高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念同步练习题，共17页。

一、单选题
1．（2019·全国·高考真题）设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．
【详解】则．故选C．
【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．
2．（2022·全国·高三专题练习）若，是虚数单位，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复数相等可得，，进而即得.
【详解】因为，
所以，，即，，
所以．
故选：D．
3．（2018·全国·高考真题）设，则
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.
详解：
，
则，故选c.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
4．（2022·高一课时练习）是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】先利用复数的乘法化简，再利用纯虚数的定义列出等式，即得解
【详解】由题意，
若为纯虚数，则
故选：B
5．（2022·高一课时练习）若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设（），则由题意可得，由此可知在如图所示有阴影上，而表示到点的距离，结合图形求解即可
【详解】解：设（），则，
因为，
所以，
所以在如图所示有阴影上，
因为表示到点的距离，而到的距离为，大圆的半径为，
所以的最大值为，
故选：D
6．（2022春·广西玉林·高二校联考期中）已知复数z满足，则z＝（ ）
A．4＋3iB．4－3iC．3＋4iD．3－4i
【答案】C
【分析】将中的 ，根据 化简，即可得答案.
【详解】因为，
故由可得：，即，
故选：C.
7．（2022·高一课时练习）设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】通过对应的点为，确定对应点所在象限
【详解】复数对应的点为，在第二象限.
故选：B
8．（2022·高一课时练习）设i为虚数单位，，“复数不是纯虚数“是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先化简z，求出a，再判断即可.
【详解】，
z不是纯虚数，则，所以，即，
所以是的充分而不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分条件和必要条件的判断，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
二、多选题
9．（2021春·江苏盐城·高一校联考期中）(多选)在复平面内，复数a－2i对应的点位于第四象限，则实数a的可能取值为（ ）
A．2B．1
C．－1D．无法确定
【答案】AB
【分析】由题意可得复数a－2i对应的点的坐标为(a，－2)，根据条件有，从而可得答案.
【详解】在复平面内，复数a－2i对应的点的坐标为(a，－2)，
因为复数对应的点位于第四象限，所以
所以满足条件的有选项A , B
故选：A B
10．（2022秋·江苏镇江·高三江苏省镇江第一中学校联考阶段练习）已知为虚数单位，则（ ）
A．
B．若，则的充要条件是
C．若复数，则
D．复数，则
【答案】ACD
【分析】根据复数的模的定义和运算法则可以判断AD对，虚数不能比较大小能判断C对，举一个反例可以判断B错.
【详解】A.根据模的运算法则，，A对；
B．当成立，B错；
C.虚数不能比较大小，复数，则，C对；
D．复数，D对.
故选：ACD
11．（2022·高一单元测试）下列关于的说法中正确的有（ ）
A．表示点与点之间的距离B．表示点与点之间的距离
C．表示点到原点的距离D．表示坐标为的向量的模
【答案】ACD
【分析】利用复数模的几何意义判断可得出结论.
【详解】由复数的几何意义知复数、分别对应复平面内的点与点，
所以表示点与点之间的距离，故A正确；
，可表示为点到原点的距离，故C正确；
，故B错误；
与向量一一对应，则可表示坐标为的向量的模，故D正确.
故选：ACD.
12．（2022秋·江苏泰州·高三泰州中学校考阶段练习）设复数，（R），对应的向量分别为（为坐标原点），则（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．若，则的最大值为
【答案】AD
【分析】对A，根据模长公式求解即可；
对B，根据向量平行的坐标公式求解即可；
对C，根据向量垂直的坐标公式求解的关系，再求解即可；
对D，根据复数的几何意义数形结合求解即可
【详解】对A，；
对B，对应的坐标为，对应的坐标为，因为，故，即，故B错误；
对C，若，则，即，因为，故，即，故，故C错误；
对D，若，即，其几何意义为到的距离小于等于，又的几何意义为到的距离，故的最大值为
故D正确；
故选：AD
三、填空题
13．（2022·全国·高三专题练习）若复数，，则________（填“>”“<”或“=”）．
【答案】
【分析】由复数模的计算公式，分别计算出和，即可比较大小.
【详解】，．
因为，所以.
故答案为：
14．（2021春·安徽淮南·高二寿县第一中学校考阶段练习）复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________．
【答案】－6－8i
【分析】由复数的几何意义得出向量与的坐标，再由向量的运算得出的坐标，进而得出其复数.
【详解】因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以
又，所以向量表示的复数是－6－8i．
故答案为：－6－8i
15．（2022·全国·高一专题练习）已知复数z满足，则的最大值是_________．
【答案】6
【分析】先设出复数，由已知得出复平面内点到的距离为1，再结合图象即可求出的最大值.
【详解】
设，则，则，即复平面内点到的距离为1，
又表示复平面内点到原点的距离，结合图像可知：最大值为原点到的距离加1，即.
故答案为：6.
16．（2021春·高一课时练习）已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是a=________，b=________.
【答案】 5
【分析】利用复数的概念解方程组即可求解.
【详解】由题意，得a2=2，-(2-b)=3，
所以a=±，b=5.
故答案为：；5
【点睛】本题考查了复数的概念，考查了基本运算，属于基础题.
四、解答题
17．（2022·高一课时练习）已知复数与是共轭复数，求的值.
【答案】
【分析】根据共轭复数概念，建立方程组，即可得到结果.
【详解】由已知得
，
时，与是共轭复数.
18．（2023·高一课时练习）当实数为何值时，复数i是实数、纯虚数、虚数？
【答案】时，复数为实数；或时，复数为纯虚数；且时，复数为虚数.
【分析】由复数的概念求解即可
【详解】解：当且时，复数为实数，解得，所以当时，复数为实数；
当且，且时，复数为纯虚数，由，得或，由，且得且，
所以当或，复数为纯虚数；
当且时，复数为虚数，解得且，所以当且时，复数为虚数
综上，当时，复数为实数；或时，复数为纯虚数；且时，复数为虚数
19．（2022·全国·高一专题练习）已知O为坐标原点，对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2＋i(∈R)．若与共线，求的值．
【答案】.
【分析】由已知可得＝(－3，4)，＝(2，1)，再由与共线，结合平面向量共线定理可得，存在实数，使＝，从而得到，进而可求出的值
【详解】解：因为对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2＋i，
所以＝(－3，4)，＝(2，1)．
因为与共线，所以存在实数，使＝，
即(2a，1)＝(－3，4)＝(－3，4)，
所以，解得
即的值为.
【点睛】此题考查复数的几何意义和共线向量定理，属于基础题.
20．（2022·高一单元测试）求实数取何值时，复数在复平面内对应的点；
(1)位于第二象限；
(2)位于第一或第三象限；
(3)在直线上．
【答案】(1)或；
(2)或或；
(3)或.
【分析】（1）可得点的坐标为，然后可得，解出即可；
（2）可得或，解出即可；
（3）将点的坐标代入直线的方程求解即可.
(1)
复数在复平面内对应的点的坐标为
若点位于第二象限，则，解得或
(2)
若点位于第一或第三象限，则或
解得或或
(3)
若点在直线上，则
解得或
【选做题】
一、单选题
1．设复数，则复数的模为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复数模的定义求解即可.
【详解】,.
故选：B
2．（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算法则，即可求解.
【详解】根据复数的除法运算法则，可得复数.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
3．实数x，y满足，则的值是（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】B
【分析】根据复数相等可得答案.
【详解】实数x，y满足，化简可得，
所以，解得，所以．
故选：B．
4．设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】通过对应的点为，确定对应点所在象限
【详解】复数对应的点为，在第二象限.
故选：B
5．复数在复平面内对应的点为，将点绕坐标原点逆时针旋转一定的角度，得到点，对应的复数为，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义表示出旋转后对应的点的坐标即可求出.
【详解】由题意知点的坐标为，
设射线是角的终边，则有，，
旋转后所得的射线为角的终边，设，
则，
，
∴，
故选：C．
6．若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设z＝x+yi（x，y∈R），由题意可知动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，然后即可得到P，A，O三点共线时|z+1-i|+|z|取得最大值时,从而可求出答案.
【详解】设z＝x+yi(x，y∈R)，
由|z+2-2i|＝2知，动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，
|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，
而|CO|＝，|CA|＝，
易知当P，A，O三点共线时，|z+1-i|+|z|取得最大值时，
且最大值为|PA|+|PO|＝(|CA|+2)+(|CO|+2)＝，
故选：D．
二、多选题
7．有下面四个命题，真命题的是（ ）
A．
B．若，且，则
C．，则
D．两个虚数不能比较大小
【答案】AD
【分析】根据复数的定义和复数的乘方，直接计算和判断各个选项即可.
【详解】对于A，因为，所以，，故A正确；对于B，两个虚数不能比较大小，故B错；对于C，当，时，，故C错；按照复数的定义，两个虚数不能比较大小，D正确.
故选：AD
8．已知单位向量分别对应复数，且，则可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据题意，设复数，，计算可得，即可选出答案.
【详解】因为单位向量分别对应复数，
设复数，，
因为，所以，即，
所以，
故选：AD.
三、填空题
9．复数z为纯虚数的充要条件是且；复数z为实数的充要条件是_______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据复数为实数的条件进行填空.
【详解】复数为实数复数的虚部为.
故答案为：（答案不唯一）
10．若复数在复平面内对应的点到原点距离小于，则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】首先写出复数再复平面内的点的坐标，再根据距离公式计算可得；
【详解】解：复数在复平面内对应的点为，依题意可得，即，解得
故答案为：
11．已知复数z满足，则的最大值为______．
【答案】##
【分析】令且，将问题转化为到圆上点的最大距离，再转化为到圆心的距离加半径即可得结果.
【详解】令且，则表示圆，
所以圆心为，半径为，
由得表示圆上点到的距离，
所以的最大值为.
故答案为：.
12．在复平面内，设点A､P所对应的复数分别为πi､cs(2t﹣)+isin(2t﹣)(i为虚数单位)，则当t由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是___________.
【答案】
【分析】当时，求得点P的坐标为，当时，点P的坐标为，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和，即向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积，从而求得向量所扫过的图形区域的面积.
【详解】由题意可得，点P在单位圆上，点A的坐标为(0，π)，如图：当时，点P的坐标为，当时，点P的坐标为，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和.
由于，关于实轴对称，所以的面积等于的面积(因为这两个三角形同底且等高)，故向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积.
因为∠=2×=，所以扇形的面积为等于.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：由“的面积等于的面积”得到“向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积”.
四、解答题
13．如果P是复平面内表示复数的点，分别指出在下列条件下点P的位置.
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【答案】（1）第一象限；
（2）第二象限；
（3）位于原点或虚轴的负半轴上；
（4）位于实轴下方（不包括实轴）
【解析】由复数的几何意义解答．
【详解】（1）； 点P在第一象限；
（2）；点P在第二象限；
（3）；点P位于原点或虚轴的负半轴上；
（4）.点P位于实轴下方（不包括实轴）．
【点睛】本题考查复数的几何意义，复数对应的点为．
14．在①，②z的实部与虚部互为相反数，③z为纯虚数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：已知复数．
（1）若_______，求实数m的值；
（2）若m为整数，且，求z在复平面内对应点的坐标．
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】（1）若选择①，由，可知是一个大于零的实数，从而得进而可求出实数m的值；若选择②，由题意可得，解方程可得实数m的值；若选择③，由题意可得从而可求出实数m的值；
（2）由可得，再由m为整数，可得为平方数，为奇数，从而可求得实数m的值，进而可得答案
【详解】解：（1）若选择① 因为，所以
解得．
若选择② 因为z的实部与虚部互为相反数，所以，
解得或．
若选择③ 因为z为纯虚数，所以
解得．
（2）因为，所以，
所以．
因为m为整数，所以为平方数，为奇数．
因为或，
所以验证可得，即．
因为，所以，其在复平面内对应点的坐标为．
15．求实数取何值时，复数在复平面内对应的点；
(1)位于第二象限；
(2)位于第一或第三象限；
(3)在直线上．
【答案】(1)或；
(2)或或；
(3)或.
【分析】（1）可得点的坐标为，然后可得，解出即可；
（2）可得或，解出即可；
（3）将点的坐标代入直线的方程求解即可.
(1)
复数在复平面内对应的点的坐标为
若点位于第二象限，则，解得或
(2)
若点位于第一或第三象限，则或
解得或或
(3)
若点在直线上，则
解得或
16．已知集合A＝{z||z|≤1}，
（1）求集合A中复数z＝x+yi所对应的复平面内动点坐标（x，y）满足的关系？并在复平面内画出图形．
（2）若z∈A，求|z﹣（1+i）|的最大值、最小值，并求此时的复数z
（3）若B＝{z||z﹣ai|≤2}，且A⊆B，求实数a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）﹣1≤a≤1.
【分析】（1）直接利用复数的模，求解复数z＝x+yi所对应的复平面内动点坐标（x，y）满足的关系，并在复平面内画出图形单位圆即可．
（2）若z∈A，求z取值时，画出图形，即可求出|z﹣（1+i）|的最大值、最小值．
（3）利用B＝{z||z﹣ai|≤2}的几何意义，画出图象即可得到满足A⊆B时实数a的取值范围．
【详解】解：（1）集合A＝{z||z|≤1}，z＝x+yi，∴x2+y2≤1，如下图所示：
（2）|z﹣（1+i）|的几何意义是圆上的点到（1，1）点的距离，如下图所示：
当z＝，|z﹣（1+i）|最小值＝．
当z＝，|z﹣（1+i）|最大值＝．
（3）B＝{z||z﹣ai|≤2}的几何意义是，复平面内的点与（0，a）的距离小于等于2，A⊆B，
则满足如图所示的情况，即﹣1≤a≤1时，成立．