高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.2 离散型随机变量及其分布列学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.2 离散型随机变量及其分布列学案，共9页。学案主要包含了一列出；，典例解析等内容，欢迎下载使用。

1．理解取有限值的离散型随机变量的分布列及两点分布的概念及表示．
2．掌握离散型随机变量的分布列的性质．
3．会求某些简单的离散型随机变量的分布列(含两点分布)．
重点：离散型随机变量的分布列及两点分布的概念及性质
难点：求某些简单的离散型随机变量的分布列
1.离散型随机变量的定义：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;
用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.
2、随机变量的分类
①离散型随机变量:X的取值可一、一列出；
②连续型随机变量:X可以取某个区间内的一切值
3、古典概型:
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等。
4．离散型随机变量的分布列
一般地，当离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn时，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi, i∈{1,2，…，n}，为X的概率分布列．
离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为X的概率分布或分布列．
5.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：
注意：①.列出随机变量的所有可能取值；
②.求出随机变量的每一个值发生的概率.
6.两点分布列
对于只有两个可能结果的随机试验,用?表示“成功”,
A表示“失败”,定义X=&1,A发生，&0,A发生.
如果PA=p,则PA=1-p，那么X的分布列如下表所示.
我们称X服从两点分布或0-1分布.
.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数． ( )
(2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个． ( )
(3)随机变量是随机试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应是人为的，但又是客观存在的． ( )
2．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是( )


3.分布列是两点分布吗？
问题探究
探究1.抛掷一枚骰子,所得的点数X有哪些值？取每个值的概率是多少？
探究2.分布列的表示：函数可以用解析式、表格、图象表示。离散型随机变量的分布列也可以用解析式、表格、图象表示。
解析式法：P（X=xi）=pi,i=1,2,3…,n
表格法：
图象法:
二、典例解析
例1. 一批产品中次品率为5%,随机抽取1件,
定义X=&1,抽到次品，&0,抽到正品.
求X的分布列.
跟踪训练1.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X描述一次试验的成功次数,则P(X=0)等于( )
A.0B.13C.12D.23
例2.某学校高二年级有200名学生,他们的体育综合测试成绩分5个等级,每个等级对应的分数和人数如下表所示.
从这200名学生中任意选取1人,求所选同学分数?的分布列以及?(?≥4).
例3. 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台 ,B品牌7台.如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列.
求离散型随机变量分布列时应注意的问题
(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要清楚ξ取每一个值对应的随机事件,进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率.
(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时,要充分利用分布列的性质,这样不但可以减少运算量,还可以验证分布列是否正确.
跟踪训练2. 一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取3只,以ξ表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量ξ的分布列.
1．某一随机变量ξ的概率分布如下表，且m＋2n＝1.2，则m－eq \f(n,2)的值为( )
A.－0.2 B．0.2 C．0.1 D．－0.1
2．设离散型随机变量X的分布列为
若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于( )
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
3．一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X来描述次品出现的情况，即X＝0表示抽取的一个产品为合格品，X＝1表示抽取的一个产品为次品，则X的分布列为
则a＝________，b＝________.
4．设随机变量ξ的可能取值为5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ>8)＝________，P(6<ξ≤14)＝________.
5．将一枚骰子掷两次，求两次掷出的最大点数ξ的分布列．
参考答案：
知识梳理
1． [答案] (1)× (2)√ (3)√
2．D [本题考查分布列的概念及性质，即ξ的取值应互不相同且P(ξi)≥0，i＝1,2，…，n，eq \(∑,\s\up12(n),\s\d10(i＝1))P(ξi)＝1.A中ξ的取值出现了重复性；B中P(ξ＝0)＝－eq \f(1,4)＜0；C中eq \(∑,\s\up12(3),\s\d10(i＝1))P(ξi)＝eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)＋eq \f(3,5)＝eq \f(6,5)＞1.]
3.解析： 不是．因为X的取值不是0和1
学习过程
问题探究
探究1. 因为X取值范围是1，2，3，4，5，6
而且P(X=m)=16,m=1,2,3,4,5,6.
因此X分布列如下表所示
该表不仅列出了随机变量X的所有取值而且列出了X的每一个取值的概率．
二、典例解析
例1. 解：根据X的定义，P(X=0)=0.95,P(X=1)=0.05.
X的分布列为
跟踪训练1.解析:设P(X=1)=p,则P(X=0)=1-p.依题意知,p=2(1-p),解得p=23.,故P(X=0)=1-p=13.答案:B
例2.解：由题意知，?是一个离散型随机变量，其可能取值为1,2,3,4,5,且{?=1}=“不及格”,
{?=2}=“及格”, X=3=“中等”,X=4=“良”,X=5=“优”.
根据古典概型的知识，
可得?的分布列
P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=15+320=720
例3. 解：设挑选的2台电脑中?品牌的台数为?,则?的可能取值为0,1,2.根据古典概型的知识，
可得?的分布列,用表格表示X的分布列为，
跟踪训练2. 解:随机变量ξ的可能取值为3,4,5.
当ξ=3时,即取出的三只球中最大号码为3,则其他两只球的编号只能是1,2,故有P(ξ=3)=C22C53=110;当ξ=4时,即取出的三只球中最大号码为4,则其他两只球只能在编号为1,2,3的3只球中取2只,故有P(ξ=4)=C32C53=310;
当ξ=5时,即取出的三只球中最大号码为5,则其他两只球只能在编号为1,2,3,4的4只球中取2只,故有P(ξ=5)=C42C53=610=35.
因此ξ的分布列为
达标检测
1．B [由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－eq \f(n,2)＝0.2.]
2．A [由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.又P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.]
3．eq \f(19,20);eq \f(1,20) [X＝0表示抽取的一个产品为合格品，概率为95%，即a＝eq \f(19,20)；X＝1表示抽取的一个产品为次品，概率为5%，即b＝eq \f(1,20).]
4．eq \f(2,3);eq \f(2,3) [P(ξ>8)＝eq \f(1,12)×8＝eq \f(2,3)，P(6<ξ≤14)＝eq \f(1,12)×8＝eq \f(2,3).]
5． [解] 由题意知ξ＝i(i＝1,2,3,4,5,6)，
则P(ξ＝1)＝eq \f(1,C\\al(1,6)C\\al(1,6))＝eq \f(1,36)；P(ξ＝2)＝eq \f(3,C\\al(1,6)C\\al(1,6))＝eq \f(3,36)＝eq \f(1,12)；
P(ξ＝3)＝eq \f(5,C\\al(1,6)C\\al(1,6))＝eq \f(5,36)；P(ξ＝4)＝eq \f(7,C\\al(1,6)C\\al(1,6))＝eq \f(7,36)；
P(ξ＝5)＝eq \f(9,C\\al(1,6)C\\al(1,6))＝eq \f(9,36)＝eq \f(1,4)；P(ξ＝6)＝eq \f(11,C\\al(1,6)C\\al(1,6))＝eq \f(11,36).
所以抛掷两次掷出的最大点数构成的分布列为
X
0
1
P
1－P
P
X
x1
x2
…
xk
…
xn
P
p1
p2
…
pk
…
pn
等级
不及格
及格
中等
良好
优秀
分数
1
2
3
4
5
人数
20
50
60
40
30
ξ
0
1
2
3
P
0.1
m
n
0.1
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
X
0
1
P
a
b
X
1
2
3
4
5
6
P
16
16
16
16
16
16
X
0
1
P
0.95
0.05
X
1
2
3
4
5
P
110
14
310
15
320
X
0
1
2
P
715
715
115
ξ
3
4
5
P
110
310
35
ξ
1
2
3
4
5
6
P
eq \f(1,36)
eq \f(1,12)
eq \f(5,36)
eq \f(7,36)
eq \f(1,4)
eq \f(11,36)