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直？
解：a+kb与a-kb互相垂直的充要条件是(a+kb)·(a-kb)=0，即．因为
．
a+kb与a-kb互相垂直．
【破解方法】通过例题，让学生熟悉向量数量积的运算．
六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.
1．（2022春•温州期中）等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用向量的加法、减法法则求解．
【解答】解：＝﹣＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查了向量的加法、减法运算，属于基础题．
2．（2022春•河南月考）设O为△ABC的重心，M为△ABC所在平面内任意一点，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，由重心的性质可得++＝，又由＝+++++，变形可得答案．
【解答】解：根据题意，如图：设△ABC中，D、E、F分别为三边BC、AC和AB的中点，
又由O为△ABC的重心，则AD、BE、CF相交于点O，且++＝，
则＝+++++＝3，
故选：D．
【点评】本题考查向量的线性运算，涉及向量的加减运算，属于基础题．
3．（2022春•台州期末）的化简结果为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由平面向量的线性运算法则即可求得答案．
【解答】解：＝6﹣3﹣2﹣6＝4﹣9．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
4．（2022春•江岸区期末）已知，是平面内两个不共线向量，＝m+2，＝3﹣，A，B，C三点共线，则m＝（ ）
A．﹣B．C．﹣6D．6
【分析】根据共线向量和平面向量基本定理即可得出m的值．
【解答】解：∵A，B，C三点共线，
∴与共线，
∴存在λ，使，
∴，且不共线，
∴，解得m＝﹣6．
故选：C．
【点评】本题考查了共线向量和平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．
5．（2022春•聊城期末）若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态．已知|F1|＝1N，|F3|＝2N，F1与F3的夹角为120°，则F2的大小为（ ）
A．1NB．NC．ND．3N
【分析】由三力平衡，知||＝|+|，将其两边平方，并结合平面向量的数量积进行运算，得解．
【解答】解：由题意知，||＝|+|，
所以||2＝|+|2＝||2+2•+||2＝1+2×1×2×cs120°+4＝3，
所以||＝．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量数量积的物理应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
6．（2022春•雨花台区校级月考）已知向量＝（2，0），＝（﹣1，﹣1），则下列结论正确的是（ ）
A．•＝﹣3B．∥C．⊥（+）D．||＝||
【分析】根据向量的数量积的坐标运算，向量垂直与平行的性质，向量的模的定义即可分别求解．
【解答】解：∵＝（2，0），＝（﹣1，﹣1），
∴，∴A错误；
又2×（﹣1）﹣（﹣1）×0≠0，∴与不平行，∴B错误；
∵＝＝﹣2+2＝0，∴⊥（+），∴C正确；
∵||＝2，||＝，∴||≠||，∴D错误．
故选：C．
【点评】本题考查向量的数量积的坐标运算，向量垂直与平行的性质，向量的模的定义，属基础题．
7．（2022春•丹东期末）设向量＝（4，0），＝（﹣1，），则在上的投影的数量为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．1D．2
【分析】根据已知条件，结合向量的投影公式，即可求解．
【解答】解：∵＝（4，0），＝（﹣1，），
∴，，
∴在上的投影的数量为．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量的投影公式，属于基础题．
8．（2022春•长清区校级月考）连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量（m，n）与向量（﹣1，1）的夹角的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，以及列举法，即可求解．
【解答】解：由题意可知，向量（m，n）的可能组合有36种，
要使向量（m，n）与向量（﹣1，1）的夹角，
则（m，n）•（﹣1，1）＝n﹣m＜0，即n＜m，
满足条件的情况如下：
当m＝2时，n∈{1}，
当m＝3时，n∈{1，2}，
当m＝4时，n∈{1，2，3}，
当m＝5时，n∈{1，2，3，4}，
当m＝6时，n∈{1，2，3，4，5}，
综上所述，共有15种，
故向量（m，n）与向量（﹣1，1）的夹角的概率是．
故选：D．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积公式，以及列举法，属于基础题．
9．（2022春•常熟市校级期中）已知向量＝（1，2），+＝（m，3），若⊥，则m＝（ ）
A．﹣3B．﹣1C．﹣2D．3
【分析】根据已知条件，结合向量的坐标运算，以及向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：∵＝（1，2），+＝（m，3），
∴＝（m﹣1，1），
∵⊥，
∴1×（m﹣1）+1×2＝0，解得m＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
2．课堂检测
设计意图：进一步理解与巩固
一．选择题（共7小题）
1．（2022春•雨花台区校级月考）已知向量＝（2，0），＝（﹣1，﹣1），则下列结论正确的是（ ）
A．•＝﹣3B．∥C．⊥（+）D．||＝||
【分析】根据向量的数量积的坐标运算，向量垂直与平行的性质，向量的模的定义即可分别求解．
【解答】解：∵＝（2，0），＝（﹣1，﹣1），
∴，∴A错误；
又2×（﹣1）﹣（﹣1）×0≠0，∴与不平行，∴B错误；
∵＝＝﹣2+2＝0，∴⊥（+），∴C正确；
∵||＝2，||＝，∴||≠||，∴D错误．
故选：C．
【点评】本题考查向量的数量积的坐标运算，向量垂直与平行的性质，向量的模的定义，属基础题．
2．（2022春•重庆期中）下列等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用向量的加减运算逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
＝，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查向量的加减运算，是基础题．
3．（2022春•滑县期末）如图为正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用向量的加法运算求解即可．
【解答】解：∵正八边形ABCDEFGH，
∴＝++＝+＝+＝，
故选：A．
【点评】本题考查向量的加法运算，属于基础题．
4．（2023秋•张家港市月考）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，N为线段BC的中点，M为线段AC上靠近点A的三等分点，两条直线AN与BM相交于点P，则•＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的线性运算求解即可．
【解答】解：设，，
又，
则，
又N为线段BC的中点，M为线段AC上靠近点A的三等分点，
则，
又，不共线，
则，
即，
即，
则•＝＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属基础题．
5．（2022春•鼓楼区校级月考）若向量，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用向量的夹角运算和向量的模的运算的应用求出结果．
【解答】解：对于向量，
所以，
由于θ∈[0，π]，
所以：．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：向量的夹角运算，向量的模，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
6．（2022春•秦淮区校级月考）已知、、为单位向量，且满足，则与的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【分析】根据题意，设向量与的夹角为θ，由，数量积的计算公式变形可得2+2•+2＝2，变形计算可得csθ＝﹣，结合θ的范围，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设向量与的夹角为θ，
又由，则有（+）2＝（）2，
2+2•+2＝2，
又由，，是单位向量，即||＝||＝||＝1，
即有csθ＝﹣；
则θ＝120°，
故选：D．
【点评】本题考查向量数量积的计算，关键是掌握向量的数量积的计算公式，属基础题．
7．（2022春•太仓市校级月考）已知为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围为（ ）
A．（0，+∞）B．（0，10）∪（10，+∞）
C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，0）
【分析】利用向量垂直、单位向量、向量夹角余弦公式、向量平行的性质，能求出λ的取值范围．
【解答】解：∵为互相垂直的单位向量，，
∴＝﹣4+（λ﹣2），
∵与的夹角为锐角，
∴＝4+2（λ﹣2）＞0，且与不平行，
解得λ＞0，
当∥（）时，，解得λ＝10，
∴与的夹角为锐角时，λ的取值范围为（0，10）∪（10，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查二倍角的三角函数、同角三角函数的基本关系式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）8．（2022春•滨江区校级期中）已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角为30°
D．向量在上的投影向量为
【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算及投影向量的运算逐一判断即可得解．
【解答】解：已知平面向量，，
对于选项A，，则，即选项A错误；
对于选项B，，即选项B正确；
对于选项C，向量与的夹角的余弦值为＝，则向量与的夹角为60°，即选项C错误；
对于选项D，向量在上的投影向量为＝，即选项D正确，
故选：BD．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算及投影向量的运算，属基础题．
（多选）9．（2022春•秦淮区校级月考）已知向量，满足，，，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．＝﹣1C．D．
【分析】利用向量数量积公式、向量垂直、向量的模、向量夹角公式直接求解．
【解答】解：|+|2＝3，∴2+2•+2＝3，∴1+2•+4＝3，
∴•＝﹣1，故B正确；
∴cs＜，＞＝＝＝﹣，∴与夹角为，与不共线，故A错误；
∴（﹣）＝2﹣•＝2，故C错误；
∴|﹣|2＝2﹣2•+2＝7，∴|﹣|＝，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查向量数量积公式、向量垂直、向量的模、向量夹角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（2022春•运城月考）已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的夹角为60°
C．在上的投影向量为
D．在上的投影向量为
【分析】利用向量的坐标运算以及向量垂直定义，向量夹角公式，投影向量的定义求解逐一判断即可．
【解答】解：因为，
所以＝3×1+1×3＝6，||＝||＝，
所以（）•（）＝＝10﹣10＝0，
故，A显然正确；
设θ为的夹角，则由向量夹角公式可得，B显然错误；
在上的投影向量为||csθ＝，C显然正确；
在上的投影向量为||csθ•＝，D显然错误．
故选：AC．
【点评】本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量垂直、向量夹角公式以及投影向量，属于中档题．
三．填空题（共6小题）
11．（2022春•秦淮区校级月考）化简：﹣+＝ ．
【分析】直接根据向量的加减法求解即可．
【解答】解：∵﹣＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查向量的加减混合运算，属于基础题．
12．（2022春•长清区校级月考）已知向量，满足||＝1，||＝3，且|2+|＝，则||与||的夹角θ为 ．
【分析】将||＝7两边平行，求出，夹角的余弦值，由此能求出两个向量的夹角．
【解答】解：∵向量，满足||＝1，||＝3，且|2+|＝，
，夹角为θ，θ∈[0，π]，
∴＝4+4+＝7，
∴4+4×1×3×csθ+9＝7，
解得csθ＝﹣，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的模、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13．（2022春•太仓市校级月考）已知△ABC满足，则csA＝ ，若，则＝ ．
【分析】由平面向量数量积的运算，结合两角和、差的余弦公式求解即可．
【解答】解：设|AB|＝c，|AC|＝b，|BC|＝a，
由题意可得3a2＝2bc，
即3sin2A＝2sinBsinC，
又，
即，
即，
又，
则csBcsC+sinBsinC＝csA，
即，
即9cs2A+6csA﹣8＝0，
即csA＝（舍）或csA＝，
即；
因为csA＝，
即cs（B﹣C）＝1，
又﹣π＜B﹣C＜π，
则B﹣C＝0，
即B＝C，
即b＝c＝1，a＝，
又，
则csB＝，
则＝accs（π﹣B）＝，
故答案为：；．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了两角和、差的余弦公式，属基础题．
14．（2022春•太仓市校级月考）已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，点P在BC上（包括端点），则的取值范围是 [2，4] ．
【分析】先建系，求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解即可．
【解答】解：已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，
则AC＝2，BD＝，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则B（﹣，0），C（0，1），A（0，﹣1），
设，0≤λ≤1，
则，
则，，
则＝＝4﹣2λ，
又0≤λ≤1，
即2≤≤4，
故答案为：[2，4]．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．
15．（2022春•常熟市校级月考）在△ABC中，，点D满足，且对任意x∈R，恒成立，则cs∠ABC＝ ．
【分析】根据向量的线性运算，数形结合思想即可求解．
【解答】解：∵∀x∈R，恒成立，
∴∀t∈R，|﹣t|≥BD，（t＝﹣x），
设，（t∈R），则点P在直线AC上，
∴∀t∈R，|﹣|≥BD，
∴BP≥BD，
∴BD⊥AC，又，
设AD＝2，则DC＝1，BC＝，
又∠BAC＝，∴BD＝2，
设∠ABD＝φ，∠CBD＝θ，
则φ＝，csθ＝，sinθ＝，
∴cs∠ABC＝cs（θ+φ）＝cs（θ+）
＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的线性运算，数形结合思想，属中档题．
16．（2022春•惠山区校级月考）已知向量满足，，则的最大值为 2 ．
【分析】根据向量模的求法及数量积的定义求解．
【解答】解：设向量，的夹角为θ，θ∈[0，π]，
因为，
所以，，
所以，
则，
所以y2的最大值是20，y＞0，y的最大值是，
即的最大值是．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：向量的模的最值得求法，三角函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
四．解答题（共3小题）
17．（2022春•富拉尔基区校级月考）如图，在梯形ABCD中，E为DC的中点，AD∥BC，∠BAD＝，∠BDA＝，BC＝BD．
（1）求•；
（2）求与夹角的余弦值．
【分析】（1）先结合题意建立平面直角坐标系，然后求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算求解即可；
（2）由平面向量数量积的坐标运算，结合与夹角的余弦值为求解即可．
【解答】解：（1）由题意建立如图所示的平面直角坐标系，
设AD＝1，
又在梯形ABCD中，E为DC的中点，AD∥BC，∠BAD＝，∠BDA＝，BC＝BD，
则A（0，0），D（1，0），B（0，），C（2，），E（，），
则＝＝；
（2）由（1）可得，，
则，，，
则与夹角的余弦值为＝．
【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了平面向量的夹角的求法，属基础题．
18．（2022春•滨江区校级期中）已知半圆圆心为O点，直径AB＝2，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若，求与夹角的大小；
（3）试求点P的坐标，使取得最小值，并求此最小值．
【分析】（1）结合题意求出点A、B、C的坐标即可；
（2）由，结合平面向量数量积的坐标运算求解即可；
（3）由平面向量数量积的坐标运算，结合二次函数最值的求法求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知：A（﹣1，0），B（1，0），C（cs，sin），
即点A、B、C的坐标为A（﹣1，0），B（1，0），C（﹣，）；
（2）由，
则＝，
又＝，
则＝，
又，，
则＝，
又，
则，
即与夹角的大小为；
（3）设，
即，0≤λ≤1，
则，
则＝，
又0≤λ≤1，
当，即时，取得最小值，且最小值为．
【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了平面向量夹角的运算，属中档题．
19．（2022春•鼓楼区校级月考）已知，向量与的夹角为．
（1）求；
（2）求令向量与垂直的实数m的值．
【分析】（1）根据向量数量积的性质与定义即可求解；
（2）根据向量垂直的性质建立方程即可求解．
【解答】解：（1）∵
＝4﹣6×2×3×（）+9×9＝103，
∴||＝；
（2）∵与垂直，
∴，
∴，
∴8m﹣3（m+8）+36＝0，
解得m＝．
【点评】本题考查量数量积的性质与定义，向量垂直的性质，方程思想，属基础题．
3．课后作业
设计意图：巩固提升.
课本习题6.2复习巩固、综合运用、拓展探索
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