2024广州天河区高三下学期综合测试（二）数学含解析

这是一份2024广州天河区高三下学期综合测试（二）数学含解析，共25页。试卷主要包含了 若直线与圆相切，则圆与圆， 已知，则， 设，随机变量取值的概率均为0等内容，欢迎下载使用。
本卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校､姓名､班级､座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案：不能答在试卷上.
3.非选择题必须用，黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 设，为非零向量，则“”是“与共线”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 若抛物线上一点到焦点的距离为3，则（ ）
A. 6B. 4C. 2D. 1
4. 若实数满足，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（ ）
A. 变量与独立
B. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过
C. 变量与不独立
D. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
6. 若直线与圆相切，则圆与圆（ ）
A. 外切B. 相交C. 内切D. 没有公共点
7. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 设，随机变量取值的概率均为0.2，随机变量取值的概率也均为0.2，若记分别为的方差，则（ ）
A.
B.
C
D. 与的大小关系与的取值有关
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知是不同的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C 若，则
D. 若，则
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递增
C. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D. 函数的最小值为
11. 双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.设为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，右顶点到一条渐近线的距离为2，右支上一动点处的切线记为，则（ ）
A. 双曲线的渐近线方程为
B. 双曲线的离心率为
C. 当轴时，
D. 过点作，垂足为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若（为虚数单位）是关于的实系数一元二次方程的一个虚根，则实数__________.
13. 已知是奇函数，且当时，，若，则__________.
14. 如图，一块面积为定值的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，当容器的容积最大时，其侧面与底面所成的二面角的余弦值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中，和，分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得.
（1）求样本的相关系数（精确到0.01），并推断这种野生动物的数量y（单位：只）和植物覆盖面积x（单位：公顷）的相关程度；
（2）已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列.
附：相关系数
16. 如图，在三棱柱中，侧面是菱形，且与平面垂直，，.
（1）证明：平面；
（2）棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.
17. 已知数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记为的前项和，证明：时，.
18. 已知直线，动点分别在直线上，，是线段的中点，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线方程；
（2）已知点，过点作直线与曲线交于不同的两点，线段上一点满足，求的最小值.
19. 已知函数.
（1）证明：恰有一个零点，且；
（2）我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取，实施如下步骤：在点处作的切线，交轴于点：在点处作的切线，交轴于点；一直继续下去，可以得到一个数列，它的各项是不同精确度的零点近似值.
（i）设，求的解析式；
（ii）证明：当，总有2024届天河区普通高中毕业班综合测试（二）
数学
本卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校､姓名､班级､座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B铅笔把考号的对应数字涂黑.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案：不能答在试卷上.
3.非选择题必须用，黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔或涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合的包含关系逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】因为，，
当时，为非负的偶数，所以，，则，
B对，ACD都错.
故选：B.
2. 设，为非零向量，则“”是“与共线”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由化简得出，从而得出与共线，当与共线时，，，不一定相等，最后由充分条件和必要条件的定义作出判断.
【详解】当时，，化简得，即，，即与共线
当与共线时，则存在唯一实数，使得
，，与不一定相等，即不一定相等
故“”是“与共线”的充分不必要条件
故选：A
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于熟练掌握向量的数乘、数量积运算以及向量共线定理.
3. 若抛物线上一点到焦点的距离为3，则（ ）
A. 6B. 4C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的焦半径公式即可求解.
【详解】由焦半径公式可得，故，
故选：C
4. 若实数满足，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】注意到，后利用函数单调性可解不等式.
【详解】，因函数在上单调递减，
则函数在上单调递减，又，则.
故选：D
5. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（ ）
A. 变量与独立
B. 变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过
C. 变量与不独立
D. 变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过
【答案】A
【解析】
【分析】根据独立性检验的基本思想可得结论.
【详解】因为，
所以，依据的独立性检验，我们认为变量与独立，
故选：A.
6. 若直线与圆相切，则圆与圆（ ）
A. 外切B. 相交C. 内切D. 没有公共点
【答案】B
【解析】
【分析】由直线与圆相切，得，则圆的圆心在圆上，两圆相交.
【详解】直线与圆相切，
则圆心到直线的距离等于圆的半径1，
即，得.
圆的圆心坐标为，半径为，
其圆心在圆上，所以两圆相交.
故选：B
7. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据辅助角公式求得，结合角的范围可得，继而利用两角差的余弦公式，即可求得答案.
【详解】因为，
故，则，
而，故，
故
，
故选：B
8. 设，随机变量取值的概率均为0.2，随机变量取值的概率也均为0.2，若记分别为的方差，则（ ）
A.
B.
C.
D. 与的大小关系与的取值有关
【答案】C
【解析】
【分析】根据期望的公式推出，再根据方差的计算公式可得的表达式，结合基本不等式，即可判断的大小，即得答案.
【详解】由题意得，
，
故，
记
则
同理
因为，则，，，
故，
即得，与的大小关系与的取值无关，
故选：C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知是不同的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】对于AD，举反例排除即可；对于B，利用方向向量与法向量判断空间线面的位置关系即可判断；对于C，利用面面平行的性质即可判断.
详解】对于A，当时，有可能异面，故A错误；
对于B，因为，
所以对应的方向向量分别是的法向量，
又，所以，所以，故B正确；
对于C，因为，由面面平行的性质易知，故C正确；
对于D，当时，有可能异面，故D错误.
故选：BC.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在上单调递增
C. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D. 函数的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据周期可得，代入最值点可得，进而根据函数的不等式即可根据周期，单调性以及平移求解ABC，利用换元法，结合二次函数的性质即可求解D.
【详解】由图可得：，
又，
，又，
，
将代入得，
即，，
即，，
，
对于A，最小正周期，故正确；
对于B，令，，解得，，
可得的单调递增区间为，，当时，单调递增区间为，故B正确；
对于C，函数的图象向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为：，故C不正确；
对于D，，
令，所以，
故最小值为，D正确，
故选：ABD
11. 双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角.设为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，右顶点到一条渐近线的距离为2，右支上一动点处的切线记为，则（ ）
A. 双曲线的渐近线方程为
B. 双曲线的离心率为
C 当轴时，
D. 过点作，垂足为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意求出b的值，即可求得双曲线渐近线方程，判断A；根据离心率定义，求出离心率，判断B；利用双曲线定义可判断C；由题意结合角平分线性质推出，K为的中点，进而结合三角形中位线以及双曲线定义求得，判断D.
【详解】对于A，由双曲线可知，右顶点，
其渐近线方程为，右顶点到一条渐近线的距离为2，
不妨取渐近线，则，解得，
故双曲线的渐近线方程为，A正确；
对于B，由于，
故双曲线的离心率为，B错误；
对于C，，当轴时，将代入中，
得，即得，
由于P在双曲线右支上，故，C正确；
对于D，连接并延长交的延长线于E，
由题意知，为的角平分线，结合，
可知，K为的中点，而O为的中点，
故，D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题考查了双曲线知识的综合应用，解答的关键是选项D的判断，解答时要结合题中所给性质，利用角平分线性质推出K为的中点，即可结合双曲线定义求得答案.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若（为虚数单位）是关于的实系数一元二次方程的一个虚根，则实数__________.
【答案】-2
【解析】
【分析】利用实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系即可得出.
【详解】（i为虚数单位）是关于的实系数一元二次方程的一个虚根，
（i为虚数单位）也是关于的实系数一元二次方程的一个虚根，
，解得.
故答案为：-2.
13. 已知是奇函数，且当时，，若，则__________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据奇函数性质，并结合指数以及对数的运算性质，代入求值，即可求得答案.
【详解】由题意知是奇函数，且当时，，
故，
则，
故答案为：3
14. 如图，一块面积为定值的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，当容器的容积最大时，其侧面与底面所成的二面角的余弦值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先画出正四棱锥，设为的中点，则，则即为所求角的平面角，不妨设题中所给正方形的边长为，，利用勾股定理求出，再根据棱锥的体积公式求出体积，再结合基本不等式求出体积最大时的值，进而可得出答案.
【详解】如图，正四棱锥为四棱锥，为底面对角线的交点，
则平面，
设为的中点，则，
则即为所求角的平面角，
不妨设题中所给正方形的边长为，，
则，
故四棱锥的高，
所以
，
当且仅当，即时，取等号，
此时，，
在中，，
所以当容器的容积最大时，其侧面与底面所成的二面角的余弦值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中，和，分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得.
（1）求样本的相关系数（精确到0.01），并推断这种野生动物的数量y（单位：只）和植物覆盖面积x（单位：公顷）的相关程度；
（2）已知20个样区中有8个样区这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列.
附：相关系数
【答案】（1）0.94，相关性较强．
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据相关系数的计算公式即可代入求解，
（2）根据超几何概率的概率公式求解概率，即可得分布列.
小问1详解】
样本，，2，， 的相关系数为
．
由于相关系数,，则相关性很强，的值越大，相关性越强．
故，故相关性越强．
【小问2详解】
由题意得：的可能取值为0，1，2，
20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，有12个样区的这种野生动物数量不低于样本平均数，
所以，
，
，
所以的分布列为：
16. 如图，在三棱柱中，侧面是菱形，且与平面垂直，，.
（1）证明：平面；
（2）棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析 （2）存在，且在的中点.
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而根据线线垂直，结合线面垂直的判定定理即可求证，
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量与方向向量的夹角即可求解.
【小问1详解】
连接与，
由于四边形为菱形，故
由于侧面与平面垂直，且两平面的交线是，侧面，
故平面,平面,故,
又，平面，
故平面
【小问2详解】
由（1）知平面，平面,
所以平面平面，且交线为,
由于故三角形为等边三角形，
取中点为，则,平面，所以平面，
故建立如图所示的空间直角坐标系，其中轴与平行，
,
,
设平面的法向量为，
则，取，则，
设，其中，,故，
故，化简得，
解得，故
故存在，且在的中点.
17. 已知数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记为的前项和，证明：时，.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用递推关系，把换成，得到两式相减，得到，再累乘后可得到通项；
（2）用错位相减法求出，再将证明不等式作差，之后利用导数的单调性证明即可.
【小问1详解】
因为，
所以，
作差可得，变形为，即，即，化简为，
因为，所以，
因为，
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
因为，
所以，，
作差可得，
所以，
，
设，则在给定区间上递减，又
故在是减函数，，
所以当时，.
18. 已知直线，动点分别在直线上，，是线段的中点，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）已知点，过点作直线与曲线交于不同的两点，线段上一点满足，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知设，可得，设，利用中点坐标公式计算可得，代入化简即可得出结果.
（2）设，则,,设,,利用向量的坐标计算化简可得①.设，由可得②，结合在曲线上，可得的轨迹方程，利用点到直线的距离公式计算即可.
【小问1详解】
根据条件可设，
∵，∴（*），
设，由题意知，∴，
代入（*）式得，故曲线的方程为.
【小问2详解】
设，则,,设,,
由，可知，
∴，∴①.
∵，设∴②.
①②可得（**），
∵在曲线上，∴，
∴，化简得：，
（**）式代入可得，即.
∴的轨迹方程为：.
∴的最小值为到直线的距离.
∴.
19. 已知函数.
（1）证明：恰有一个零点，且；
（2）我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取，实施如下步骤：在点处作的切线，交轴于点：在点处作的切线，交轴于点；一直继续下去，可以得到一个数列，它的各项是不同精确度的零点近似值.
（i）设，求的解析式；
（ii）证明：当，总有.
【答案】（1）证明见解析
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可；
（2）（i）由导数的几何意义得曲线在处的切线方程为，进而得；
（ii）令，进而构造函数，结合函数单调性证明，再根据，证明即可得答案．
【小问1详解】
，定义域为，
所以，在上恒成立，
所以函数在上单调递增，
因为， ，
所以，存在唯一，使得，即：有唯一零点，且；
【小问2详解】
（i）由（1）知，
所以，曲线在处的切线斜率为，
所以，曲线在处的切线方程为，即，
令得，
所以，切线与轴的交点，即，
所以，；
证明：（ii）对任意的，由（i）知，曲线在,处的切线方程为：，
故令，
令，
所以，，
所以，当时，，单调递增，当,时，，单调递减，
所以，恒有，即恒成立，当且仅当时等号成立，
另一方面，由（i）知，，且当时，，
（若，则，故任意，显然矛盾），
因为是的零点，
所以，
因为为单调递增函数，
所以，对任意的时，总有，
又因为，
所以，对于任意，均有，
所以，，，
所以，
综上，当，总有．
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
0
1
2