数学必修 第二册8.1 基本立体图形课时训练

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【必做题】
一．选择题
1．（2022秋•海南州期末）绕着它的一边旋转一周得到的几何体可能是
A．圆台B．圆台或两个圆锥的组合体
C．圆锥或两个圆锥的组合体D．圆柱
【答案】C
【解析】绕着它的一条直角边旋转一周得到的几何体是圆锥，
绕着它的一条斜边旋转一周得到的几何体是两个同底面的圆锥的组合体．
故选C．
2．（2022春•台州期末）将正方形绕其一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是
A．圆柱B．圆台C．圆锥D．棱柱
【答案】A
【解析】将正方形绕其一条边所在的直线旋转一周，所得的几何体是圆柱．
故选A．
3．（2022秋•奉贤区期中）下列说法正确的是
A．圆柱上下底面各取一点，它们的连线即为圆柱的母线
B．过球上任意两点，有且仅有一个大圆
C．圆锥的轴截面是等腰三角形
D．用一个平面去截球，所得的圆即为大圆
【答案】C
【解析】对于，圆柱上下底面各取一点，这两点的连线垂直于底面时即为圆柱的母线，所以选项错误；
对于，当球面上的两点是球直径的端点时，过这两点的大圆有无数个，所以选项错误；
对于，圆锥的轴截面是过顶点与底面圆心的截面，是等腰三角形，选项正确；
对于，用一个过球的直径的平面去截球，所得的圆是大圆，所以选项错误．
故选C．
4．（2022春•昌宁县期中）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，这个几何体可能是
A．圆锥 圆柱B．圆柱 球体
C．圆锥 球体D．圆柱 圆锥 球体
【答案】D
【解析】用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，
由圆锥、圆柱、球体的结构特征得：
这个几何体可能是圆锥，也可能是圆柱，也可能是球体，
故选D．
5．（2022春•尖山区期中）下列说法中，正确的个数为
（1）有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
（2）在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
（3）空间中的任意三点可以确定一个平面；
（4）空间中没有公共点的两条直线一定平行．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】A
【解析】（1）把两个相同的斜平行六面体叠放，满足有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但该组合体不是棱柱，故（1）错误；
（2）在圆台上、下底面圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆台的母线，因为圆台的所有母线相交于一点，且长度相等，故（2）错误；
（3）空间中的不共线的三点可以确定一个平面，故（3）错误；
（4）空间中没有公共点的两条直线可能平行，也可能异面，故（4）错误．
正确的个数为0个，
故选A．
6．（2022春•大兴区期中）以一个等腰梯形的较长的底边所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面所围成的几何体的几何特征是
A．一个圆柱、两个圆锥B．两个圆台、一个圆柱
C．一个圆台、两个圆锥D．两个圆柱、一个圆台
【答案】A
【解析】如图所示，
一个等腰梯形的较长的底边所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面所围成的几何体，
结构特征是一个圆柱、两个圆锥．
故选A．
7．（2022春•深州市期中）下列说法正确的是
A．等腰直角三角形绕其一边旋转一周所得的几何体一定是圆锥
B．过球心的平面截球面所得的圆面的圆周的半径等于球的半径
C．棱锥的侧棱一定相等
D．正三角形的平面直观图一定是等腰三角形
【答案】B
【解析】对于，等腰直角三角形绕其一直角边旋转一周所得的几何体是圆锥，所以选项错误；
对于，过球心的平面截球面所得的圆面的圆周的半径等于球的半径，选项正确；
对于，棱锥的侧棱不一定相等，所以选项错误；
对于，正三角形的平面直观图不是等腰三角形，所以选项错误．
故选B．
8．（2022春•小店区期中）下列说法：
（1）有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；
（2）棱锥至少有6条棱；
（3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
（4）以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥．
正确的个数有 个
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】对于（1）：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定为棱柱，例如两个斜棱柱扣到一块构成的几何体就不叫棱柱，故（1）错误；
对于（2）：三棱锥中有6条棱，故（2）正确；
对于（3）：有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台，与棱台的定义不符，故（3）错误；
对于（4）：直角三角形以斜边为轴旋转得到的几何体为两个倒扣的圆锥，故（4）错误．
故选B．
二．多选题
9．（2022春•榕城区期中）下列说法中不正确的是
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线
【答案】ABC
【解析】、如图（1）所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥，故错误；
、如图（2）（3）所示，若不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥，故错误；
、若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由过中心和定点的截面知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故错误；
、根据圆锥母线的定义知，故正确．
故选ABC．
10．（2022春•杭州期中）下列说法正确的是
A．棱柱的侧面一定是矩形
B．三个平面至多将空间分为7个部分
C．圆台可由直角梯形以高所在直线为旋转轴旋转一周形成
D．任意五棱锥都可以分成3个三棱锥
【答案】CD
【解析】对于，棱柱的侧面一定是平行四边形，不一定是矩形，所以选项错误；
对于，若三个平面两两相交且三条交线交于一点，则可将空间分为8部分，所以选项错误；
对于，圆台可由直角梯形以高所在直线为旋转轴旋转一周形成的几何体，选项正确；
对于，任意一个五边形都可以分成3个三角形，所以任意一个五棱锥都可以分成3个三棱锥，选项正确．
故选CD．
11．（2022春•北碚区期中）已知等腰梯形，现绕着它的较长底所在的直线旋转一周，所得的几何体包括
A．一个圆台B．两个圆锥C．两个圆台D．一个圆柱
【答案】BD
【解析】设等腰梯形，
较长的底边为，
则绕着底边旋转一周可得
一个圆柱和两个圆锥，（如右轴截面图）
故选BD．
12．（2022春•玉林期中）下面关于空间几何体叙述正确的是
A．正四棱柱是长方体
B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥
【答案】AD
【解析】因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱是长方体，故选项正确；
因为底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥，故选项错误；
由棱台的定义，棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台，故选项错误；
直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥，故选项正确．
故选AD．
三．填空题
13．（2022•佛山模拟）以下五个命题中，所有真命题的序号为 ．
①三角形（及其内部）绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体叫圆锥；
②正棱柱的侧棱垂直于底面；
③球的表面积是其最大截面圆面积的2倍；
④圆锥的轴截面一定是等腰三角形；
⑤棱锥的各侧棱和底面所成的角相等．
【答案】②④
【解析】①以直角三角形的一条直角边为轴，将三角形旋转一周所得几何体为圆锥，而其它三角形所得为组合体，故①错误；
②底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱，故侧棱垂直于底面，正确；
③若球体半径为，则球的表面积为，而其最大截面圆面积为，故球表面积是其大圆面积的4倍，故②错误；
④圆锥轴截面有两条边对应圆锥的母线，第三条边为底面直径，故一定为等腰三角形，故③正确；
⑤正棱锥的各侧棱与底面所成角相等，而不是所有棱锥各侧棱和底面所成的角相等，故④错误．
所以真命题有②④．
故答案为：②④．
14．（2022春•宝山区期末）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体，则截面图形可能是 （填序号）．
【答案】1、5
【解析】根据题意，分2种情况讨论：
当垂直于圆柱底面的平面经过圆锥的顶点时，截面图形如图1；
当垂直于圆柱底面的平面不经过圆锥的顶点时，截面图形可能为5；
故答案为：1、5．
15．（2022秋•浦东新区期中）圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为 ．
【答案】3
【解析】因为圆锥底面圆的半径为1，所以侧面展开图扇形的弧长为，
设圆锥的母线长为，因为侧面展开图扇形的圆心角为，所以，解得，所以此圆锥的母线长为3．
故答案为：3．
16．（2022秋•长宁区期中）圆锥母线长为3，高为2，则圆锥底面半径为 ．
【答案】
【解析】已知圆锥母线长为3，高为2，
则圆锥底面半径为．
故答案为：．
四．解答题
17．（2022秋•黄浦区期中）有一个圆锥形漏斗，其底面直径是，母线长为，在漏斗口的点处用一根绳子将漏斗挂在墙面上，当绳子的长度最短时，可以紧紧地箍住漏斗，不会上下滑动，求此时绳子的长度．
【答案】如图所示，圆锥的底面半径，母线长为，
在漏斗口的点处用一根绳子将漏斗挂在墙面上，紧紧地箍住漏斗，
此时绳子的长度是侧面展开图的弦长，
设展开图的扇形圆心角为，则，
所以弦长，
即绳子的最短长度为．
18．（2022春•肥城市期中）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是．
（1）求圆锥的母线长；
（2）过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值．
【答案】（1）轴截面的面积，
，
圆锥的母线长为．
（2）在轴截面中，，，
设，当点与点重合时，；当点与点重合时，，
则，
的面积为，
当时，截面面积有最大值，最大值为8．
【选做题】
一．选择题
1．（2022春•武冈市期中）下列结论错误的是
A．圆柱的每个轴截面都是全等矩形
B．长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体
C．用一个平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台
D．四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体
【答案】C
【解析】对于、圆柱的每一个截面都是全等的矩形，故正确；
对于、长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体，故正确；
对于、用一个平行于底面的平面截圆锥，必得到一个圆锥和一个圆台，
否则，若截面与底面不平行，则不是，故错误；
对于、四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体，故正确．
故选C．
2．（2022春•太原期中）下列平面图形中，通过围绕定直线旋转可得到如图几何体的是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】几何体是由一个圆锥和一个圆柱组合而成的，
由旋转体的性质得选项中梯形绕下底旋转，
形成的几何体是由一个圆锥和一个圆柱组合而成，
故选C．
3．（2022秋•温州期中）若圆锥的表面积为，其侧面展开图为一个半圆，则下列结论正确的为
A．圆锥的母线长为1B．圆锥的底面半径为2
C．圆锥的体积为D．圆锥的侧面积为
【答案】C
【解析】设圆锥的底面半径为，母线为，由于其侧面展开图是一个半圆，
则，即，又圆锥的表面积为，
所以表面积，解得，得母线长，故，均错误；
则圆锥的高，
所以侧面积，体积．故正确，错误．
故选C．
4．（2022春•铜山区期中）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的高为
A．3B．C．4D．
【答案】A
【解析】设圆锥的母线长为，由底面半径为，侧面展开图为一个半圆，
所以，
所以该圆锥的母线长为，
则该圆锥的高为．
故选A．
5．（2022春•北碚区期中）下列说法正确的是
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥
C．棱锥的所有侧面都是三角形
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
【答案】C
【解析】对于，棱台的上下底面互相平行，侧面都是四边形，但棱台不是棱柱，故错误；
对于，当旋转轴为直角边时，所得几何体为圆锥，
当旋转轴为斜边时，所得几何体为两个圆锥的组合体，故错误；
对于，由于棱锥的所有侧棱都交于一点，故棱锥的侧面都是三角形，故正确；
对于，当平面与棱锥的底面不平行时，截面与棱锥底面间的几何体不是棱台，故错误．
故选C．
6．（2022秋•西城区期中）圆锥的侧面展开图是直径为的半圆面，那么此圆锥的轴截面是
A．等边三角形B．等腰直角三角形
C．顶角为的等腰三角形D．其他等腰三角形
【答案】A
【解析】圆锥的母线长就是展开半圆的半径，半圆的弧长为就是圆锥的底面周长，
所以圆锥的底面直径为，
圆锥的轴截面是等边三角形．
故选A．
7．（2022春•思明区期中）已知圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为
A．3B．C．1D．
【答案】B
【解析】设圆锥的母线长为，则，可得，
设圆锥的底面半径为，则，得，
圆锥的高为．
故选B．
8．（2022春•诏安县期中）若一个圆锥的高为，轴截面的周长为6，则该圆锥的母线长为
A．2B．C．D．3
【答案】A
【解析】根据圆锥的几何特征可知，圆锥的轴截面为以母线为腰，以圆锥的高为高的等腰三角形，如图所示，
设圆锥的母线长为，所以，
因为轴截面的周长为6，
所以，
即，
解得，
故选A．
9．（2022春•伊州区期末）下列叙述中，正确的个数是
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；
③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；
④圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球．
A．3B．2C．1D．0
【答案】C
【解析】对于①，以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥，故①错误；
对于②，以直角梯形的垂直于底边的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台，故②错误；
对于③，用平行于圆锥底面的一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台，故③错误；
对于④，圆面绕它的任一直径旋转形成的几何体是球，故④正确．
故选C．
10．（2022秋•青海期末）下列说法正确的是
A．圆锥的轴垂直于底面
B．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
C．球面上不同的三点可能在一条直线上
D．棱台的侧面是等腰梯形
【答案】A
【解析】对于，由圆锥的结构特征可知：圆锥的轴垂直于底面，故正确；
对于，六棱柱的两个相对侧面也是互相平行的面，故错误；
对于，球面上不同三点可构造出一个球的截面圆，可知三点不共线，故错误；
对于，棱台的侧棱长可以不相等，则侧面不是等腰梯形，故错误．
故选A．
二．多选题
11．（2022春•朝阳区期中）将边长为2的正三角形绕着它的一条高线旋转一周得到一个圆锥，下列叙述正确的是
A．圆锥的体积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆锥侧面展开图扇形圆心角为
D．过圆锥顶点的截面面积的最大值为
【答案】BCD
【解析】由题意圆锥的母线长为，底面半径为，高为，
，错；
，正确；
圆锥侧面展开图扇形圆心角为，正确：
由题意圆锥轴截面是等边三角形，任意两条母线夹角的最大值为轴截面顶角，
因此过圆锥顶点的截面面积的最大值，正确．
故选BCD．
12．（2022春•宜昌期中）某圆锥的底面半径为，高为1，过该圆锥的顶点作截面，截面的面积可能是
A．1B．C．2D．
【答案】ABC
【解析】设圆锥的母线长为，则，
设圆锥的轴截面的两母线夹角为，则，
则过该圆锥的顶点作截面，截面上的两母线夹角设为，
故截面的面积为，
截面的面积在时取到最大值，
故截面的面积可能是，
故选ABC．
13．（2022春•城厢区期中）下面关于空间几何体叙述正确的是
A．若梯形面积为，则其直观图面积为
B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
C．正四棱柱都是长方体
D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥
【答案】ACD
【解析】如图，，由斜二测画法，
直观图面积为，
任何平面多边形都可能切割成图中类似的直角三角形，
通过这些直角三角形面积的和得出平面图形的面积，即这个规律对平面上任何图形都适用．
所以时，，正确；
底面是正多边形的棱锥，顶点在底面上的射影不一定是底面中心，因此它不一定是正棱锥，错；
正四棱柱的侧面都是长方形，底面是正方形也属于长方形，因此它是长方体，正确；
直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥，正确．
故选ACD．
14．（2022春•杭州期中）已知圆锥底面半径为，母线长为2，则
A．圆锥侧面积为
B．圆锥的侧面展开图中，扇形的圆心角为
C．圆锥的体积为
D．过顶点的截面三角形的面积最大值为
【答案】AB
【解析】对于，由题意知该圆锥的侧面展开图是半径为2，弧长为，
圆锥侧面积为，故正确；
对于，设圆锥侧面展开图中，扇形的圆心角为，
扇形的面积为，，故正确；
对于，如图，圆锥的高为，
圆锥的体积为，故错误；
对于，如图，在中，，，
轴截面中，，
设过顶点的截面，其中，，如图，
过顶点的截面三角形的面积为，
当时，过顶点的截面三角形的面积的最大值为2，故错误．
故选AB．
三．填空题
15．（2022秋•徐汇区期末）把一个母线长为的圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面积的比为，则圆台的母线长是
．
【答案】5
【解析】由题意圆台的上、下底面积之比是，
设圆台的上半径，则下圆台底面半径．
设圆台的母线长为．
由相似三角形可得：，
解得：．
故得圆台的母线长为．
故答案为：5．
16．（2022秋•奉贤区期末）已知圆锥的侧面积为，若其过轴的截面为正三角形，则该圆锥母线的长为 ．
【答案】
【解析】设圆锥的底面圆半径为，母线长为，
因为圆锥的侧面积为，
所以，
则①，
又过轴的截面为正三角形，
则②，
由①②可得，，
所以该圆锥母线的长为．
故答案为：．
17．（2022春•龙凤区月考）圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的母线长是 ．
【答案】20
【解析】设圆台的母线长为，则，
．
故答案为：20．
18．（2022春•开福区月考）已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 ．
【答案】2
【解析】设圆锥的母线长为，
由题意可得，，
解得，
所以该圆锥的母线长为2．
故答案为：2．
四．解答题
19．（2022春•邢台月考）已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为．
（1）求圆锥的底面积；
（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的高．
【答案】（1）圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为，沿母线剪开，侧展图如图所示：
设，在半圆中，，弧长，这是圆锥的底面周长，
所以，
所以，故圆锥的底面积为：；
（2）设圆柱的高，，
在中，，
△，所以，即，，
故圆柱侧面积为：，
所以，当，时，圆柱的侧面积最大．
20．（2022春•皮山县月考）一个圆锥的母线长为、底面面积为．
（1）求圆锥的高；
（2）用一个平行于圆锥底面的平面去截这个圆锥，截得的截面面积为，求截得的圆台的母线长．
【答案】（1）设圆锥的高为，圆锥的母线长为，底面半径为，
则，，
则圆锥的高，
故圆锥的高为．
（2）设截得的圆台的母线长为，
由截得的截面面积为，
得截得的截面直径为，底面直径为，
由图得：．
所以截得的圆台的母线长为．