河南省TOP二十名校2024届高三下学期质检（一）数学试卷（Word版附解析）

这是一份河南省TOP二十名校2024届高三下学期质检（一）数学试卷（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了本卷命题范围，在与中，已知，若，则等内容，欢迎下载使用。
数 学
全卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
4.本卷命题范围：高考范围.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1.若，则实数（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.的展开式中常数项为（ ）
A.28 B.56 C.70 D.76
3.若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4.已知圆，则下列说法错误的是（ ）
A.点在圆外 B.直线平分圆
C.圆的周长为 D.直线与圆相离
5.直线经过椭圆长轴的左端点，交椭圆于另外一点，交轴于点，若，则该椭圆的焦距为（ ）
A. B. C. D.
6.在与中，已知，若，则（ ）
A. B. C. D.
7.如图是棱长均为2的柏拉图多面体，已知该多面体为正八面体，四边形为正方形，分别为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A. B.1 C. D.
8.甲､乙两人进行一场友谊比赛，赛前每人记入3分.一局比赛后，若决出胜负，则胜的一方得1分，负的一方得-1分；若平局，则双方各得0分.若干局比赛后，当一方累计得分为6时比赛结束且该方最终获胜.令表示在甲的累计得分为时，最终甲获胜的概率，若在一局中甲获胜的概率为0.5，乙获胜的概率为0.3，则（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的右支交于点，若，则（ ）
A.的渐近线方程为
B.
C.直线的斜率为土
D.的坐标为或
10.某质点的位移与运动时间的关系式为的图象如图所示，其与轴交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，则（ ）
A.
B.
C.质点在内的位移图象为单调递减
D.质点在内的平均速率为（平均速率总路程）
11.已知定义在上的函数，其导函数分别为，且，则（ ）
A.的图象关于点中心对称 B.
C. D.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.
12.若集合，则__________.
13.记函数的图象为，作关于直线的对称曲线得到，则曲线上任意一点与曲线上任意一点之间距离的最小值为__________.
14.在四棱锥中，已知平面平面，，若二面角的正切值为，则四棱锥外接球的表面积为__________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能.某机构在网上随机对1000人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的，得到如下数据：
其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人数为400.
（1）求的值；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人是否有差异？
参考公式：，其中.
临界值表：
16.（本小题满分15分）
如图，三棱柱中，为底面的重心，.
（1）求证：平面；
（2）若底面，且三棱柱的各棱长均为6，设直线与平面所成的角为，求的值.
17.（本小题满分15分）
在平面直角坐标系中，已知直线与抛物线相切.
（1）求的值；
（2）已知点在抛物线上，分别位于第一象限和第四象限，且，过分别作直线的垂线，垂足分别为，求四边形面积的最小值.
18.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）判断是否对恒成立，并给出理由；
（2）证明：①当时，；
②当时，.
19.（本小题满分17分）
在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等比数列.在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等差数列.
（1）若为1阶等比数列，，求的通项公式及前项和；
（2）若为阶等比数列，求证：为阶等差数列；
（3）若既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，证明：是等比数列.
2024届高三年级TOP二十名校质检一·数学
参考答案､提示及评分细则
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.
1.D 因为，所以，所以.
2.A 的展开式的通项公式为，令，解得，故的展开式中常数项为.
3.A 因为，所以，所以.
4.D 由，知圆心坐标为，圆的半径为1.
对于，由点到圆心的距离知点在圆外，项正确；
对于，因圆心在直线上，而圆是轴对称图形，故圆关于直线对称，项正确；
对于，圆的周长为，C项正确；
对于，由圆心到直线的距离为知直线与圆相切，项错误.故选D.
5.C 由已知得，点的坐标为，又因为，所以，代入椭圆的方程得，所以，所以椭圆的焦距为.
6.D 由已知得，有唯一解，由正弦定理可知，所以关于的方程有唯一解，
在同一坐标系内分别作出曲线和水平直线，
它们必须有唯一的交点，所以或，所以或.
7.B 连接.由已知得为的中位线，所以，
为正三角形的中线，所以，又，
所以，所以为直角三角形，
所以.
因为，所以到平面的距离为，
设到平面的距离为，
因为，所以，
所以，所以.
8.C 的取值集合为，
在甲累计得分为1时，下局甲胜且最终甲获胜的概率为，
在甲累计得分为1时，下局平局且最终甲获胜的概率为，
在甲累计得分为1时，下局甲败且最终甲获胜的概率为，
根据全概率公式得，，所以，
变形得，因为，所以，
同理可得，，
所以是公比为的等比数列，
所以，
各项求和得，，
所以，
所以，所以.
9.ABD 因为，所以半焦距，所以，所以的方程为的渐近线方程为，所以正确；
设，则，因为，所以，解得，所以，，所以，所以正确；
设直线的倾斜角为，则，所以不正确；
设点在轴上的射影为，则，所以，所以，所以，由，得，所以的坐标为或，所以正确.
10.AC 设由已知得，函数的周期，所以，所以A正确；
令，所以，又，所以，
因为，所以或，又，所以，所以不正确；
由已知得图象相邻的两条对称轴分别为直线，且在内单调递减，因为，所以在上单调递减，所以C正确；
由图象直接得该质点在内的路程为，
所以该质点在内的平均速率为，所以不正确.
11.BCD 由题意得，两式相减可得①，所以的图象关于点中心对称，故A错误；
由②，②式两边对求导可得，所以是偶函数，以替换①中的可得，
所以，所以是周期为4的周期函数，故B正确；
因为，所以也是周期为4的周期函数，
即，两边求导可得，所以，所以C正确；
由上可知的图象关于点中心对称，所以，
又因为是偶函数，所以，
又因为是周期为4的周期函数，所以，
由条件可得，
所以，D正确，故选BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 由，得.
13. 设为曲线上的一点，过点的切线斜率为，令得，所以，所以点到直线的距离为，所以曲线上任意一点与曲线上任意一点之间距离的最小值为.
14. 分别取的中点，连接.
因为，所以，
因为平面平面，
所以平面，
因为，
所以，所以，
因为分别为的中点，所以，所以，
所以为二面角的平面角，所以，
因为，所以，
所以三棱锥外接球的球心在直线上，由知在线段的延长线上.
设，则，即，所以，
所以三棱锥外接球的半径为，表面积为，
因为，所以四点共圆，所以三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球，故四棱锥外接球的表面积为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.解：（1）由已知得，
解得.
（2）零假设为：对短视频剪接成长视频APP的需求，青年人与中老年人没有差异.
由已知得，如下列联表：
计算得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，所以对短视频剪接成长视频的APP有需求，青年人与中老年人有差异.
16.（1）证明：连接交于点，连接.
因为为底面的重心，所以，
因为，
所以，所以，
因为平面平面，
所以平面.
（2）解：取的中点，连接.
因为底面，且三棱柱的各棱长均为6，
所以射线两两垂直，
以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
所以不妨取，
则.
17.解：（1）因为直线与抛物线相切，
所以方程组有唯一解，所以有唯一解，
所以，解得.
（2）设，设直线的方程为，
因为点在抛物线上，分别位于第一象限和第四象限，
所以由，得，
所以
因为，所以，
所以，
所以，
解得，
所以直线的方程为，
满足条件且，
所以四边形的面积为
.
令，
所以，
因为，
所以，
因为与在上分别单调递增，
所以在上单调递增，
所以当且仅当即时，，
所以四边形面积的最小值为.
18.（1）解：令，
令，则，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以在上单调递增，所以，
所以对恒成立.
（2）证明：①当时，要证，
即证，
令，其中，
则需要证明.
，
令，则函数在上单调递增，
所以当时，，
所以，所以在上单调递减，
所以，故，
所以当时，.
②由（1）知：，
所以，
所以
.
19.（1）解：因为为1阶等比数列，所以为正项等比数列，
设公比为，则为正数，
由已知得
两式相除得，所以（舍去），所以，
所以的通项公式为，
前项和为.
（2）证明：因为为阶等比数列，
所以，使得成立，
所以，
又，
所以，
即成立，
所以为阶等差数列.
（3）证明：因为既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，
所以与同时成立，
所以与同时成立，
又的各项均为正数，所以对任意的，
数列和数列都是等比数列，
由数列是等比数列得，也成等比数列，
设.
所以，所以是等比数列.青年人
中年人
老年人
对短视频剪接成长视频的APP有需求
200
对短视频剪接成长视频的APP无需求
150
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
A
D
C
D
B
C
题号
9
10
11
答案
ABD
AC
BCD
青年人
中老年人
合计
对短视频剪接成长视频的APP有需求
300
250
550
对短视频剪接成长视频的APP无需求
100
350
450
合计
400
600
1000