北京市昌平区融合学区（第三组）2023+-+2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份北京市昌平区融合学区（第三组）2023+-+2024学年九年级上学期期中数学试题，共14页。试卷主要包含了10等内容，欢迎下载使用。

数学试卷
2023.10
本试卷共6页，三道大题。28个小题，满分100分，考试时间120分钟。考生务必将答案填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，请交回答题卡.
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
下列各题均有4个选项，其中只有一个是符合题意的.
1.下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）
A.B.
C.D.
2.下列长度的各组线段中，是成比例线段的是（ ）
A.1cm，2cm，3cm，4cmB.1cm，2cm，3cm，6cm
C.2cm，4cm，8cm，8cmD.3cm，4cm，5cm，10cm
3.若函数是关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A.-3B.3C.3或-3D.2
4.若二次函数的图象过，，，则，，的大小关系是（ ）
A.B.
C.D.
5.如图，在中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且，，若，则的值为（ ）
A.B.C.D.
6.如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，，连接AE交BD于点F，则与的面积之比为（ ）
A.2：5B.3：5C.9：25D.4：25
7.大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《熙经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”、如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A.B.6C.D.8
8.二次函数（a、b、c为常数，）的x与y的部分对应值如下表：
下列各选项中，正确的是（ ）
A.这个函数的图象开口向下B.
C.这个函数的最大值为10D.关于x的一元二次方程无解
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9.将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的抛物线的表达式为________________.
10.五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐.如图，A，B，C为直线与五线谱的横线相交的三个点，则__________.
11.写出一个二次函数，其图象满足：（1）开口向下；（2）与y轴交于点（0，3），这个二次函数的表达式可以是____________.
12.已知点C是线段AB的黄金分割点，若线段AB的长10cm，则线段AC的长为____________（结果保留根号）
13.如图所示是二次函数的部分图象，根据图象可知，关于x的一元二次方程的解是____________.
14.如图，在中，，，点D为AC中点，点E在AB上，当_________时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似.
15.如图AD是的中线，E是AD上一点，且，CE的延长线交AB于点F，若，则__________.
16.已知二次函数的图象如图所示.则有以下结论：①；②；③；④；⑤对于任意实数，总有.其中正确的结论是______________.（填序号）
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分）.
17.如图，在中，，点D在AC上，于点E，
（1）求证：；
（2），且，求AE的长.
18.线段a、b、c，且.
（1）求的值；
（2）如线段a、b、c满足，求的值.
19.已知二次函数.
（1）求该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，并画出函数图象；
（2）结合函数图象，直接写出时x的取值范围.
20.如图，在中，D为BC上一点，.
（1）求证：；
（2）若，，求CD的长.
21.网格中每个小正方形的边长都是1.
（1）在图1中画一个格点，使，且相似比为2：1；
（2）在图2中画一个格点，使，且相似比为.
22.如图，A是直线MN上一点，，过点B作于点D，过点C作于点E.
（1）求证：；
（2）若，，求CE的长.
23.为了测量水平地面上一栋建筑物AB的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：先在水平地面上放置一面平面镜，并在镜面上做标记点C，后退至点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜面上的标记点C重合，法线是FC，小军的眼睛与地面距离DE是1.65m，BC、CD的长分别为60m、3m，求建筑物AB的高度.
24.抛物线
（1）求证：无论m为何值，这条抛物线都与x轴至少有一个交点；
（2）求它与x轴交点坐标A，B和与y轴的交点C的坐标；（用含m的代数式表示点坐标）
（3），求抛物线的表达式.
25.材料1：昌平南环大桥是经典的悬索桥，当今大跨度桥梁大多采用此种结构.此种桥梁各结构的名称如图1所示，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相应的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合地物线
材料2：如图2，某一同类型悬索桥，两桥塔，间距，桥面AB水平，主索最低点为点P.点P距离桥面为2m.
图1
图2
（1）建立适当的平面直角坐标系，并求出主索抛物线的表达式：
（2）若距离点P水平距离为8m处有两条吊索需要更换，求这两条吊索的总长度.
26.在平面直角坐标系中，已知抛物线，，是此抛物线上的两点.
（1）若，
①求抛物线顶点坐标；
②若，求的值；
（2）若存在实数，使得，且成立，则m的取值范围是________.
27.如图，在等边中，作，边CD、BD交于点D，连接AD.
（1）请直接写出的度数
（2）求的度数；
（3）用等式表示线段AC、BD、CD三者之间的数量关系，并证明.
28.城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点和，用以下方式定义两点间距离：.

图① 图②
（1）①已知点，则___________.
②函数的图象如图①所示，B是图象上一点，，求点B的坐标.
（2）函数的图象如图②所示，D是图象上一点，求的最小值及对应的点D的坐标.
2023-2024学年第一学期昌平区融合学区（第三组）
初三年级期中质量抽测
数学试卷参考答案及评分标准
2023.10
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）
17.（1）证明：【详解】∵于点E，，
∴.
∵，∴.
（2）∵.∴，，
解得，.
18.解：（1）∵，∴.∴.
（2）设，则，，，
∵，∴，解得.
∴，，，
∴.
19.解：（1）∵，
∴顶点为（1，-4），对称轴为.
（2）.
20.（1）证明：∵，，∴.
（2）解：设，
∵，
∴.∴
解得：
即.
21.（1）∴为所求.
（2）∴为所求.
22.（1）∵，∴，
∵，∴.
∵，∴.∴.
（2）在中，，.
由勾股定理得，，
∵，∴.∴.∴.
23.解：根据题意，易得，，
则.
∴.
即.
解得：（米）
答：建筑物AB的高度为33米.
24.（1）∵，
∵，
∴无论m为何值这条抛物线都与x轴至少有一个交点.
（2）∵令得：，∴点C的坐标为.
∵令得；，解得：或，
∴，或者，
（3）由上题可得，，
∵，∴.
∴.则，①或.②
解方程①得：，.方程②无解，舍.
∴当时，；当时，.
25.解：（1）如图，以点A为坐标原点，直线为x轴，为y轴建立平面直角坐标系.
∴由题意知，，，，.
则设该抛物线解析式为.
将D（0，10）代入，
得：.
解得：.
∴该抛物线表达式为.
（2）∵距离点P水平距离为8m处有两条吊索需要更换，
∴所需更换的点的横坐标为16-8=8或16+8=24.
将代入，得.
代入，得.
∴4+4=8（m）
答：这两条吊索的总长度为8厘米.
解：（1）①∵
∴.
∴抛物线顶点坐标为（1，-1）.
②∵，是此抛物线上的两点，
∴，，
又∵，∴，
解得，
将代入原方程，得.
（2）.
27.（1）=.
解：（2）∵，，
∴.∴.
∵，∴.
∴.
（3）线段AC、BD、CD三者之间的数量关系为.
证明：如图，延长CD到点E，使，连接AE.备用图
备用图
∵，∴.备用图
∵，∴.
在和中，
∴.
∴，.
∵，∴，.
∴.∴.
（备注：三者之间的关系还可以是：等也可以，证明过程酌情给分.）
28.（1）①3.
解：②∵点B是函数的图象点，
∴，，.
∵，∴.∴.
∵，
∴，解得：，
∴B点坐标为（1，2）.
函数化为顶点式为：，
∴.
∵，点是图象上一点，
∴，，.
∴.
∴.
∴.
∴当时，有最小值，最小值为.
∴，
∴.
即最小值为3，D点坐标为（2，1）.
…
0
1
2
3
4
…
…
2
1
2
5
10
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
A
D
B
C
C
D
题号
9
10
11
12
答案
2
（不唯一）
题号
13
14
15
16
答案
，.
3或
6
①③⑤