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数学七年级下册12.2 证明同步训练题
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这是一份数学七年级下册12.2 证明同步训练题，共19页。试卷主要包含了5°C．112等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
本试卷满分100分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下面命题：①同位角相等；②对顶角相等；③若x2＝y2，则x＝y；④互补的角是邻补角．其中正确命题有（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．下列命题中是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行
C．若a∥b，a⊥c，那么b⊥c D．相等的角是对顶角
3．下列语句是命题的是（ ）
A．你喜欢数学吗？B．小明是男生
C．大庙香水梨D．出门戴口罩
4．下列命题为假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．同位角相等
C．互补的两个角不一定相等 D．两点之间，线段最短
5．如图，下列条件：①∠1＝∠5；②∠2＝∠6；⑧∠3＝∠7；④∠4＝∠8．其中能判定AB∥CD的是（ ）
A．①②B．②③C．①④D．②④
6．如图，点E、F分别是AB、CD上的点，点G是BC的延长线上一点，且∠B＝∠DCG＝∠D，则下列判断不一定成立的是（ ）
A．AB∥CDB．AD∥BG
C．∠B＝∠AEFD．∠BEF+∠EFC＝180°
7．如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，∠BAC＝90°，DE∥AC．则结论：①FG∥AD；②DE平分ADB；③∠B＝∠ADE；④∠CFG+∠BDE＝90°．正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
8．一副三角板如图方式摆放，BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，则∠BMD的度数为（ ）
A．102°B．107.5°C．112.5°D．115°
9．下面是投影屏上出示的解答题，需要回答横线上符号代表的内容．
下列选项错误的是（ ）
A．代表64°B．代表∠DBE
C．在代表∠DBED．代表∠CBE
10．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：
①AD∥BC；②∠BDC∠BAC；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④BD平分∠ADC．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
11．“你喜欢数学吗？”这句话 命题．（填“是”或者“不是”）
12．用一个a的值说明命题“如果a2≥1，那么a≥1”是错误的，这个值可以是a＝ ．
13．对于命题“如果a＝b，那么ac＝bc．”，它的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
14．“等角的补角相等”的条件是 ，结论是 ．
15．如图，下列能判定AB∥CD的条件有 个．
①∠B+∠BAD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠BAD＝∠5．
16．如图，点E是BA延长线上一点，在下列条件中：①∠1＝∠3；②∠5＝∠B；③∠1＝∠4且AC平分∠DAB；④∠B+∠BCD＝180°，能判定AB∥CD的有 ．（填序号）
17．对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，
①可以四个角都是锐角；
②至少有两个角是锐角；
③至少有一个角是钝角；
④最多有三个角是钝角；
所有正确结论的序号是 ．
18．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2017BC和∠A2017CD的平分线交于点A2018，则∠A2018＝ 度．
三、解答题（本大题共8小题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．命题“绝对值相等的两个数互为相反数”．
（1）将这命题改写成“如果…那么…”的形式
（2）写出这命题的题设和结论．
（3）判断该命题的真假
20．判断下列命题的真假，并给出证明
（1）两个锐角的和是钝角；
（2）若a＞b，则a2＞b2；
21．已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．
求证：∠1+∠4＝180°．
请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，（已知）
∴∠1∠ABC，∠2∠ADC．（ ）．
∵∠ABC＝∠ADC，（ ）
∴∠1＝∠2（ ）．
∵∠1＝∠3（已知）
∴∠2＝∠ ．（等量代换）
∴AB∥CD，（ ）．
∴∠1+∠4＝180°．（ ）
22．如图，从①∠1＝∠2②∠C＝∠D③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．
（1）这三个命题中，真命题的个数为 ；
（2）选择一个真命题，并且证明，（要求写出每一步的依据）
如图，已知 ，
求证：
证明：
23．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度数；
（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．
24．阅读下面内容，并解答问题．
在学习了平行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．
小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．
已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．求证： ．
（1）请补充要求证的结论，并写出证明过程；
（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择 题．
A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为 ．
B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为 ．
25．已知，如图1，射线PE分别与直线AB、CD相交于E、F两点，∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM＝α，∠EMF＝β，且|β﹣30|＝0．
（1）α＝ °，β＝ °；直线AB与CD的位置关系是 ；
（2）如图2，若点G是射线MA上任意一点，且∠MGH＝∠PNF，试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3），分别与AB、CD相交于点M1和点N1时，作∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
26．已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．
（1）如图1，求证：∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；
（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠CDE∠ADC，∠CBE∠ABC，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．
如图，直线EF∥直线GH，在Rt△ABC中，∠C＝90°，顶点A在GH上，顶点B在EF上，且BA平分∠DBE，若∠CAD＝26°，求∠BAD的度数．
解：∵∠C＝90°，∠CAD＝26°，
∴∠ADC＝．
∵直线EF∥直线GH，
∴＝∠ADC＝64°．
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE＝＝32°．
∵直线EF∥直线GH，
∴∠BAD＝＝32°．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．A
【分析】根据平行线的性质、对顶角、等式的性质和邻补角判断解答即可．
【解析】①两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；
②对顶角相等，是真命题；
③若x2＝y2，则x＝y或x＝﹣y，原命题是假命题；
④互补的角不一定是邻补角，原命题是假命题；
2．D
【分析】根据平行线的性质和判定以及对顶角判断即可．
【解析】A、两直线平行，同旁内角互补，是真命题，不符合题意；
B、同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意；
C、若a∥b，a⊥c，那么b⊥c，是真命题，不符合题意；
D、相等的角不一定是对顶角，，∠1和∠2是相等，但不是对顶角，是假命题，符合题意；
3．B
【分析】根据命题的概念作答．
【解析】A、你喜欢数学吗？是疑问句，没有对事情做出判断，不是命题，不符合题意；
B、小明是男生是命题，符合题意；
C、大庙香水梨是陈述性的句子，没有做出判断，不是命题，不符合题意；
D、出门戴口罩是陈述性的句子，没有做出判断，不是命题，不符合题意；
4．B
【分析】根据对顶角相等、平行线的性质、补角的概念、线段的性质判断即可．
【解析】A、对顶角相等，是真命题；
B、∵两直线平行，同位角相等，
∴本选项说法是假命题；
C、互补的两个角不一定相等，是真命题；
D、两点之间，线段最短，是真命题；
5．C
【分析】根据平行线的判定方法对四个条件分别进行判断即可．
【解析】①∵∠1＝∠5，
∴AB∥CD，能判定AB∥CD；
②∵∠2＝∠6，
∴AD∥BC，不能判定AB∥CD；
③∵∠3＝∠7；
∴AD∥BC，不能判定AB∥CD；
④∵∠4＝∠8，
∴AB∥CD，能判定AB∥CD．
6．C
【分析】根据平行线的判定推出AB∥DC，AD∥BG，再根据平行线的性质逐个判断即可．
【解析】A、∵∠B＝∠DCG＝∠D，
∴AB∥DC，AD∥BG，正确，故本选项不符合题意；
B、∵∠B＝∠DCG＝∠D，
∴AB∥DC，AD∥BG，正确，故本选项不符合题意；
C、根据AB∥DC，AD∥BG不能推出EF∥BC，所以不能推出∠B＝∠AEF，错误，故本选项符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFC＝180°，正确，故本选项不符合题意；
7．C
【分析】利用垂直的定义和平行线的判定定理可判断①，利用角平分线的定义可判断②，由垂直的性质，等量代换可判断③，利用垂直的定义和互余的定义可判断④．
【解析】∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴∠FGD＝∠ADB＝90°，
∴FG∥AD，
故①正确；
∵DE∥AC，∠BAC＝90°，
∴DE⊥AB，
不能证明DE为∠ADB的平分线，
故②错误；
∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠BAD+∠ADE＝90°，
∴∠B＝∠ADE，
故③正确；
∵∠BAC＝90°，DE⊥AB，
∴∠CFG+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，∠C+∠B＝90°，
∴∠CFG+∠BDE＝90°，
故④正确，
综上所述，正确的选项①③④，
8．C
【分析】根据三角形内角和和角平分线的定义解答即可．
【解析】∵BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，
∴∠MBD，∠BDM，
∴∠BMD＝180°﹣∠MBD﹣∠BDM＝180°﹣30°﹣37.5°＝112.5°，
9．D
【分析】利用三角形内角和定理可得∠ADC的度数，再利用平行线的性质及角平分线的定义可得答案．
【解析】∵∠C＝90°，∠CAD＝26°，
∴∠ADC＝64°．
∵直线EF∥直线GH，
∴∠DBE＝∠ADC＝64°．
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE∠DBE＝32°．
∵直线EF∥直线GH，
∴∠BAD＝∠ABE＝32°．
10．C
【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，依据三角形的外角性质以及平行线的性质，即可得到正确结论．
【解析】∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，即①正确；
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACF
∴∠DCF∠ACF，∠DBC∠ABC，
∵∠DCF是△BCD的外角，
∴∠BDC＝∠DCF﹣∠DBC∠ACF∠ABC（∠ACF﹣∠ABC）∠BAC，即②正确；
∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，
∴∠DAC∠EAC，∠DCA∠ACF，
∵∠EAC＝∠ACB+∠ABC，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）
＝180°（∠EAC+∠ACF）
＝180°（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）
＝180°（180°+∠ABC）
＝90°∠ABC
＝90°﹣∠ABD，即③正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠ADB＝∠DBC，∠ADC＝90°∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，即④错误；
∴正确的有3个，
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
11． 不是
【分析】根据命题的定义确定答案即可．
【解析】“你喜欢数学吗？”这句话没有对事件作出判断，是疑问句，不是命题，
故答案为：不是．
12． ﹣2（答案不唯一） ．
【分析】根据有理数的乘方法则计算，判断即可．
【解析】当a＝﹣2时，a2＝4＞1，而﹣2＜1，
∴命题“若a2≥1，那么a≥1”是假命题，
故答案为：﹣2（答案不唯一）．
13． 假 命题．
【分析】写出原命题的逆命题，根据等式的性质判断即可．
【解析】命题“如果a＝b，那么ac＝bc．”，它的逆命题是“如果ac＝bc，那么a＝b．”，
是假命题，
故答案为：假．
14． 两个角分别是某两个相等角的补角 ，结论是 这两个角相等 ．
【分析】把命题写成“如果…那么…的形式”，则如果后面为条件，那么后面为结论．
【解析】等角的补角相等的条件是两个角分别是某两个相等角的补角，结论为这两个角相等．
故答案为两个角分别是某两个相等角的补角，这两个角相等．
15． 1 个．
【分析】据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解析】（1）∵∠B+∠BAD＝180°，∴AD∥BC，故本小题不符合题意；
（2）∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，故本小题不符合题意；
（3）∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故本小题正确；
（4）∵∠B＝∠5，∴AB∥CD，故本小题不符合题意；
故答案为：1．
16． ③④ ．
【分析】根据平行线的判定方法分别判定得出答案．
【解析】①中，∵∠1＝∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），不合题意；
②中，∵∠5＝∠B，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），不合题意；
③中，∵∠1＝∠4且AC平分∠DAB，∴∠2＝∠4，∴AB∥CD，故此选项符合题意；
④中，∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），故此选项符合题意；
故答案为：③④．
17． ④ ．
【分析】根据四边形的定义，四边形的内角的定义，四边形的内角和定理对各小题分析判断即可得解．
【解析】①一个四边形的四个内角，不可以四个角都是锐角，原来的结论错误；
②一个四边形的四个内角，可以四个角都是直角，原来的结论错误；
③一个四边形的四个内角，可以四个角都是直角，原来的结论错误；
④一个四边形的四个内角，最多有三个角是钝角是正确的．
故答案为：④．
18． 度．
【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A1∠A，进而可求∠A1，由于∠A1∠A，∠A2∠A1∠A，…，以此类推可知∠A2018即可求得．
【解析】∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1BC∠ABC，∠A1CA∠ACD，
∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，
即∠ACD＝∠A1∠ABC，
∴∠A1（∠ACD﹣∠ABC），
∵∠A+∠ABC＝∠ACD，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∴∠A1∠A，
∠A2∠A1∠A，…，
以此类推可知∠A2018∠A＝（）°，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．
【分析】（1）根据命题的构成，如果后面是条件，那么后面是结论，解答即可；
（2）根据命题的构成，如果后面是条件，那么后面是结论，解答即可；
（3）根据命题的真假判断即可．
【解析】（1）命题“绝对值相等的两个数互为相反数”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数．
（2）题设是两个数的绝对值相等，结论是这两个数互为相反数．
（3）该命题是假命题．
20．
【分析】（1）根据锐角和钝角的概念，举一个反例即可；
（2）根据有理数的乘方法则证明；
【解析】（1）两个锐角的和是钝角，是假命题，
例如，一个角是30°，另一个是40°，
则这两个角的和是70°，70°不是钝角，
∴两个锐角的和是钝角，是假命题；
（2）若a＞b，则a2＞b2，是假命题，
例如：a＝﹣1，b＝﹣2，
a2＝1，b2＝4，
则a2＜b2，
∴a＞b，则a2＞b2，是假命题．
21．
【分析】首先根据角平分线定义可得∠1∠ABC，∠2∠ADC，根据等式的性质可得∠1＝∠2，再由条件∠1＝∠3可得∠2＝∠3，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠1+∠4＝180°．
【解析】证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1∠ABC，∠2∠ADC（角平分线的定义），
∵∠ABC＝∠ADC（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换），
∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠3，（等量代换），
∴AB∥CD，（内错角相等，两直线平行），
∴∠1+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：角平分线的定义，已知，等量代换，3，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补．
22．
【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出题设和结论的正确性；
（2）根据同位角相等，两直线平行得出DB∥EC，DF∥AC，然后根据平行线的性质得出结论．
【解析】（1）由①②，得③；由①③，得②；由②③，得①；均正确，
故答案为3
（2）如图所示：
∵∠1＝∠2，∠1＝∠3（已知），
∴∠3＝∠2（等量代换），
∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），
∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等），
∵∠C＝∠D（已知），
∴∠4＝∠C（等量代换），
∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D；∠A＝∠F；
23．
【分析】（1）根据三角形外角性质求出∠ACD，即可求出∠ACE，求出∠CAE，根据三角形内角和求出∠E即可；
（2）利用三角形的外角的性质即可解决问题．
【解析】（1）∵∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝180°﹣40＝140°，
∵∠B＝30°，
∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝70°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACE＝70°，
∴∠E＝180°﹣70°﹣70°＝40°；
（2）∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠B+∠E，
∴∠ACE＝∠B+∠E，
∵∠BAC＝∠ACE+∠E，
∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．
24．
【分析】（1）利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．
（2）A、利用基本结论，∠M＝∠BEM+∠DFM求解即可．
B、利用基本结论∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP求解即可．
【解析】（1）结论：EG⊥FG；
理由：如图1中，∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，
∴，，
∴．
在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，
∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°，
∴EG⊥FG．
故答案为EG⊥GF．
（2）A．如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG＝90°，
∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，
∴∠BEM+∠MFD（∠BEG+∠DFG）＝45°，
∴∠M＝∠BEM+∠MFD＝45°，
B．如图3中，由题意，∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，
∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，
∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，
∴∠EOF＝2∠EPF，
故答案为A或B，45°，∠EOF＝2∠EPF．
25．
【分析】（1）利用非负数的性质可知：α＝β＝30°，推出∠PFM＝∠EMF即可解决问题；
（2）结论∠FMN+∠GHF＝180°．只要证明GH∥PN即可解决问题；
（3）结论：的值不变，2．如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R．只要证明∠R＝∠FQM1，∠FPM1＝2∠R即可；
【解析】（1）证明：∵|β﹣30|＝0，
∴α＝β＝30，
∴∠PFM＝∠MFN＝30°，∠EMF＝30°，
∴∠EMF＝∠MFN，
∴AB∥CD；
故答案为：30；30；AB∥CD；
（2）解：∠FMN+∠GHF＝180°．
理由：∵AB∥CD，
∴∠MNF＝∠PME，
∵∠MGH＝∠MNF，
∴∠PME＝∠MGH，
∴GH∥PN，
∴∠GHM＝∠FMN，
∵∠GHF+∠GHM＝180°，
∴∠FMN+∠GHF＝180°．
（3）解：的值不变，2．
理由：如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R．
∵AB∥CD，
∴∠PEM1＝∠PFN，
∵∠PER∠PEM1，∠PFQ∠PFN，
∴∠PER＝∠PFQ，
∴ER∥FQ，
∴∠FQM1＝∠R，
设∠PER＝∠REB＝x，∠PM1R＝∠RM1B＝y，
则有：，可得∠EPM1＝2∠R，
∴∠EPM1＝2∠FQM1
∴2．
26．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角相等可求解；
（2）由角平分线的定义可得∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE，结合（1）可得∠A+∠C＝2∠E，再代入计算即可求解；
（3）由∠CDE∠ADC，∠CBE∠ABC可得∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE，结合（1）可得∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE，进而可求解．
【解析】（1）证明：∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，
∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）解：∵∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，
∴∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE，
由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，
∴∠A+∠C＝2∠E，
∵∠A＝28°，∠C＝32°，
∴∠E＝30°；
（3）解：∠A+2∠C＝3∠E．
理由：∵∠CDE∠ADC，∠CBE∠ABC，
∴∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE，
由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，
∴2∠C+2∠CBE＝2∠E+2∠CDE，
∴∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE，
即∠A+2∠C＝3∠E．
注意事项：
本试卷满分100分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下面命题：①同位角相等；②对顶角相等；③若x2＝y2，则x＝y；④互补的角是邻补角．其中正确命题有（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．下列命题中是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行
C．若a∥b，a⊥c，那么b⊥c D．相等的角是对顶角
3．下列语句是命题的是（ ）
A．你喜欢数学吗？B．小明是男生
C．大庙香水梨D．出门戴口罩
4．下列命题为假命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．同位角相等
C．互补的两个角不一定相等 D．两点之间，线段最短
5．如图，下列条件：①∠1＝∠5；②∠2＝∠6；⑧∠3＝∠7；④∠4＝∠8．其中能判定AB∥CD的是（ ）
A．①②B．②③C．①④D．②④
6．如图，点E、F分别是AB、CD上的点，点G是BC的延长线上一点，且∠B＝∠DCG＝∠D，则下列判断不一定成立的是（ ）
A．AB∥CDB．AD∥BG
C．∠B＝∠AEFD．∠BEF+∠EFC＝180°
7．如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，∠BAC＝90°，DE∥AC．则结论：①FG∥AD；②DE平分ADB；③∠B＝∠ADE；④∠CFG+∠BDE＝90°．正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
8．一副三角板如图方式摆放，BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，则∠BMD的度数为（ ）
A．102°B．107.5°C．112.5°D．115°
9．下面是投影屏上出示的解答题，需要回答横线上符号代表的内容．
下列选项错误的是（ ）
A．代表64°B．代表∠DBE
C．在代表∠DBED．代表∠CBE
10．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：
①AD∥BC；②∠BDC∠BAC；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④BD平分∠ADC．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
11．“你喜欢数学吗？”这句话 命题．（填“是”或者“不是”）
12．用一个a的值说明命题“如果a2≥1，那么a≥1”是错误的，这个值可以是a＝ ．
13．对于命题“如果a＝b，那么ac＝bc．”，它的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
14．“等角的补角相等”的条件是 ，结论是 ．
15．如图，下列能判定AB∥CD的条件有 个．
①∠B+∠BAD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠BAD＝∠5．
16．如图，点E是BA延长线上一点，在下列条件中：①∠1＝∠3；②∠5＝∠B；③∠1＝∠4且AC平分∠DAB；④∠B+∠BCD＝180°，能判定AB∥CD的有 ．（填序号）
17．对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，
①可以四个角都是锐角；
②至少有两个角是锐角；
③至少有一个角是钝角；
④最多有三个角是钝角；
所有正确结论的序号是 ．
18．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2017BC和∠A2017CD的平分线交于点A2018，则∠A2018＝ 度．
三、解答题（本大题共8小题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．命题“绝对值相等的两个数互为相反数”．
（1）将这命题改写成“如果…那么…”的形式
（2）写出这命题的题设和结论．
（3）判断该命题的真假
20．判断下列命题的真假，并给出证明
（1）两个锐角的和是钝角；
（2）若a＞b，则a2＞b2；
21．已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．
求证：∠1+∠4＝180°．
请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，（已知）
∴∠1∠ABC，∠2∠ADC．（ ）．
∵∠ABC＝∠ADC，（ ）
∴∠1＝∠2（ ）．
∵∠1＝∠3（已知）
∴∠2＝∠ ．（等量代换）
∴AB∥CD，（ ）．
∴∠1+∠4＝180°．（ ）
22．如图，从①∠1＝∠2②∠C＝∠D③∠A＝∠F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．
（1）这三个命题中，真命题的个数为 ；
（2）选择一个真命题，并且证明，（要求写出每一步的依据）
如图，已知 ，
求证：
证明：
23．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝30°，∠ACB＝40°，求∠E的度数；
（2）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．
24．阅读下面内容，并解答问题．
在学习了平行线的性质后，老师请学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．
小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．
已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．求证： ．
（1）请补充要求证的结论，并写出证明过程；
（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择 题．
A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为 ．
B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为 ．
25．已知，如图1，射线PE分别与直线AB、CD相交于E、F两点，∠PFD的平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设∠PFM＝α，∠EMF＝β，且|β﹣30|＝0．
（1）α＝ °，β＝ °；直线AB与CD的位置关系是 ；
（2）如图2，若点G是射线MA上任意一点，且∠MGH＝∠PNF，试找出∠FMN与∠GHF之间存在的数量关系，并证明你的结论；
（3）若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3），分别与AB、CD相交于点M1和点N1时，作∠PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
26．已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．
（1）如图1，求证：∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；
（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠CDE∠ADC，∠CBE∠ABC，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．
如图，直线EF∥直线GH，在Rt△ABC中，∠C＝90°，顶点A在GH上，顶点B在EF上，且BA平分∠DBE，若∠CAD＝26°，求∠BAD的度数．
解：∵∠C＝90°，∠CAD＝26°，
∴∠ADC＝．
∵直线EF∥直线GH，
∴＝∠ADC＝64°．
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE＝＝32°．
∵直线EF∥直线GH，
∴∠BAD＝＝32°．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．A
【分析】根据平行线的性质、对顶角、等式的性质和邻补角判断解答即可．
【解析】①两直线平行，同位角相等，原命题是假命题；
②对顶角相等，是真命题；
③若x2＝y2，则x＝y或x＝﹣y，原命题是假命题；
④互补的角不一定是邻补角，原命题是假命题；
2．D
【分析】根据平行线的性质和判定以及对顶角判断即可．
【解析】A、两直线平行，同旁内角互补，是真命题，不符合题意；
B、同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意；
C、若a∥b，a⊥c，那么b⊥c，是真命题，不符合题意；
D、相等的角不一定是对顶角，，∠1和∠2是相等，但不是对顶角，是假命题，符合题意；
3．B
【分析】根据命题的概念作答．
【解析】A、你喜欢数学吗？是疑问句，没有对事情做出判断，不是命题，不符合题意；
B、小明是男生是命题，符合题意；
C、大庙香水梨是陈述性的句子，没有做出判断，不是命题，不符合题意；
D、出门戴口罩是陈述性的句子，没有做出判断，不是命题，不符合题意；
4．B
【分析】根据对顶角相等、平行线的性质、补角的概念、线段的性质判断即可．
【解析】A、对顶角相等，是真命题；
B、∵两直线平行，同位角相等，
∴本选项说法是假命题；
C、互补的两个角不一定相等，是真命题；
D、两点之间，线段最短，是真命题；
5．C
【分析】根据平行线的判定方法对四个条件分别进行判断即可．
【解析】①∵∠1＝∠5，
∴AB∥CD，能判定AB∥CD；
②∵∠2＝∠6，
∴AD∥BC，不能判定AB∥CD；
③∵∠3＝∠7；
∴AD∥BC，不能判定AB∥CD；
④∵∠4＝∠8，
∴AB∥CD，能判定AB∥CD．
6．C
【分析】根据平行线的判定推出AB∥DC，AD∥BG，再根据平行线的性质逐个判断即可．
【解析】A、∵∠B＝∠DCG＝∠D，
∴AB∥DC，AD∥BG，正确，故本选项不符合题意；
B、∵∠B＝∠DCG＝∠D，
∴AB∥DC，AD∥BG，正确，故本选项不符合题意；
C、根据AB∥DC，AD∥BG不能推出EF∥BC，所以不能推出∠B＝∠AEF，错误，故本选项符合题意；
D、∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFC＝180°，正确，故本选项不符合题意；
7．C
【分析】利用垂直的定义和平行线的判定定理可判断①，利用角平分线的定义可判断②，由垂直的性质，等量代换可判断③，利用垂直的定义和互余的定义可判断④．
【解析】∵AD⊥BC，FG⊥BC，
∴∠FGD＝∠ADB＝90°，
∴FG∥AD，
故①正确；
∵DE∥AC，∠BAC＝90°，
∴DE⊥AB，
不能证明DE为∠ADB的平分线，
故②错误；
∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠BAD+∠ADE＝90°，
∴∠B＝∠ADE，
故③正确；
∵∠BAC＝90°，DE⊥AB，
∴∠CFG+∠C＝90°，∠BDE+∠B＝90°，∠C+∠B＝90°，
∴∠CFG+∠BDE＝90°，
故④正确，
综上所述，正确的选项①③④，
8．C
【分析】根据三角形内角和和角平分线的定义解答即可．
【解析】∵BM平分∠ABD，DM平分∠BDC，
∴∠MBD，∠BDM，
∴∠BMD＝180°﹣∠MBD﹣∠BDM＝180°﹣30°﹣37.5°＝112.5°，
9．D
【分析】利用三角形内角和定理可得∠ADC的度数，再利用平行线的性质及角平分线的定义可得答案．
【解析】∵∠C＝90°，∠CAD＝26°，
∴∠ADC＝64°．
∵直线EF∥直线GH，
∴∠DBE＝∠ADC＝64°．
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE∠DBE＝32°．
∵直线EF∥直线GH，
∴∠BAD＝∠ABE＝32°．
10．C
【分析】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，依据三角形的外角性质以及平行线的性质，即可得到正确结论．
【解析】∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD＝∠ABC，
∴AD∥BC，即①正确；
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACF
∴∠DCF∠ACF，∠DBC∠ABC，
∵∠DCF是△BCD的外角，
∴∠BDC＝∠DCF﹣∠DBC∠ACF∠ABC（∠ACF﹣∠ABC）∠BAC，即②正确；
∵AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，
∴∠DAC∠EAC，∠DCA∠ACF，
∵∠EAC＝∠ACB+∠ABC，∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠ACD）
＝180°（∠EAC+∠ACF）
＝180°（∠ABC+∠ACB+∠ABC+∠BAC）
＝180°（180°+∠ABC）
＝90°∠ABC
＝90°﹣∠ABD，即③正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠ADB＝∠DBC，∠ADC＝90°∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，即④错误；
∴正确的有3个，
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）请把答案直接填写在横线上
11． 不是
【分析】根据命题的定义确定答案即可．
【解析】“你喜欢数学吗？”这句话没有对事件作出判断，是疑问句，不是命题，
故答案为：不是．
12． ﹣2（答案不唯一） ．
【分析】根据有理数的乘方法则计算，判断即可．
【解析】当a＝﹣2时，a2＝4＞1，而﹣2＜1，
∴命题“若a2≥1，那么a≥1”是假命题，
故答案为：﹣2（答案不唯一）．
13． 假 命题．
【分析】写出原命题的逆命题，根据等式的性质判断即可．
【解析】命题“如果a＝b，那么ac＝bc．”，它的逆命题是“如果ac＝bc，那么a＝b．”，
是假命题，
故答案为：假．
14． 两个角分别是某两个相等角的补角 ，结论是 这两个角相等 ．
【分析】把命题写成“如果…那么…的形式”，则如果后面为条件，那么后面为结论．
【解析】等角的补角相等的条件是两个角分别是某两个相等角的补角，结论为这两个角相等．
故答案为两个角分别是某两个相等角的补角，这两个角相等．
15． 1 个．
【分析】据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解析】（1）∵∠B+∠BAD＝180°，∴AD∥BC，故本小题不符合题意；
（2）∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，故本小题不符合题意；
（3）∵∠3＝∠4，∴AB∥CD，故本小题正确；
（4）∵∠B＝∠5，∴AB∥CD，故本小题不符合题意；
故答案为：1．
16． ③④ ．
【分析】根据平行线的判定方法分别判定得出答案．
【解析】①中，∵∠1＝∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），不合题意；
②中，∵∠5＝∠B，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），不合题意；
③中，∵∠1＝∠4且AC平分∠DAB，∴∠2＝∠4，∴AB∥CD，故此选项符合题意；
④中，∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），故此选项符合题意；
故答案为：③④．
17． ④ ．
【分析】根据四边形的定义，四边形的内角的定义，四边形的内角和定理对各小题分析判断即可得解．
【解析】①一个四边形的四个内角，不可以四个角都是锐角，原来的结论错误；
②一个四边形的四个内角，可以四个角都是直角，原来的结论错误；
③一个四边形的四个内角，可以四个角都是直角，原来的结论错误；
④一个四边形的四个内角，最多有三个角是钝角是正确的．
故答案为：④．
18． 度．
【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A1∠A，进而可求∠A1，由于∠A1∠A，∠A2∠A1∠A，…，以此类推可知∠A2018即可求得．
【解析】∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1BC∠ABC，∠A1CA∠ACD，
∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，
即∠ACD＝∠A1∠ABC，
∴∠A1（∠ACD﹣∠ABC），
∵∠A+∠ABC＝∠ACD，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∴∠A1∠A，
∠A2∠A1∠A，…，
以此类推可知∠A2018∠A＝（）°，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共64分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．
【分析】（1）根据命题的构成，如果后面是条件，那么后面是结论，解答即可；
（2）根据命题的构成，如果后面是条件，那么后面是结论，解答即可；
（3）根据命题的真假判断即可．
【解析】（1）命题“绝对值相等的两个数互为相反数”改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数．
（2）题设是两个数的绝对值相等，结论是这两个数互为相反数．
（3）该命题是假命题．
20．
【分析】（1）根据锐角和钝角的概念，举一个反例即可；
（2）根据有理数的乘方法则证明；
【解析】（1）两个锐角的和是钝角，是假命题，
例如，一个角是30°，另一个是40°，
则这两个角的和是70°，70°不是钝角，
∴两个锐角的和是钝角，是假命题；
（2）若a＞b，则a2＞b2，是假命题，
例如：a＝﹣1，b＝﹣2，
a2＝1，b2＝4，
则a2＜b2，
∴a＞b，则a2＞b2，是假命题．
21．
【分析】首先根据角平分线定义可得∠1∠ABC，∠2∠ADC，根据等式的性质可得∠1＝∠2，再由条件∠1＝∠3可得∠2＝∠3，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠1+∠4＝180°．
【解析】证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1∠ABC，∠2∠ADC（角平分线的定义），
∵∠ABC＝∠ADC（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换），
∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠3，（等量代换），
∴AB∥CD，（内错角相等，两直线平行），
∴∠1+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：角平分线的定义，已知，等量代换，3，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补．
22．
【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出题设和结论的正确性；
（2）根据同位角相等，两直线平行得出DB∥EC，DF∥AC，然后根据平行线的性质得出结论．
【解析】（1）由①②，得③；由①③，得②；由②③，得①；均正确，
故答案为3
（2）如图所示：
∵∠1＝∠2，∠1＝∠3（已知），
∴∠3＝∠2（等量代换），
∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），
∴∠D＝∠4（两直线平行，同位角相等），
∵∠C＝∠D（已知），
∴∠4＝∠C（等量代换），
∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：①∠1＝∠2，②∠C＝∠D；∠A＝∠F；
23．
【分析】（1）根据三角形外角性质求出∠ACD，即可求出∠ACE，求出∠CAE，根据三角形内角和求出∠E即可；
（2）利用三角形的外角的性质即可解决问题．
【解析】（1）∵∠ACB＝40°，
∴∠ACD＝180°﹣40＝140°，
∵∠B＝30°，
∴∠EAC＝∠B+∠ACB＝70°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACE＝70°，
∴∠E＝180°﹣70°﹣70°＝40°；
（2）∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠B+∠E，
∴∠ACE＝∠B+∠E，
∵∠BAC＝∠ACE+∠E，
∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．
24．
【分析】（1）利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．
（2）A、利用基本结论，∠M＝∠BEM+∠DFM求解即可．
B、利用基本结论∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP求解即可．
【解析】（1）结论：EG⊥FG；
理由：如图1中，∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，
∴，，
∴．
在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，
∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°，
∴EG⊥FG．
故答案为EG⊥GF．
（2）A．如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG＝90°，
∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，
∴∠BEM+∠MFD（∠BEG+∠DFG）＝45°，
∴∠M＝∠BEM+∠MFD＝45°，
B．如图3中，由题意，∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，
∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，
∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，
∴∠EOF＝2∠EPF，
故答案为A或B，45°，∠EOF＝2∠EPF．
25．
【分析】（1）利用非负数的性质可知：α＝β＝30°，推出∠PFM＝∠EMF即可解决问题；
（2）结论∠FMN+∠GHF＝180°．只要证明GH∥PN即可解决问题；
（3）结论：的值不变，2．如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R．只要证明∠R＝∠FQM1，∠FPM1＝2∠R即可；
【解析】（1）证明：∵|β﹣30|＝0，
∴α＝β＝30，
∴∠PFM＝∠MFN＝30°，∠EMF＝30°，
∴∠EMF＝∠MFN，
∴AB∥CD；
故答案为：30；30；AB∥CD；
（2）解：∠FMN+∠GHF＝180°．
理由：∵AB∥CD，
∴∠MNF＝∠PME，
∵∠MGH＝∠MNF，
∴∠PME＝∠MGH，
∴GH∥PN，
∴∠GHM＝∠FMN，
∵∠GHF+∠GHM＝180°，
∴∠FMN+∠GHF＝180°．
（3）解：的值不变，2．
理由：如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R．
∵AB∥CD，
∴∠PEM1＝∠PFN，
∵∠PER∠PEM1，∠PFQ∠PFN，
∴∠PER＝∠PFQ，
∴ER∥FQ，
∴∠FQM1＝∠R，
设∠PER＝∠REB＝x，∠PM1R＝∠RM1B＝y，
则有：，可得∠EPM1＝2∠R，
∴∠EPM1＝2∠FQM1
∴2．
26．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角相等可求解；
（2）由角平分线的定义可得∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE，结合（1）可得∠A+∠C＝2∠E，再代入计算即可求解；
（3）由∠CDE∠ADC，∠CBE∠ABC可得∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE，结合（1）可得∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE，进而可求解．
【解析】（1）证明：∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，
∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）解：∵∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，
∴∠ADE＝∠CDE，∠ABE＝∠CBE，
由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，
∴∠A+∠C＝2∠E，
∵∠A＝28°，∠C＝32°，
∴∠E＝30°；
（3）解：∠A+2∠C＝3∠E．
理由：∵∠CDE∠ADC，∠CBE∠ABC，
∴∠ADE＝2∠CDE，∠ABE＝2∠CBE，
由（1）可得∠A+∠ADE＝∠E+∠ABE，∠C+∠CBE＝∠E+∠CDE，
∴2∠C+2∠CBE＝2∠E+2∠CDE，
∴∠A+2∠C+∠ADE+2∠CBE＝3∠E+∠ABE+2∠CDE，
即∠A+2∠C＝3∠E．
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