2024中考数学几何压轴专题训练-专题02三角形之直角、等腰问题（含解析）

这是一份2024中考数学几何压轴专题训练-专题02三角形之直角、等腰问题（含解析），共19页。
专题02三角形之直角、等腰问题
训练题01【2023·内蒙古·中考真题】
如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转，得到．连接，交于点D，则的值为 ．
训练题02【2023·山东菏泽·中考真题】
无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为，楼顶C点处的俯角为，已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度（结果保留根号）
训练题03【2023·广东·中考真题】
2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂，两臂夹角时，求A，B两点间的距离．(结果精确到，参考数据，，)

训练题04【2023·湖北黄冈·中考真题】
综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为 米．（结果保留根号）

训练题05【2023·河北沧州·模拟预测】
如图1，嘉淇在量角器的圆心处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点．
(1)在图1中，过点画出水平线，并标记观测的仰角．若铅垂线在量角器上的读数为，求的值；
(2)如图2，已知嘉淇眼睛离地米，站在处观测的仰角为（1）中的，向前走米到达处，此时观测点的仰角为，求树的高度．（注：，，）
训练题06【2023·四川成都·八年级期末联考】
如图，在等腰中，，，于点，点M，N分别是DE，DG上的动点，且，则的最小值为 ．

训练题07【2022·陕西西安·滨河期末】
如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为 ．
训练题08【2021·四川甘孜·中考真题】
如图，腰长为22的等腰ABC中，顶角∠A＝45°，D为腰AB上的一个动点，将ACD沿CD折叠，点A落在点E处，当CE与ABC的某一条腰垂直时，BD的长为 ．
训练题09【2022·福建泉州·九年级联考】
如图，和是等腰直角三角形，，的边，交边于点，．若，，则的值是 ．
训练题10【2021·宁夏固元·联考一模】
如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使得BD=2DC，连接AC，如果，则的值是（ ）
A．B．C．D．
题型训练
答案&解析
训练题01【2023·内蒙古·中考真题】
【答案】5
【简证】因为，故
【常规法】解：过点D作于点F，
∵，，，
∴，
∵将绕点A逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，即，
∵ ，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，，
∴，故答案为：5．
训练题02【2023·山东菏泽·中考真题】
【答案】大楼的高度为．
【分析】如图，过作于，过作于，而，则四边形是矩形，可得，，求解，，可得，，可得．
【详解】解：如图，过作于，过作于，而，

则四边形是矩形，∴，，
由题意可得：，，，，
∴，，
∴，∴，
∴，∴大楼的高度为．
训练题03【2023·广东·中考真题】
【答案】
【分析】连接，作作于D，由等腰三角形“三线合一”性质可知，，，在中利用求出，继而求出即可．
【详解】解：连接，作于D，

∵，，
∴是边边上的中线，也是的角平分线，
∴，，
在中，，，
∴，
∴
∴
答：A，B两点间的距离为．
训练题04【2023·湖北黄冈·中考真题】
【答案】/
【分析】过点E作于点M，过点F作于点N，首先证明出四边形是矩形，得到，然后根据等腰直角三角形的性质得到，进而得到，然后利用角直角三角形的性质和勾股定理求出，即可求解．
【详解】如图所示，过点E作于点M，过点F作于点N，

由题意可得，四边形是矩形，∴，∵，∴，
∵博雅楼顶部E的俯角为，∴，∴，∴，
∵点A是的中点，∴，由题意可得四边形是矩形，∴，
∵尚美楼顶部F的俯角为，∴，∴，∴，
∴在中，，∴，∴解得，
∴．故答案为：．
训练题05【2023·河北沧州·模拟预测】
【答案】(1)
(2)树的高度为5.25米
【分析】(1)根据互余的性质计算即可．
(2) 过点作，垂足为，则米．设米．解直角三角形求解即可．
【详解】（1）如图1；；

（2）如图，过点作，垂足为，则米．设米．
在中，（米），在中，（米），
（米），解得．
答：树的高度为米．
训练题06【2023·四川成都·八年级期末联考】
【答案】
【分析】过点作，使得，证得，利用全等三角形的性质证得，求的最小值即求的最小值，此时只有、、在一条直线上时，的最小，即为的长，在中利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点作，使得，如图所示，

∵等腰中，，，
∴，，
∴，
∵等腰中，，，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴求的最小值即求的最小值，此时只有、、在一条直线上时，的最小，即为的长，
∴在中，，
即的最小值为，
故答案为：
训练题07【2022·陕西西安·滨河期末】
【答案】4
【分析】过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PDPB，当C，P，D在同一直线上时，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论．
【详解】如图所示，过P作PD⊥AB于D，
∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，
令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，
∴A（0，﹣3），B（3，0），
∴AO＝BO＝3，
又∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴PDPB，
∴PC+PB（PCPB）（PC+PD），
当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，
此时，△ACD是等腰直角三角形，
又∵点C（0，1）在y轴上，
∴AC＝1+3＝4，
∴CDAC＝2，
即PC+PD的最小值为，
∴PC+PB的最小值为4，
故答案为：4．
训练题08【2021·四川甘孜·中考真题】
【答案】或2
【分析】分两种情况：当CE⊥AB时，设垂足为M，在Rt△AMC中，∠A＝45°，由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝22.5°，证明△BCM≌△DCM，得到BM＝DM，证明△MDE是等腰直角三角形，即可得解；当CE⊥AC时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的判定与性质计算即可；
【详解】当CE⊥AB 时，如图，
设垂足为M，在Rt△AMC中，∠A＝45°，
由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝22.5°，
∵等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝67.5°，
∴∠BCM＝22.5°，
∴∠BCM＝∠DCM，
在△BCM和△DCM中，
，
∴△BCM≌△DCM（ASA），
∴BM＝DM，
由折叠得：∠E＝∠A＝45°，AD＝DE，
∴△MDE是等腰直角三角形，
∴DM＝EM，
设DM＝x，则BM＝x，DEx，
∴ADx．
∵AB＝22，
∴2xx＝22，解得：x，
∴BD＝2x＝2；
当CE⊥AC时，如图，
∴∠ACE＝90°，
由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝45°，
∵等腰△ABC中，顶角∠A＝45°，
∴∠E＝∠A＝45°，AD＝DE，
∴∠ADC＝∠EDC＝90°，即点D、E都在直线AB上，且△ADC、△DEC、△ACE都是等腰直角三角形，
∵AB＝AC＝＝22，
∴ADAC＝2，
BD＝AB﹣AD＝（22）﹣（2），
综上，BD的长为或2．
故答案为：或2．
训练题09【2022·福建泉州·九年级联考】
【答案】
【分析】利用等腰直角三角形的性质先证明，可得,设，则,再证明，可得，可得，从而可得结论．
【详解】解：∵和是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴,而，，
∴,
设，则,
同理可得：，
∴,
∴,
∴,
∴,即，
∴.
训练题10【2021·宁夏固元·联考一模】
【答案】D
【详解】解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，
∵，即，
∴设AD＝5x，则AB＝3x，
∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，
∴△CDE∽△BDA，
∴，
∴CE＝，DE＝，
∴AE＝，∴tan∠CAD＝．