数学必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系课时训练

这是一份数学必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系课时训练，共29页。

【必做题】
一．选择题
1．（2022秋•浦东新区月考）三个平面不可能将空间分成 个部分．
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【解析】若三个平面互相平行，则可将空间分为4个部分；
若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6个部分；
若三个平面交于一条直线，则可将空间分为6个部分；
若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分为7部分；
若三个平面两两相交且三条交线交于一点，则可将空间分为8部分；
故三个平面不可能将空间分成5部分．
故选A．
2．（2022秋•浦东新区期中）下列命题中，真命题是
A．过三点有且只有一个平面
B．四边长度相等的四边形是菱形
C．三条直线互相平行，则三条直线不一定在同一平面上
D．过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内任一直线均构成异面直线
【答案】C
【解析】若三个点在同一条直线上，经过这三点的平面由无数个，错误；
四边长度相等的四边形可以是正四面体，错误；
三棱柱的三条侧棱互相平行，但不在同一平面内，三条平行线也可在同一平面内，正确．
过平面外一点与平面内一点的直线也能与平面内直线相交，错误：
故选C．
3．（2022秋•潍坊期中）下列说法错误的是
A．空间中的三点确定一个平面
B．直线和直线外一点确定一个平面
C．两条相交直线确定一个平面
D．两条平行直线确定一个平面
【答案】A
【解析】对于，由公理2可知：过不在同一直线上的三点有且只有一个平面，故错误；
对于，由公理2的推论可知：经过两条相交直线有且只有一个平面，故选项正确；
对于，由公理2的推论可知：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面，故选项正确；
对于，由公理2的推论可知：经过两条平行直线有且只有一个平面，故选项正确，
故选A．
4．（2022秋•虹口区月考）下列四个命题中的真命题是
A．如果一条直线与另两条直线都相交，那么这三条直线必共面
B．如果三条直线两两都相交，那么它们能确定一个平面
C．如果三条直线相互平行，那么这三条直线在同一个平面上
D．如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线确定一个平面
【答案】D
【解析】对于、，一条直线与另两条直线都相交或三条直线两两都相交，比如棱柱共点三条棱，这三条直线就不共面，也不一定能确定一个平面，故、错，
对于，若三条直线相互平行，其中两条可以确定一个平面，另一条可以与已知平面平行，故错误，
对于，一条直线与两条平行直线都相交，这三条直线能确定一个平面，
故选D．
5．（2022秋•高密市月考）已知空间四点中，无三点共线，则经过其中三点的平面有
A．一个B．四个
C．一个或四个D．无法确定平面的个数
【答案】C
【解析】根据题意，空间四点中，无三点共线，经过其中三点的平面有：
①若四点在同一平面内，则有且只能确定一个平面，
②若有三点共面，另外一点在平面外，可确定四个平面，
故经过其中三点的平面有一个或四个，
故选C．
6．（2022•南京模拟）下列说法正确的是
A．四边形确定一个平面
B．共点的三条直线可确定1个或3个平面
C．异面直线所成角的取值范围为
D．若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行
【答案】B
【解析】当该四边形为空间四边形时，四边形不能确定一个平面，故错误；
当共点的三条直线共面时，确定一个平面；在三棱锥中，从同一个点出发的三条线可以确定三个平面，故正确；
异面直线所成角的取值范围为，故错误；
正方体的一个顶点出发的三条线满足两条直线都与第三条直线垂直，但这两条直线相互垂直，故错误；
故选B．
7．（2022•南京模拟）空间四点，，，共面而不共线，那么这四点中
A．必有三点共线B．至多有三点共线
C．至少有三点共线D．不可能有三点共线
【答案】B
【解析】如下图所示，，，均不正确，只有正确．
故选B．
8．（2022•徐汇区开学）“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意设点为，直线为，平面为，则平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内可表示为，
故选B．
二．多选题
9．（2022秋•贵港期末）已知棱长为2的正方体的中心为，用过点的平面去截正方体，则
A．所得的截面可以是五边形B．所得的截面可以是六边形
C．该截面的面积可以为D．所得的截面可以是菱形
【答案】BCD
【解析】过点的平面去截正方体，考虑从正方体的上底面开始截入，不妨设上底面与截面的交线为线段，截取有两种情况，
第一种情况是：点和分别分别在两对边上或相邻边上，如图，
直线与相交于点，直线与相交于点，易知所得截面为平行四边形；
第二种情况是：如图：
直线与相交于点，直线与相交于点，直线与相交于点，与相交于点，直线与相交于点，与相交于点，易知所得到的截面为六边形，故错误，正确；
当截面为平行四边形时，正六边形边长为，它的面积为，故正确；
当截面为平行四边形时，由对称性可知：，，，，
若四边形为菱形时，则，
可得：，可得，
可得：，或，
所以或，故正确．
故选BCD．
10．（2022秋•玄武区期中）用一个平面去截正方体，截面形状不可能是下列哪个图形
A．五边形B．直角三角形C．直角梯形D．钝角三角形
【答案】BCD
【解析】如图所示，截面，
设，，，，，，
，
同理可得，，，，，
，，为锐角，为锐角三角形，，都不可能，，都要选；
如图截面可以是五边形，可能，不选，
如图截面可以是梯形，但不可以是直角梯形，要选．
故选BCD．
11．（2022•浦东新区开学）如图，在正方体中，、、、分别是顶点或所在棱中点，则、、、四点共面的图形
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】对于：取的中点，连结、，
因为、均为相应边的中点，则：，且，
又，，则，，即为平行四边形，
所以，同理，
则，即、、、四点共面，故正确；
对于：显然与异面，故不正确；
对于：连结、、，因为，即为平行四边形，
所以，又、分别为相应边的中点，则，
所以，即、、、四点共面，故正确正确；
对于：连结、、、，
因为，即为平行四边形，则，
又、分别为相应边的中点，则，同理，
所以，即、、、四点共面，故正确．
故选ACD．
12．（2022•南京模拟）有下列命题：
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
其中正确命题是
A．①B．②C．③D．④
【答案】BC
【解析】对于①，经过不共线的三点确定一个平面，故①不正确；
对于②，因为梯形的两底边平行，经过两条平行直线确定一个平面，故②正确；
对于③，当三条直线交于不同的三点时，三条直线只确定一个平面；当三条直线交于一点时，三条直线最多确定三个平面，故③正确；
对于④，当两个平面的三个公共点在一条直线上时，这两个平面相交于这条直线，不一定重合，故④不正确．
故选BC．
三．填空题
13．（2022秋•郑州月考）若空间4个点不共面，则到这4个点距离都相等的平面的个数为 ．
【答案】7
【解析】当一个点在平面一侧，另三个点在平面另一侧时，这种平面有4个；
当平面两侧各有两个点时，这种平面有3个．
故共有7个．
故答案为：7．
14．（2022秋•徐汇区期中）如图，棱长为1的正方体中，为中点，则过、、三点的截面面积为 ．
【答案】
【解析】作交于，因为为中点，所以过、、三点的截面为四边形，
所以，，可得四边形为梯形，
过交于，过作交于，可得，
在正方体中，，所以，而，
所以面，可得，
即梯形的高为，可得面，可得，
，
所以，
故答案为：．
15．（2022•嘉定区开学）在空间中，如果两条直线没有交点，那么这两条直线的位置关系是 ．
【答案】平行或异面
【解析】空间中的直线没有公共点，则两直线要么平行，要么是异面直线．
故答案为：平行或异面．
16．（2022秋•浦东新区月考）下列四个条件中，能确定一个平面的是 （填编号）．
①空间任意三点；
②空间两条平行直线；
③一条直线和一个点；
④两两相交且不共点的三条直线．
【答案】②④
【解析】对于①：当这三个点共线时经过这三点的平面有无数个，故①错，
对于②：根据公理二的推论，两条平行线就包含了三个不共线的点，故通过空间两条平行直线可确定一个平面，故②对，
对于③：当此点在此直线上时有无数个平面经过这条直线和这个点，故③错，
对于④：过两两相交且不共点的三条直线，也存在三个不共线的点，故④对，
故答案为：②④．
四．解答题
17．（2022秋•徐汇区月考）已知正方体中，与平面交于点，设与相交于点，求证：直线．
【答案】证明：如图，连接，
平面，且与平面交于点，
为平面与平面的公共点，
而平面平面，直线．
18．（2022春•庐阳区期中）如图，正四棱柱．
（1）请在正四棱柱中，画出经过、、三点的截面（无需证明）；
（2）若、分别为、中点，证明：、、三线共点．
【答案】（1）如图五边形即为所求；
证明：（2）如图，
、分别为、中点，
，又，
，而，可得四边形为梯形，
设，则，
平面，平面，同理平面，
又平面平面，，
即、、三线共点．
19．（2022秋•浦北县期中）如图，已知，分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且．求证：，，三点共线．
【答案】证明：设，，，
，
；
．
则，
又有公共起点，，，三点共线．
20．（2022春•潼南区月考）正方体中，，，，分别是，，，的中点．
（1）证明：，，，四点共面．
（2）证明：，，三线共点．
【答案】证明：（1）连接，
、分别是、的中点，且，
、分别是、的中点，且，
四边形为平行四边形，得且，
且，故、、、四点共面；
（2）由（1）知，四边形为梯形，设，
则，，而平面，平面，
平面，且平面，
又平面平面，
，，三线共点．
21．（2022春•湖北期中）如图，在长方体中，，点，分别在，上（不包含端点），且．证明：
（1），，，四点共面；
（2）直线，，交于一点．
【答案】证明：（1）如图，
，
连接，，．
因为，，所以，所以，
由长方体的性质可知，所以，
故，，，四点共面．
（2）由（1）可得，，则四边形是梯形，
故直线与直线必相交，记．
因为，且平面，所以平面，
因为，且平面，所以平面，
又因为平面平面，所以．
即直线，，交于一点．
【选做题】
一．选择题
1．（2022春•三门峡期末）下列命题正确的是
A．三点确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．两条直线确定一个平面
D．梯形可确定一个平面
【答案】D
【解析】．由于在一条直线上的三点不能确定一个平面，所以该选项惜误；
．一条直线和该直线外的一点可以确定一个平面，所以该选项错误；
．两条异面直线不能确定一个平面，所以该选项错误；
．梯形可确定一个平面，所以该选项正确．
故选D．
2．（2022春•荆州区月考）工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格．工人师傅运用的数学原理是
A．两条相交直线确定一个平面
B．两条平行直线确定一个平面
C．四点确定一个平面
D．直线及直线外一点确定一个平面
【答案】A
【解析】由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格，
所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”．
故选A．
3．（2022春•莱西市期末）下列命题正确的为
A．两条直线确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．若直线在平面外，则这条直线与这个平面没有公共点
D．若两条直线没有公共点，则这两条直线为平行直线或异面直线
【答案】D
【解析】在中，由平面基本性质的推论2，3得到：两条相交直线能确定一个平面，两条平行直线能确定一个平面，故错误；
在中，一条直线和这条直线外一个点可以确定一个平面，故错误；
在中，若直线在平面外，包括直线和平面平行和直线和平面相交，若直线和平面相交，则这条直线与这个平面有一个公共点，故错误；
在中，若两条直线没有公共点，则这两条直线为平行直线或异面直线，故正确．
故选D．
4．（2022春•丰台区期末）下列说法正确的是
A．三点确定一个平面
B．两个平面可以只有一个公共点
C．三条平行直线一定共面
D．三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面
【答案】D
【解析】对于，因为不共线的三点确定一个平面，故错误；
对于，若两个平面有一个公共点，那么就有一条经过该点的公共直线，即交线，该交线上有无数个公共点，故错误；
对于，三条平行直线可能共面，也可能有一条在另外两条确定的平面外，故错误；
对于，当三条直线两两相交，三个交点不重合时，三条直线共面，
当三条直线两两相交于一个点时，这三条直线可能在同一个平面内，也可能不共面，
此时其中任意两条直线都可确定一个平面，即可确定3个平面，故正确，
故选D．
5．（2022秋•建平县月考）正方体的棱长为2，点，，分别是棱，，中点，则过点，，三点的截面面积是
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，设的中点为，连接并延长，交延长线于，交延长线于，连接交于，
连接交于，连接，，则六边形为过点，、三点的截面，
由题意可知，，则，
故△，可知，即为的中点，
同理可证为的中点，故可知六边形为正六边形，
且边长为，
故其面积为，即过点、．三点的截面面积是，
故选D．
6．（2022春•泉州期末）正方体的棱长为4，，，用经过，，三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】延长交于点，则，
即为的中点，
连接，取中点，连接，则，
所以，，，四点共面，，，
，
在中，边上的高，
记边上的高为，
则，
所以，
所以．
故选：D．
7．（2022秋•乐山期末）在长方体中，若，，，分别为，的中点，过点，，作长方体的一截面，则该截面的周长为
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意可得截面为图中所示四边形，
其中为靠近的四等分点，
所以该截面的周长为，
故选D．
8．（2023•襄州区开学）如图，已知四面体中，，，，分别是，的中点．若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为
A．1B．C．2D．
【答案】A
【解析】由题知四面体中互为异面直线的两条棱长分别相等，
故可将此四面体放入长方体中，如图所示：
不妨设该长方体长、宽、高分别为，，，
则有①，②，③，
联立①②③，可得，
设平面与四面体的各面分别交于，，，，
如图所示：
平面，由长方体性质，可知平面，
故平面平面平面，
平面平面，平面平面，
，，即，，
平面平面，平面平面，
，，即，，
同理可得，，
，，
，四边形为正方形，，
即，即，
，，，，，，
综上，四边形为矩形，所以，
当且仅当时成立．故截面面积的最大值为1．
故选A．
二．多选题
9．（2022•江西开学）如图，，，，分别是空间四边形各边上的点（不与各边的端点重合），且，，，，．下列结论正确的是
A．，，，一定共面
B．若直线与有交点，则交点不一定在直线上
C．直线平面
D．当时，四边形的面积有最大值2
【答案】AD
【解析】，则，又，则，
，即，，，四点共面，正确，
，
，同理，
当时，，此时四边形为梯形，即直线与有交点，交点在平面内，又在平面内，而面面，
直线与的交点在直线上，错误，错误，
，同理及得，，四边形为平行四边形，
又，故，故平行四边形为矩形，
设，
，
，而，故，
，
则矩形的面积，，
可得，正确，
故选AD．
10．（2022春•郴州期末）下列命题不正确的是
A．三点确定一个平面
B．两条相交直线确定一个平面
C．一条直线和一点确定一个平面
D．两条平行直线确定一个平面
【答案】AC
【解析】由公理三及其推论知：
不共线的三点确定一个平面；
两条平行线确定一个平面；
一条直线与这条直线外一点确定一个平面；
两条相交直线确定一个平面．
故四个选项中，不正确，
故选AC．
11．（2022春•香坊区期中）下列四个命题中为真命题的是
A．过空间中任意三点有且仅有一个平面
B．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
D．空间四点不共面，则任意三点不共线
【答案】BD
【解析】对于，当三点在一条直线上时，过这三点有无数个平面，错误；
对于，两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，正确；
对于，若空间两条直线不相交，则这两条直线平行或异面，错误；
对于，空间四点不共面，则任意三点不共线，正确．
故选BD．
12．（2022春•宿城区期中）如图，在三棱柱中，，分别为棱和上的点（不包括端点），且，则下列结论正确的是
A．，，，四点共面B．平面
C．平面与平面不相交D．，，三点共线
【答案】ABD
【解析】对于，因为，所以，共面，所以正确；
对于，，平面，所以平面，故正确，
对于，，平面，平面，
所以平面平面，故正确；
对于，与相交，则平面与平面相交，故不正确．
故选ABD．
三．填空题
13．（2023•温州开学）正四面体棱长为2，，，分别为，，的中点，过作平面，则平面截正四面体，所得截面的面积为 ．
【答案】1
【解析】分别取，，的中点，，，连接，，，，，，，
由题意可知：且，
又因为且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
因为且，所以，则平行四边形为菱形，
因为为正四面体，所以三角形是边长为2的正三角形，
所以且，同理且，
又，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，，所以，所以菱形为正方形．
因为，且为的中点，所以，
因为，
所以，
同理，，，平面，
所以平面，
所以过作平面，则平面截正四面体所得的图形即为正方形，
所以截面面积为，
故答案为：1．
14．（2022秋•虹口区月考）在空间中，下列说法：
（1）不相交的直线是平行直线；
（2）两个平面的交点个数只可能是1个或者无穷多个；
（3）四边相等的四边形是菱形；
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（5）若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等．
其中正确的序号是 ．
【答案】（4）
【解析】（1）不相交的直线还有可能异面，不一定是平行直线，故（1）错，
（2）两个平面的交点个数只可能是0个或者无穷多个，故（2）错，
（3）四边相等的四边形是菱形或是空间四边形，故（3）错，
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形，故（4）正确，
（5）若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故（5）错，
答案为：（4）．
15．（2022•北京自主招生）正方体的棱长是，其中是中点，是中点，则过点，，的截面面积是 ．
【答案】
【解析】根据面面平行的性质，，其中，
，其中，过点，，的截面为五边形，
在三角形中，，，，由余弦定理得，
，平行四边形形的面积，
又，，，
．
16．（2022秋•奉贤区月考）如图，在正方体中，、、、分别是顶点或所在棱中点，则、、、四点共面的图形 （填上所有正确答案的序号）．
【答案】①③④
【解析】
图①：取的中点，连结、，
、均为相应边的中点，则：，且，
又，，则，，即为平行四边形，
，
同理：，
则，即、、、四点共面，图①正确；
图②：显然与异面，图②不正确；
图③：连结，，，
，即为平行四边形，
，
又、分别为相应边的中点，则
，即、、、四点共面，图③正确；
图④：连结，，，，
，即为平行四边形，则，
又、分别为相应边的中点，则，
同理：，
，即、、、四点共面，图④正确．
故答案为：①③④．
四．解答题
17．（2021春•瑶海区月考）在正方体中，对角线与平面交于点，，交于点，求证：点，，共线．
【答案】证明：如图，
平面，且平面，
是平面与平面的公共点，
又，
平面，
，
平面，
也是平面与平面的公共点，
是平面与平面交线，
是与平面的交点，
平面，平面，
也是平面与平面的公共点，
直线，
即，，三点共线．
18．（2021春•瑶海区月考）在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：直线，，相交于一点．
【答案】证明：如图所示，空间四边形中，，分别是，的中点，
；
又，
，
，
、、、四点共面；
设与交于点，
平面
在平面内，
同理在平面内，
且平面平面，
点在直线上，
直线，，相交于一点．
19．（2021春•黄浦区月考）已知长方体中，，分别为和的中点．求证：
（1），，，四点共面；
（2）、、三线共点．
【答案】证明：（1）连接，
因为，分别为和的中点，
所以，
因为，，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
所以与确定一个平面，
所以，，，四点共面．
（2）因为，且，
所以直线与必相交，
设，
因为，平面，
所以平面，
又因为，平面，
所以平面，
所以是平面与平面的公共点，
又因为平面平面，所以，
所以、、三线共点．
20．（2021春•如皋市月考）如图，设不全等的与△不在同一平面内，且，，．求证：、、三线共点．
【答案】证明：不妨设，，
，
面，面．
同理，面．
，
即、、三线共点于．