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人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理精练
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理精练，共14页。
A基础练
一、选择题
1．求是中学的教学楼共有5层，每层均有两个楼梯，某同学从一楼上到五楼可能的走法有（ ）
A．10种B．16种C．25种D．32种
2．一般地，一个程序模块由许多子模块组成，一个程序模块从开始到结束的路线称为该程序模块的执行路径.如图是一个计算机程序模块，则该程序模块的不同的执行路径的条数是（ ）
A．6B．14C．49D．84
3．如图所示，A地到E地要铺设一条煤气管道，其中需经过三级中间站，两点之间的连线上的数字表示距离.则从A地到E地铺设煤气管道最短距离是（ ）
A．19B．21C．22D．23
4．天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（ ）
A．54种B．60种C．72种D．96种
5．过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为（ ）
A．18B．30C．36D．54
6．（多选题）现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工），且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）
A．所有可能的方法有种
B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
二、填空题
7． 3科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有_______种.
8．假设今天是4月23日，某市未来六天的空气质量预报情况如图所示.该市有甲、乙、丙三人计划在未来六天（4月24日～4月29日）内选择一天出游，甲只选择空气质量为优的一天出游，乙不选择周一出游，丙不选择明天出游，且甲与乙不选择同一天出游，则这三人出游的不同方法数为________.
未来空气质量预报
9．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联:“客上天然居，居然天上客;人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为:“回文数”.如44，585，2662 等，那么用数字1，2，3， 4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为_______.
10．5400的正约数有______个
三、解答题
11．现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人,高三年级9人.
(1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？
(2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？
12．数学上的“四色问题”，是指“任何一张地图只用四种颜色就能使具有公共边界的国家着上不同的颜色。”，现有五种颜色供选择，涂色我国西部五省，要求每省涂一色，相邻各省不同色，有多少种涂色方法．
B提高练
一、选择题
1．如图所示,连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有( )个.
A．40B．30C．20D．10
2．（2021·山东菏泽高二期末）高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（ ）
A．16种B．18种C．37种D．48种
3．甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是，为遵守当地某月日至日，共天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为（ ）
A． B． C． D．
4．用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学每个吉祥物都喜欢，如果三位同学对选取的礼物都满意，则选法有( )
A．种B．种
C．种D．种
6.已知三边，，的长都是整数，，如果，则符合条件的三角形的个数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．选2个班参加社会实践，要求这2个班不同年级，有_______种不同的选法．
8．现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是_______种.
9．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为（ ）
10．从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有____________个
三、解答题
11．某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如表：
现有小华、小李两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的.
（1）若小华、小李两人共付费5元，则小华、小李下地铁的方案共有多少种？
（2）若小华、小李两人共付费6元，求小华比小李先下地铁的概率.
12．用这六个数字，完成下面两个小题．
（1）若数字不允许重复，可以组成多少个能被整除的且百位数字不是的不同的五位数；
（2）若直线方程中的可以从已知的六个数字中任取个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？
同步练习答案
A基础练
一、选择题
1．【答案】B
【详解】走法共分四步：一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，一共种.
2．【答案】C
【详解】由分类加法计数原理，子模块1或子模块2或子模块3的子路径共有条；子模块4或子模块5中的子路径共有条，由分步乘法计数原理，整个模块的不同执行路径共有条，故选：C
3．【答案】A
【详解】对各个路线进行计算可得，由到到到到，距离共19为最短距离.
4．【答案】A
【详解】由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，再排甲，也有3种情况，余下3人有种情况，利用分步相乘计数原理知有种情况，故选：A.
5．【答案】C
【详解】解：如图，分以下几类：
棱柱侧棱与底面边之间所构成的异面直线有：对；
棱柱侧棱与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对；
底面边与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对；
底面边与底面边之间所构成的异面直线有：对；
侧面对角线与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对；
所以共有对.故选：C.
6．【答案】BCD
【详解】所有可能的方法有种，A错误.对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为3种，另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有3种，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有种安排方法，B正确.对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有种安排，C正确.对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有种安排，D正确.
二、填空题
7． 【答案】81
【详解】因为3科老师都布置了作业，在同一时刻每个学生做作业的情况有3种可能，所以4名学生都做作业的可能情况3×3×3×3=81种．
8．【答案】85
【详解】若甲选择周一出游，则三人出游的不同方法数；
若甲不选择周一出游，则三人出游的不同方法数.
故这三人出游的不同方法数.
9．【答案】
【详解】根据题意，分2种情况讨论：
①4位“回文数”中数字全部相同，有6种情况，即此时有6个4位“回文数”；
②4位“回文数”中有2个不同的数字，有种情况，即此时有30个4位“回文数”；则一共有个4位“回文数”．
10．【答案】48
【详解】，5400的正约数一定是由2的幂与3的幂和5的幂相乘的结果，所以正约数个数为．
三、解答题
11．【详解】（1）根据题意，选其中一人为负责人，有3种情况，
若选出的是高一学生，有13种情况，
若选出的是高二学生，有12种情况，
若选出的是高三学生，有9种情况，
由分类计数原理可得，共有12+13+9＝34种选法．
（2）根据题意，从高一学生中选出1人，有13种情况；
从高二学生中选出1人，有12种情况；
从高三学生中选出1人，有9种情况；
由分步计数原理，可得共有12×13×9＝1404种选法．
（3）根据题意，分三种情况讨论：
若选出的是高一、高二学生，有12×13＝156种情况，
若选出的是高一、高三学生，有13×9＝117种情况，
若选出的是高二、高三学生，有12×9＝108种情况，
由分类计数原理可得，共有156+117+108＝381种选法．
12．
【详解】对于新疆有5种涂色的方法，
对于青海有4种涂色方法，
对于西藏有3种涂色方法，
对于四川：若与新疆颜色相同，则有1种涂色方法，此时甘肃有3种涂色方法；若四川与新疆颜色不相同，则四川只有2种涂色方法，此时甘肃有2种涂色方法；根据分步、分类计数原理，则共有5×4×3×（2×2+1×3）＝420种方法．
B提高练
一、选择题
1．【答案】A
【详解】把与正八边形有公共边的三角形分为两类：
第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32（个）；
第二类，有两条公共边的三角形共有8（个）．由分类加法计数原理知，共有32+8＝40（个）．
2． 【答案】C
【详解】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有种情况，其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有种方案；则符合条件的有种．
3．【答案】D
【详解】日至日，分别为，有天奇数日， 天偶数日，
第一步安排奇数日出行，每天都有种选择，共有种，
第二步安排偶数日出行分两类，第一类，先选天安排甲的车，另外一天安排其它车，有种，
第二类，不安排甲的车，每天都有种选择，共有种，共计，
根据分步计数原理，不同的用车方案种数共有.故选D.
4．【答案】A
【详解】5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色方法数为，有公共边的三角形为同色，先考虑中间一块涂色有5种方法，其他三个三角形在剩下的4色中任意涂色均可，方法为，所以所求概率为．
5．【答案】A
【详解】①若甲同学选择牛，则乙同学有种选择，丙同学有种选择，选法种数为，②若甲同学选择马，则乙同学有种选择，丙同学有种选择，选法种数为，综上，共有选法为种．
6.【答案】D
【详解】根据题意，可取的值为1、2、3、…25，
根据三角形的三边关系，有，
当时，有25≤＜26，则＝25，有1种情况，
当时，有25≤＜27，则＝25、26，有2种情况，
当时，有25≤＜28，则＝25、26、27，有3种情况，
当时，有25≤＜29，则＝25、26、27、28，有4种情况，
…
当时，有有25≤＜50，则＝25、26、27、28…49，有25种情况，
则符合条件的三角形共有1＋2＋3＋4＋…＋25＝．
二、填空题
7．【答案】
【详解】选2个班参加社会实践，这2个班不同年级，
2个班为高一和高二各一个班有，
2个班为高二和高三各一个班有，
2个班为高三和高一各一个班有，
所以不同的选法共有.
8．【答案】1535
【详解】除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，2张100元人民币的取法有不取、取一张和取二张3种情况，再减去这些人民币全不取的1种情况，所以共有种．
9．【答案】1560
【详解】解：分4步进行分析：
①，对于区域，有6种颜色可选；
②，对于区域，与区域相邻，有5种颜色可选；
③，对于区域，与、区域相邻，有4种颜色可选；
④，对于区域、，若与颜色相同，区域有4种颜色可选，
若与颜色不相同，区域有3种颜色可选，区域有3种颜色可选，
则区域、有种选择，
则不同的涂色方案有种.
10．【答案】98
【详解】当公差为时，数列可以是：，，，……，共13种情况.当公差为时，数列可以是：，，，……，共11种情况.当公差为时，数列可以是：，，，……，共9种情况.当公差为时，数列可以是：，，，……，共7种情况.当公差为时，数列可以是：，，，，，共5种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，共3种情况.
当公差为时，数列可以是：，共1种情况.
总的情况是.又因为三个数成公差数列有两种情况，递增或递减，所以这样的等差数列共有个.
三、解答题
11．【详解】
（1）小华、小李两人共付费5元，所以小华、小李一人付费2元一人付费3元，付费2元的乘坐站数有1，2，3三种选择，付费3元的乘坐站数有4，5，6三种选择，所以小华、小李下地铁的方案共有种；
（2）小华、小李两人共付费6元，所以小华、小李一人付费2元一人付费4元或两人都付费3元，付费4元的乘坐站数也有7，8，9三种选择，因此小华、小李下地铁的方案共有种；其中小华比小李先下地铁的方案共有种；因此小华比小李先下地铁的概率为
12．【详解】（1）当末位数字是时，百位数字不是， 第一步，放百位有4种方法，
第二步，放剩余的三个位置有种，则共有个；
当末位数字是，首位数字是时，共有个；
当末位数字是时，首位数字是或或时，共有个；
故共有个．
（2）中有一个取时，有条；都不取时，有条；
与重复；，与重复．
故共有条．
明天
后天
周日
周一
周二
周三
4月24日
4月25日
4月26日
4月27日
4月28日
4月29日
优
优
优
优
良
良
乘坐站数
0＜x≤3
3＜x≤6
6＜x≤9
票价（元）
2
3
4
A基础练
一、选择题
1．求是中学的教学楼共有5层，每层均有两个楼梯，某同学从一楼上到五楼可能的走法有（ ）
A．10种B．16种C．25种D．32种
2．一般地，一个程序模块由许多子模块组成，一个程序模块从开始到结束的路线称为该程序模块的执行路径.如图是一个计算机程序模块，则该程序模块的不同的执行路径的条数是（ ）
A．6B．14C．49D．84
3．如图所示，A地到E地要铺设一条煤气管道，其中需经过三级中间站，两点之间的连线上的数字表示距离.则从A地到E地铺设煤气管道最短距离是（ ）
A．19B．21C．22D．23
4．天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有（ ）
A．54种B．60种C．72种D．96种
5．过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为（ ）
A．18B．30C．36D．54
6．（多选题）现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工），且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）
A．所有可能的方法有种
B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
二、填空题
7． 3科老师都布置了作业，在同一时刻4名学生都做作业的可能情况有_______种.
8．假设今天是4月23日，某市未来六天的空气质量预报情况如图所示.该市有甲、乙、丙三人计划在未来六天（4月24日～4月29日）内选择一天出游，甲只选择空气质量为优的一天出游，乙不选择周一出游，丙不选择明天出游，且甲与乙不选择同一天出游，则这三人出游的不同方法数为________.
未来空气质量预报
9．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联:“客上天然居，居然天上客;人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为:“回文数”.如44，585，2662 等，那么用数字1，2，3， 4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为_______.
10．5400的正约数有______个
三、解答题
11．现某学校共有34人自愿组成数学建模社团，其中高一年级13人，高二年级12人,高三年级9人.
(1)选其中一人为负责人，共有多少种不同的选法？
(2)每个年级选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)选两人作为社团发言人,这两人需要来自不同的年级，有多少种不同的选法？
12．数学上的“四色问题”，是指“任何一张地图只用四种颜色就能使具有公共边界的国家着上不同的颜色。”，现有五种颜色供选择，涂色我国西部五省，要求每省涂一色，相邻各省不同色，有多少种涂色方法．
B提高练
一、选择题
1．如图所示,连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有( )个.
A．40B．30C．20D．10
2．（2021·山东菏泽高二期末）高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（ ）
A．16种B．18种C．37种D．48种
3．甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是，为遵守当地某月日至日，共天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为（ ）
A． B． C． D．
4．用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学每个吉祥物都喜欢，如果三位同学对选取的礼物都满意，则选法有( )
A．种B．种
C．种D．种
6.已知三边，，的长都是整数，，如果，则符合条件的三角形的个数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．选2个班参加社会实践，要求这2个班不同年级，有_______种不同的选法．
8．现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是_______种.
9．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为（ ）
10．从集合中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有____________个
三、解答题
11．某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如表：
现有小华、小李两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性是相同的.
（1）若小华、小李两人共付费5元，则小华、小李下地铁的方案共有多少种？
（2）若小华、小李两人共付费6元，求小华比小李先下地铁的概率.
12．用这六个数字，完成下面两个小题．
（1）若数字不允许重复，可以组成多少个能被整除的且百位数字不是的不同的五位数；
（2）若直线方程中的可以从已知的六个数字中任取个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？
同步练习答案
A基础练
一、选择题
1．【答案】B
【详解】走法共分四步：一层到二层2种，二层到三层2种，三层到四层2种，四层到五层2种，一共种.
2．【答案】C
【详解】由分类加法计数原理，子模块1或子模块2或子模块3的子路径共有条；子模块4或子模块5中的子路径共有条，由分步乘法计数原理，整个模块的不同执行路径共有条，故选：C
3．【答案】A
【详解】对各个路线进行计算可得，由到到到到，距离共19为最短距离.
4．【答案】A
【详解】由题意，甲乙不是第一名且乙不是最后一名，乙的限制最多，故先排乙，有3种情况，再排甲，也有3种情况，余下3人有种情况，利用分步相乘计数原理知有种情况，故选：A.
5．【答案】C
【详解】解：如图，分以下几类：
棱柱侧棱与底面边之间所构成的异面直线有：对；
棱柱侧棱与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对；
底面边与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对；
底面边与底面边之间所构成的异面直线有：对；
侧面对角线与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对；
所以共有对.故选：C.
6．【答案】BCD
【详解】所有可能的方法有种，A错误.对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为3种，另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有3种，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有种安排方法，B正确.对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有种安排，C正确.对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有种安排，D正确.
二、填空题
7． 【答案】81
【详解】因为3科老师都布置了作业，在同一时刻每个学生做作业的情况有3种可能，所以4名学生都做作业的可能情况3×3×3×3=81种．
8．【答案】85
【详解】若甲选择周一出游，则三人出游的不同方法数；
若甲不选择周一出游，则三人出游的不同方法数.
故这三人出游的不同方法数.
9．【答案】
【详解】根据题意，分2种情况讨论：
①4位“回文数”中数字全部相同，有6种情况，即此时有6个4位“回文数”；
②4位“回文数”中有2个不同的数字，有种情况，即此时有30个4位“回文数”；则一共有个4位“回文数”．
10．【答案】48
【详解】，5400的正约数一定是由2的幂与3的幂和5的幂相乘的结果，所以正约数个数为．
三、解答题
11．【详解】（1）根据题意，选其中一人为负责人，有3种情况，
若选出的是高一学生，有13种情况，
若选出的是高二学生，有12种情况，
若选出的是高三学生，有9种情况，
由分类计数原理可得，共有12+13+9＝34种选法．
（2）根据题意，从高一学生中选出1人，有13种情况；
从高二学生中选出1人，有12种情况；
从高三学生中选出1人，有9种情况；
由分步计数原理，可得共有12×13×9＝1404种选法．
（3）根据题意，分三种情况讨论：
若选出的是高一、高二学生，有12×13＝156种情况，
若选出的是高一、高三学生，有13×9＝117种情况，
若选出的是高二、高三学生，有12×9＝108种情况，
由分类计数原理可得，共有156+117+108＝381种选法．
12．
【详解】对于新疆有5种涂色的方法，
对于青海有4种涂色方法，
对于西藏有3种涂色方法，
对于四川：若与新疆颜色相同，则有1种涂色方法，此时甘肃有3种涂色方法；若四川与新疆颜色不相同，则四川只有2种涂色方法，此时甘肃有2种涂色方法；根据分步、分类计数原理，则共有5×4×3×（2×2+1×3）＝420种方法．
B提高练
一、选择题
1．【答案】A
【详解】把与正八边形有公共边的三角形分为两类：
第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32（个）；
第二类，有两条公共边的三角形共有8（个）．由分类加法计数原理知，共有32+8＝40（个）．
2． 【答案】C
【详解】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有种情况，其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有种方案；则符合条件的有种．
3．【答案】D
【详解】日至日，分别为，有天奇数日， 天偶数日，
第一步安排奇数日出行，每天都有种选择，共有种，
第二步安排偶数日出行分两类，第一类，先选天安排甲的车，另外一天安排其它车，有种，
第二类，不安排甲的车，每天都有种选择，共有种，共计，
根据分步计数原理，不同的用车方案种数共有.故选D.
4．【答案】A
【详解】5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色方法数为，有公共边的三角形为同色，先考虑中间一块涂色有5种方法，其他三个三角形在剩下的4色中任意涂色均可，方法为，所以所求概率为．
5．【答案】A
【详解】①若甲同学选择牛，则乙同学有种选择，丙同学有种选择，选法种数为，②若甲同学选择马，则乙同学有种选择，丙同学有种选择，选法种数为，综上，共有选法为种．
6.【答案】D
【详解】根据题意，可取的值为1、2、3、…25，
根据三角形的三边关系，有，
当时，有25≤＜26，则＝25，有1种情况，
当时，有25≤＜27，则＝25、26，有2种情况，
当时，有25≤＜28，则＝25、26、27，有3种情况，
当时，有25≤＜29，则＝25、26、27、28，有4种情况，
…
当时，有有25≤＜50，则＝25、26、27、28…49，有25种情况，
则符合条件的三角形共有1＋2＋3＋4＋…＋25＝．
二、填空题
7．【答案】
【详解】选2个班参加社会实践，这2个班不同年级，
2个班为高一和高二各一个班有，
2个班为高二和高三各一个班有，
2个班为高三和高一各一个班有，
所以不同的选法共有.
8．【答案】1535
【详解】除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，2张100元人民币的取法有不取、取一张和取二张3种情况，再减去这些人民币全不取的1种情况，所以共有种．
9．【答案】1560
【详解】解：分4步进行分析：
①，对于区域，有6种颜色可选；
②，对于区域，与区域相邻，有5种颜色可选；
③，对于区域，与、区域相邻，有4种颜色可选；
④，对于区域、，若与颜色相同，区域有4种颜色可选，
若与颜色不相同，区域有3种颜色可选，区域有3种颜色可选，
则区域、有种选择，
则不同的涂色方案有种.
10．【答案】98
【详解】当公差为时，数列可以是：，，，……，共13种情况.当公差为时，数列可以是：，，，……，共11种情况.当公差为时，数列可以是：，，，……，共9种情况.当公差为时，数列可以是：，，，……，共7种情况.当公差为时，数列可以是：，，，，，共5种情况.
当公差为时，数列可以是：，，，共3种情况.
当公差为时，数列可以是：，共1种情况.
总的情况是.又因为三个数成公差数列有两种情况，递增或递减，所以这样的等差数列共有个.
三、解答题
11．【详解】
（1）小华、小李两人共付费5元，所以小华、小李一人付费2元一人付费3元，付费2元的乘坐站数有1，2，3三种选择，付费3元的乘坐站数有4，5，6三种选择，所以小华、小李下地铁的方案共有种；
（2）小华、小李两人共付费6元，所以小华、小李一人付费2元一人付费4元或两人都付费3元，付费4元的乘坐站数也有7，8，9三种选择，因此小华、小李下地铁的方案共有种；其中小华比小李先下地铁的方案共有种；因此小华比小李先下地铁的概率为
12．【详解】（1）当末位数字是时，百位数字不是， 第一步，放百位有4种方法，
第二步，放剩余的三个位置有种，则共有个；
当末位数字是，首位数字是时，共有个；
当末位数字是时，首位数字是或或时，共有个；
故共有个．
（2）中有一个取时，有条；都不取时，有条；
与重复；，与重复．
故共有条．
明天
后天
周日
周一
周二
周三
4月24日
4月25日
4月26日
4月27日
4月28日
4月29日
优
优
优
优
良
良
乘坐站数
0＜x≤3
3＜x≤6
6＜x≤9
票价（元）
2
3
4
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