2024海南省部分学校高三下学期高考全真模拟卷（六）数学含解析

这是一份2024海南省部分学校高三下学期高考全真模拟卷（六）数学含解析，共16页。试卷主要包含了考查范围，若，则的大小关系为，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页．
2．考查范围：高考全部内容．
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知集合，，若中恰有两个元素，则实数m的取值范围为（ ）
A．（－1，0）B．（0，1）C．[0，1]D．R
3．已知，则“”是“的二项展开式中常数项为60”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．如图，点P，A，B均在边长为1的小正方形组成的网格上，则（ ）
A．－8B．－4C．0D．4
5．等差数列的前n项和为，已知，则的前100项中，为整数的各项之和为（ ）
A．1089B．1099C．1156D．1166
6．在一次立体几何模型的实践课上，老师要求学生将边长为4的正方形ABCD沿对角线AC进行翻折，使得D到达的位置，此时平面平面BAC，连接，得到四面体，记四面体的外接球球心为O，则点O到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A，B两点，其中点A在第一象限，若，则△OBF的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．若，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．68，60，62，78，70，84，74，46，73，81这组数据的第80百分位数是78
B．若一组数据的方差为0.2，则的方差为1
C．样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关关系的正负性
D．若变量，则
10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线是函数的一条对称轴
C．当时，x的取值范围为
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为
11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、卵形线、蔓叶线等，心形线也是其中一种，因其形状像心形而得名，其平面直角坐标方程可表示为，图形如图所示．当时，点在这条心形线C上，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．
D．C上有4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知函数，过原点作曲线的切线，则切线的斜率为______．
13．设分别为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，点P在C上，若，则的内切圆的面积为______．
14．已知数列是递减数列，且，则实数t的取值范围为______．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若点D在AC上，且AD＝BD＝2DC，求．
16．（15分）
2023年杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，亚洲45个国家和地区的奥委会代表参会．某校想趁此机会带动学生的锻炼热情，准备开设羽毛球兴趣班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢羽毛球运动，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图．
（Ⅰ）根据等高堆积条形图，填写下列列联表，并依据的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动有关联；
（Ⅱ）已知该校男生与女生人数相同，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取30名学生，设其中喜欢羽毛球运动的学生人数为X，求P（X＝k）取得最大值时的值．
附：
参考公式：
，其中．
17．（15分）
如图，在四棱柱中，四边形为菱形，四边形ABCD为矩形，AB＝4，，，二面角的大小为60°，M，N分别为BC，的中点．
（Ⅰ）求证：∠NMC＝90°；
（II）求直线与平面BCN所成角的正弦值．
18．（17分）已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为．
（I）求C的标准方程；
（Ⅱ）过点F且相互垂直的两条直线和分别与C交于点A，B和点P，Q，记AB，PQ的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点．
19．（17分）
已知函数，且的图象在处的切线斜率为2．
（I）求m；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若有两个不等的实根，求证：．
2023—2024学年海南省高考全真模拟卷（六）
数学·答案
1．D ∵，∴，∴，在复平面内对应的点位于第四象限，故选D．
2．D 由中恰有两个元素，可知，故，即．
又方程的，故在R上恒成立，故实数m的取值范围为R，故选D．
3．B 的展开式的通项为．
令，得，则的常数项为．
∴当时，常数项为60；
当常数项为60时，，
∴“”是“的二项展开式中常数项为60”的充分不必要条件，故选B．
4．A 如图，以点P为坐标原点，建立平面直角坐标系，则：，
，
，故选A．
5．C 设等差数列的公差为d，
由，解得，
所以．
要使为整数，则是3的倍数，又，
所以可令．
记的前100项中的整数项构成的数列为，
则，
所以的前34项的和，故选C．
6．A根据题意作出图形如图所示，连接OB，，
则，显然四面体的外接球球心O为AC的中点．
．
设点O到平面的距离为h，则由，
可得，解得，故选A．
7．B根据题意得直线，
由得
设，则，
故，
解得，代入（*）式，解得．
将代入直线的方程中，
解得，故，故选B．
8．C设，
则，
∴时，，在上单调递增．
∴，即，
∴，．
设：，则，
∴当时，，即在上单调递增．
∴，，∴，即．
综上，故选C．
9．CD 对于A，这组数据从小到大排列为：46，60，62，68，70，73，74，78，81，又，
第8位数字是78，第9位数字是81，故这组数据的第80百分位数是，故A错误；
对于B，的方差为，故B错误；
对于C，样本相关系数r的符号反映了相关关系的正负性，当时，成对样本数据正相关，当时，成对样本数据负相关，故C正确；
对于D，∵，
∴，
故D正确，故选CD．
10．AD 对于A，由图可知，
∴，∴．
又，
即，
∴，
∴．
∵，∴，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，即\，
∴，
解得－，故C错误；
对于D，当时．
当时，单调递减；
当时，单调递增．
∵，，，
∴要使方程在上有两个不相等的实数根，
则，故D正确，故选AD．
11．ACD 依题意，心形线C的直角坐标方程为，过原点．
由，可知三点共线，
可设直线，由
消去y，得．
不妨设，
则．
∴，故A正确；
，
当时，，故B错误；
设点在心形线C上，，角以x轴非负半轴为起始边，
则心形线C的方程转化为，
即，
∴，又，
∴，故C正确；
由，可知．
令，则心形线C的方程可
化为：，
∴，当，得或0，
当时，方程无整数解；
当时，
∴C上有4个整点（－1，0），（1，0），（0，0），（0，－2），故D正确，故选ACD．
12． 根据题意得，．设切点坐标为，则，
所以切线的方程为，
将点（0，0）代入，可得，
整理得，故，解得，
故，即切线的斜率为．
13． 不妨设，，则．
在中，由余弦定理得，．
由，且，
可得，
即，
所以，
所以内切圆半径为，
所以的内切圆的面积为．
14． ∵数列是递减数列，
∴，即，
化简得．
当时，的值有正有负，
∴不恒成立；
当时，，，
∴不成立；
当时，
由题意得，，
∵当时，取得最小值，
即有，解得，
∴实数t的取值范围为．
15．解：（I）∵，
∴，
∴，
由正弦定理得，，
即，
故．
∵，
∴，∴，
故．
（Ⅱ）∵，∴，
∴，即，
整理得，
∴，
即，∴．
16．解：（I）由题意，完成列联表如下：
零假设为
：该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动没有关联．
，
∴依据小概率值的独立性检验，
我们推断不成立，即能认为该校学生喜欢羽毛球运动与性别有关联．
（Ⅱ）由列联表可知，该校学生喜欢羽毛球运动的频率为，
∴随机变量，
∴．
要使取得最大值，
则需
解得，
∵，
∴当时，取得最大值．
17．解：（I）取AD的中点O，连接OM，ON，AN，DN．
在菱形中，易知，且
又，故即为二面角的平面角，
故．
所以为等边三角形，所以．
显然，且，
所以平面MON
又平面MON，所以，
又，所以，
故．
（Ⅱ）由（I）可知，平面ADN．
又平面ABCD，，
所以平面平面ABCD．
又平面平面，平面ADN，且，
故平面ABCD，故OA，OM，ON两两相互垂直．
以O为原点，以OA，OM，ON所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，
．
设平面BCN的法向量，
则．，
取，则．
记直线与平面BCN所成角为，
则，
故直线与平面BCN所成角的正弦值为．
18．解：（I）设双曲线C的半焦距为c，根据题意
得解得
∴C的标准方程为．
（II）当直线和斜率均存在时，
设直线的方程为，，，中点
由消去，得．
∴，．
∴．
设直线的方程为，
，中点．
同理可得．
∵，∴，．
当时，，此时，直线MN的方程为
当时，，此时直线MN的斜率，
直线MN的方程为，
即．
此时直线MN过定点．
当直线和其中一条直线的斜率不存在时，易知MN所在直线为x轴．
综上所述，直线MN过定点．
19．解：（I）因为，
所以，
根据题意得，
解得．
（II）由（I）可知，
，又，
所以，故的单调递增区间为R，无单调递减区间
（Ш）由有两个不等的根（不妨设），可得
，
整理得．
令，
则，
故在上单调递增，
因为，所以，
即，那么，
结合（*）式，可得．
下面证明，
等价于证明．
令，设，
，则在（0，1）上单调递减，
所以，
故，
即得证，
由不等式的传递性知，
即．性别
是否喜欢羽毛球运动
合计
是
否
男生
女生
合计
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
是否喜欢羽毛球运动
合计
是
否
男生
75
25
100
女生
55
45
100
合计
130
70
200