2023-2024学年河北省张家口市张垣联盟高二（上）段考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省张家口市张垣联盟高二（上）段考数学试卷（12月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知点A(2,4)在抛物线C：y2=2px上，则点A到抛物线C的准线的距离为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
2.已知A(2,1)，B(−4,a)两点到直线l：x−y+2=0的距离相等，则a=( )
A. 1B. −5C. 1或−5D. 1或−8
3.双曲线x2−y23=1经过一、三象限的渐近线的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. 5π6D. 2π3
4.若方程x2m+3+y2m−6=1表示双曲线，则m的取值范围是( )
A. m<−3或m>6B. −3C. m<−6或m>3D. −65.四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若AE=xAB+12yBD+12zAP，则xyz=( )
A. 1
B. 2
C. 12
D. 32
6.在抛物线x2=4y上有三点A，B，C.F为其焦点，且F为△ABC的重心，则|AF|+|BF|+|CF|=( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
7.若点P(1,−1)为圆x2+y2−6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为( )
A. 2x+y+1=0B. 2x+y−1=0C. x+2y−3=0D. 2x+y−3=0
8.已知两点A(−1,5)，B(0,0)，若直线l：(k+1)x−(2k−2)y+2k−6=0与线段AB有公共点，则直线l斜率的取值范围为( )
A. [−1,1]B. (−∞,−1]∪[1,+∞)
C. (−∞,−1]∪[0,1]D. [−1,0]∪[1,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对抛物线y=−8x2，下列描述正确的是( )
A. 开口向下，准线方程为y=132B. 开口向下，焦点为(0,−132)
C. 开口向左，焦点为(−132,0)D. 开口向左，准线方程为x=−132
10.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在E上，若椭圆上有4个点使得∠F1PF2=π2，则E的离心率可以是( )
A. 12
B. 22
C. 32
D. 53
11.若P是双曲线C：x2−y2=2上一点，F1，F2为C的左、右焦点，则下列结论中正确的是( )
A. 双曲线的实轴长为 2
B. 若PF1⋅PF2=0，则三角形PF1F2的周长为4+2 6
C. |PF2|的最小值是2− 2
D. 双曲线的焦点到渐近线的距离是2
12.已知点P，Q分别在圆O：x2+y2=4和圆M：x2+y2−10x+24=0上.则( )
A. |PQ|的最小值为3
B. |PQ|的最大值为8
C. 若PQ成为两圆的公切线，方程可以是3x+4y−10=0
D. 若PQ成为两圆的公切线，方程可以是12x−5y−26=0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.双曲线x264−y216=1的焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若|PF1|=5，则|PF2|= ______．
14.已知圆M与圆C1：(x+5)2+y2=25和圆C2：(x−5)2+y2=9一个内切一个外切，则点M的轨迹方程为______．
15.已知抛物线C：y2=8x，一条平行于x轴的光线l1从点M(8,2)射入，经过C上的点A反射后，再经过C上的另一点B，则B的坐标为______．
16.几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段.某同学在画“切面圆柱体”(用不平行于圆柱底面的平面去截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面所在平面与底面成45°角，则该椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)经过点( 5,−2)，且与双曲线y24−x2=1具有相同的渐近线；
(2)与椭圆x24+y2=1共焦点，且过点P(2,1)．
18.(本小题12分)
菱形ABCD的顶点A、C的坐标分别为A(−1,−1)、C(9,−13)，BC边所在直线过点P(4,−3)．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求对角线BD所在直线的方程．
19.(本小题12分)
数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,−2)，且△ABC的欧拉线的方程为2x+3y−2=0，若△ABC外接圆圆心记为M．
(1)求圆M的方程；
(2)过点P(5,6)引圆M的切线，求切线的长．
20.(本小题12分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线E：6x2−12y2=1的一个焦点重合．
(1)求C的方程；
(2)若直线l：y=x−2与C相交于A，B两点，求|AB|．
21.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=4．
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)若AB=BC=4，在线段PD上是否存在点E，使平面PAB与平面ACE夹角的余弦值为 66？若存在，找出点E的位置；若不存在，请说明理由．
22.(本小题12分)
以双曲线x2−y2=1的顶点为焦点，离心率倒数的平方为离心率作一椭圆C．
(1)求C的标准方程；
(2)已知F1为C的左焦点，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点(M在N上方)，且MF1=λF1N，若13<λ≤12，求l斜率的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为A(2,4)在抛物线C：y2=2px上，
所以16=4p，解得p=4，
故抛物线C的准线为x=−2，
所以点A到抛物线C的准线的距离为2−(−2)=4．
故选：B．
先根据点A在抛物线上，求出p=4；再根据抛物线的定义即可得出答案．
本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为A(2,1)，B(−4,a)两点到直线l：x−y+2=0的距离相等，
所以|2−1+2| 12+(−1)2=|−4−a+2| 12+(−1)2⇒|a+2|=3⇒a=1或a=−5．
故选：C．
利用点到直线的距离求解．
本题考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由x2−y23=1，
得a=1，b= 3，则双曲线的渐近线方程为y=± 3x，
经过一、三象限的渐近线方程为y= 3x，
其倾斜角为π3．
故选：B．
由双曲线方程先求得双曲线的渐近线，进而求得答案．
本题考查双曲线的几何性质，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由题意得(m+3)(m−6)<0，
解得−3故选：B．
根据题意，由(m+3)(m−6)<0求解．
本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：依题意AC=AB+AD，
所以AE=12(AP+AC)=12AP+12(AB+AD)=AB+12BD+12AP，
由于AE=xAB+12yBD+12zAP，
则x=1，y=1，z=1，xyz=1．
故选：A．
直接利用向量的线性运算求出结果．
本题考查知识点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由题意抛物线x2=4y上有三点A，B，C.F为其焦点，且F为△ABC的重心，
故AF=23×12(AB+AC)=13(AB+AC)，∵抛物线x2=4y，F为其焦点，∴F(0,1)，
设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，
∴AC=(x3−x1,y3−y1)，AB=(x2−x1,y2−y1)，AF=(−x1,1−y1)，
又AF=13(AB+AC)，∴1−y1=13(y2−y1+y3−y1)，可得y1+y2+y3=3，
∴|AF|+|BF|+|CF|=y1+y2+y3+3=6．
故选：A．
求出焦点坐标，设出三点坐标，利用重心的性质，结合抛物线的定义，转化求解即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，是中档题．
7.【答案】B
【解析】解：设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则x12+y12−6x1=0,x22+y22−6x2=0．
两式作差可得x12−x22+y12−y22−6x1+6x2=0，
即(x1+x2)(x1−x2)+(y1+y2)(y1−y2)−6(x1−x2)=0．
又∵P(1,−1)是MN的中点，
则x1+x2=2，y1+y2=−2，
∴2(x1−x2)−2(y1−y2)−6(x1−x2)=0，即−4(x1−x2)−2(y1−y2)=0．
∴kMN=y1−y2x1−x2=−2，
∴直线MN的方程为y+1=−2(x−1)，即2x+y−1=0．
经检验，符合题意．
故弦MN所在直线的方程为：2x+y−1=0．
故选：B．
先利用点差法、中点坐标公式及斜率公式求出kMN；再根据点斜式方程即可解答．
本题主要考查双曲线的性质，考查点差法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：由直线l：(k+1)x−(2k−2)y+2k−6=0，
变形可得(x−2y+2)k+x+2y−6=0，由x−2y+2=0x+2y−6=0，解得x=2y=2，
可得直线l恒过定点P(2,2)，
则kPA=5−2−1−2=−1,kPB=2−02−0=1，
若直线l与线段AB有公共点，则直线l斜率的取值范围为[−1,1]．
故选：A．
求出直线l：(k+1)x−(2k−2)y+2k−6=0恒过的定点，根据斜率公式即可求解．
本题考查直线的斜率的求法及直线与线段有交点时直线斜率的求法，属于基础题．
9.【答案】AB
【解析】解：由题设，抛物线可化为x2=−18y，
∴开口向下，焦点为(0,−132)，准线方程为y=132.所以A、B正确，C、D错误．
故选：AB．
先化为标准方程，求得焦点坐标和准线方程即可判断选项．
本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：设|PF1|=x，|PF2|=y，
则x+y=2a①，又∠F1PF2=π2，∴x2+y2=(2c)2②，
易知x2+y22≥(x+y2)2=a2，
②除以①的平方得：x2+y2(x+y)2=(2c)2(2a)2=e2，
∴e2=x2+y2(x+y)2≥12，即e≥ 22或e≤− 22(舍去)，
当且仅当x=y=a时，等号成立，这时有2个点使得∠F1PF2=π2，故舍去e= 22，
又0∴ 22故选：CD．
根据椭圆的几何性质，重要不等式，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，重要不等式的应用，属中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：对于A，由双曲线C：x2−y2=2得C：x22−y22=1，则a2=2，即a= 2，故双曲线实轴长为2 2，故A错误；
对于B，由c2=a2+b2=4，即a= 2,b= 2,c=2，设|PF1|=m，|PF2|=n，因为PF1⋅PF2=0，
则PF1⊥PF2，所以m2+n2=16|m−n|=2 2，解得m+n=2 6，则△PF1F2的周长为4+2 6，故B正确；
对于C，易知|PF2|min=c−a=2− 2，故C正确；
对于D，由选项A知，双曲线焦点为(±2,0)，渐近线为y=±x，即x±y=0，
所以焦点到渐近线的距离为 2，故D错误．
故选：BC．
由双曲线方程可直接得到a；由a，b，c的关系和向量垂直得到m+n=2 6，再确定周长即可；由双曲线的意义可直接确定C；由渐近线方程和点到直线的距离可确定D．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：圆O：x2+y2=4的圆心坐标O(0,0)，半径r=2
圆M：x2+y2−10x+24=0，即(x−5)2+y2=1的圆心坐标M(5,0)，半径R=1，
∴圆心距|OM|=5>r+R=3，所以两圆外离，
又∵P在圆O上，Q在圆M上
则|PQ|的最小值为|PQ|min=|OM|−R−r=2，最大值为|PQ|max=|OM|+R+r=8.故A错误，B正确；
因为O到直线12x−5y−26=0的距离d=|−26| 122+52=2，故直线与圆相切，
所以12x−5y−26=0是圆O的切线，
由于点M到直线12x−5y−26=0的距离d=|12×5−26| 122+52=3413≠1，故D错误．
因为O到直线3x+4y−10=0的距离d=2，点M到直线3x+4y−10=0的距离d=|3×5−0−10|5=1，所以两圆相交，所以3x+4y−10=0是两圆的公切线．故C正确；
故选：BC．
直接利用圆与圆的位置关系和圆的公切线，以及点到直线的距离公式判定A、B、C、D的结论．
本题考查：圆与圆的位置关系，点到直线的距离公式，圆的公切线，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
13.【答案】21
【解析】解：由x264−y216=1，得a2=64，得a=8．
因为||PF1|−|PF2||=2a=16，|PF1|=5，
所以5−|PF2|=16或5−|PF2|=−16，
解得|PF2|=−11(舍去)或|PF2|=21．
故答案为：21．
先根据双曲线方程得a；再根据双曲线的定义列出关系式求解即可．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】x216−y29=1
【解析】解：设动圆圆心M(x,y)，半径为r，
当圆M与圆C1：(x+5)2+y2=25外切，与圆C2：(x−5)2+y2=9内切时，|MC1|=r+5，|MC2|=r−3，
当圆M与圆C1：(x+5)2+y2=25内切，与圆C2：(x−5)2+y2=9外切时，|MC1|=r−5，|MC2|=r+3，
∴||MC1|−|MC2||=8<10，
∴点M的轨迹是以点C1，C2为焦点的双曲线，且a=4，c=5，
∴b2=c2−a2=9，
∴动圆圆心M的轨迹方程为x216−y29=1．
故答案为：x216−y29=1．
分类讨论，结合双曲线的定义，可得点M的轨迹是以点C1，C2为焦点的双曲线，从而可得双曲线的标准方程．
本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，掌握双曲线的定义域性质是关键，是中档题．
15.【答案】(8,−8)
【解析】解：光线l1平行于x轴，从点M(8,2)射入，则有A(12,2)，
根据抛物线性质，直线AB过抛物线焦点，抛物线C的焦点为F(2,0)，
直线AF的斜率为2−012−2=−43，则直线AF的方程为y=−43(x−2)，
代入抛物线C的方程解得x=12y=2或x=8y=−8，可得B的坐标为(8,−8)．
故答案为：(8,−8)．
由入射光线平行于x轴得A点坐标，再由反射光线过焦点，求出反射光线所在直线方程，与抛物线联立求出B的坐标．
本题主要考查抛物线的性质．考查计算能力，属于基础题．
16.【答案】 22
【解析】解：如图所示：
切面与底面的二面角的平面角为∠BAM，
设圆半径为r，则AM=2r,AB=2 2r,CD=2r.2a=2 2r,2b=2r，
故a= 2r,b=r,c= a2−b2=r，所以e=ca= 22．
故答案为： 22．
作出图形，根据椭圆的几何性质，数形结合，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
17.【答案】解：(1)因为所求双曲线与双曲线y24−x2=1具有相同的渐近线，
故设要求双曲线的标准方程为y24−x2=m(m≠0)，
代入点( 5,−2)，得m=44−5=−4，
则双曲线的方程为x24−y216=1；
(2)椭圆x24+y2=1的焦点坐标为(± 3,0)，在x轴上．
所以设所求双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)．
则22a2−12b2=1c= 3a2+b2=c2，解得：a= 2b=1，
即所求方程为：x22−y2=1．
【解析】(1)由同渐近线的双曲线方程的关系设要求双曲线的标准方程为y24−x2=m(m≠0)，即可代点求得m，得出其方程．
(2)根据已知得出焦点坐标为(± 3,0)，在x轴上，设出所求方程，根据双曲线定义列式解出a，b，即可得到答案．
本题主要考查双曲线标准方程的求解，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由菱形的性质可知BC/​/AD，
则kAD=kBC=kCP=−3+134−9=−2，
所以AD边所在直线的方程为y+1=−2(x+1)，
即2x+y+3=0；
(2)由题意可得线段AC的中点为E(4,−1)，
由菱形的几何性质可知，BD⊥AC，且E为BD的中点，
则kBD=−1kAC=56，
因此对角线BD所在直线的方程为y+7=56(x−4)，
即5x−6y−62=0．
【解析】(1)由菱形的性质可得BC/​/AD，即直线BC，AD的斜率相等，求出直线CP，即直线BC的斜率，进而可得AD边所在的直线的方程；
(2)求出AC的中点，再由菱形的对角线相互垂直，可得BD所在的直线方程．
本题考查菱形的性质的应用及两条直线平行，垂直的充要条件的应用，属于基础题．
19.【答案】解：(1)因A(2,0)，B(0,−2)，则AB的中点为(1,−1)，
又kAB=−2−00−2=1，则AB的中垂线方程为x+y=0．
将其与欧拉线方程联立有x+y=02x+3y−2=0，解得x=−2y=2，
故△ABC的外心为M(−2,2)，则△ABC外接圆半径为r=|MA|= (−2−2)2+22= 20，
故圆M的方程为(x+2)2+(y−2)2=20．
(2)设切点为Q，由题有|PQ|2=|PM|2−|QM|2=(5+2)2+(6−2)2−20=49+16−20=45，
故切线的长为3 5．
【解析】(1)先求得线段AB的中垂线方程，再与欧拉线方程联立求得圆心即可；
(2)利用圆的切线长公式求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵双曲线E：6x2−12y2=1，即E：x216−y2112=1，
可得a2=16，b2=112，∴c2=a2+b2=16+112=14，即c=12，
焦点坐标为(±12,0)，
又抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F(p2,0)，
∴p2=12，即p=1．
∴抛物线C的方程为y2=2x；
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=x−2y2=2x，整理可得：y2−2y−4=0，
Δ=20>0，则y1y2=−4，y1+y2=2，
∴|AB|= 1+112|y1−y2|= 2 (y1+y2)2−4y1y2= 2× 20=2 10．
【解析】(1)求出双曲线的焦点坐标，即可确定抛物线焦点，求得p，即可求得答案；
(2)联立抛物线和直线方程，可得根与系数的关系式，利用弦长公式，即可求得答案．
本题考查抛物线的方程的求法及直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)证明：因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥AB，
又因为PB⊥BC，PB，AB⊂平面PAB，AB∩PB=B，
故BC⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，
故BC⊥PA，同理可得PA⊥CD，BC∩CD=C，BC，CD⊂平面ABCD，
故PA⊥平面ABCD；
(2)以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(0,0,0)，B(4,0,0)，P(0,0,4)，C(4,4,0)，D(0,4,0)
设PE=λPD=λ(0,4,−4)，则E(0,4λ,4−4λ)，λ∈[0,1]，
设平面ACE的一个法向量是n2=(x,y,z)，
则n2⋅AC=(x,y,z)⋅(4,4,0)=4x+4y=0n2⋅AE=(x,y,z)⋅(0,4λ,4−4λ)=4yλ+4z−4zλ=0，
取x=1，则y=−1，x=λ1−λ，
所以平面ACE的一个法向量为n2=(1,−1,λ1−λ)，
又平面PAB的一个法向量是n1=(0,1,0)，
|cs|=|n1⋅n2||n1|⋅|n2|=11× 1+1+(λ1−λ)2= 66.解得λ=23．
即存在点E满足条件，E是PD上靠近点D的三等分点．
【解析】(1)由已知可得BC⊥平面PAB，进而得BC⊥PA，PA⊥CD，可证结论成立；
(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系．设PE=λPD，求得平面PAB的一个法向量与平面ACE的一个法向量，利用向量法可求λ的值，可得存在点E，使平面PAB与平面ACE夹角的余弦值为 66．
本题考查线面垂直的证明，考查判断符合条件的点是否存在，考查向量法在解立体几何中的应用，属中档题．
22.【答案】解：(1)∵双曲线x2−y2=1的顶点为(−1,0)，(1,0)，
∴C的焦点为(−1,0)，(1,0)，
又双曲线的离心率为 2，∴C的离心率为12，
设椭圆C的焦距为2c，则c=1，
依题意，ca=12，∴a=2，
∵a2=b2+c2，
∴b2=4−1=3
∴b= 3，
故椭圆C的标准方程为：x24+y23=1．
(2)由题意及(1)得
在椭圆C：x24+y23=1中，F1(−1,0)，
过F1的直线与椭圆C交于M，N两点(M在N上方)，
且MF1=λF1N,13<λ≤12，
当直线C斜率不存在时|MF1|=|NF1|，显然不成立，
当直线C斜率存在时设l方程为y=k(x+1)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由MF1=λF1N得y1=−λy2①
联立x24+y23=1y=k(x+1)，消去x得(3+4k2)y2−6ky−9k2=0；
∴Δ>0，y1+y2=6k3+4k2②，且y1y2=−9k23+4k2③，
由①②得：y1=−6λk(4k2+3)(1−λ)y2=6k(4k2+3)(1−λ)，
代入③中得：−9k23+4k2=−36λk2(3+4k2)2(1−λ)2，
∵当k=0时，λ=13不成立，
∴k2=λ(1−λ)2−34=1λ+1λ−2−34(13<λ≤12)，
令t=λ+1λ，13<λ≤12，则在λ∈(0,1]是减函数，
∴t∈[52,103),
∴t−2∈[12,43),
∴1t−2∈(43,2],
∴0∵M在N上方，
∴k∈[− 52,0)．
【解析】(1)利用已知条件，得出a，b的值即可；
(2)k不存在时|MF1|=|NF1|，显然不成立，斜率存在时设l方程为y=k(x+1)，与双曲线联立，用λ表示k，利用单调性求范围即可．
本题考查双曲线，椭圆性质的应用，属于难题．