人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用当堂检测题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用当堂检测题，共4页。试卷主要包含了德国数学家高斯提出一个猜想，已知函数等内容，欢迎下载使用。

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查利用导数求函数的单调性，注意函数图象的应用．
由函数的图象得函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，得不等式的解集即可．
【解答】
解：由图象单调性可得：
时：，，；
时：，，；
时：，，；
时：，，；
时：，，；
时：，，；
因此的解集为
故选
2．若函数在区间上递减，则m的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的应用，解题的关键是熟练掌握利用导数研究函数的单调性的计算，
根据已知及利用导数研究函数的单调性的计算，求出m的取值范围．
【解答】
解：，
函数定义域为，
令，即，解得，
故函数在上单调递减，
若函数在区间上递减，
则m的取值范围为
故选
3．德国数学家高斯提出一个猜想：，其中表示不大于x的素数个数．即随着x的增大，的值近似接近的值．从猜想出发，下列推断正确的是
A． 当x很大时，随着x的增大，增长速度变快
B． 当x很大时，随着x的增大，减小
C． 当x很大时，在区间是一个较大的常数内，素数的个数随x的增大而减少
D． 因为，所以
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于拔高题．根据题意，利用导数逐一选项分析即可得出结论．
【解答】
解：令函数，，
令，，
当时，，单调递增，
则当x很大时，随着x的增大，增大，故B错误；
因为，当时，，
故当x很大时，随着x的增大，增长速度变慢 ，故A错误，
当x很大时，在区间是一个较大的常数内，函数图象增长的慢，素数的个数随x的增大而减少，故 C正确，
因为，则，故D错误．
故选
4．已知函数
讨论的单调性；
若在区间内不是单调函数，求k的取值范围．
【答案】解：
，，
当时，由，得，在上单调递增
由，得，在上单调递减
当时，由，得，在上单调递增
由，得，在上单调递减－
综上得当时， 在上单调递增，在上单调递减
当时， 在上单调递增，在上单调递减
由知若在区间内不是单调函数
则，即，
解，得或
解，得或
的取值范围或
【解析】本题主要讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准，已知函数的单调性确定参数问题更是各类考试的重点，应注意掌握．
由已知先求，通过讨论或即可得的单调性．
若在区间内不是单调函数
则，即， 解不等式即可求得答案．